JJ
§11 = +M +83 — +88 +8t, 5iî= +88 +31 — +81 +88, §13 = +81+88— +«+81 ; Su = +88 +13 -- +33 +11, §82= +88+11 — +81+18, 8,3= +81+18— +38 +11; §81 = +18 +88— +13+88, §82= +18 +81— +11+23, l §83= +11 +82— +12+81-
GHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNETIQUE SUR LES CRISTAUX. 299
Les égalités (6) deviendront
Dans le cas où la substance n^est pas hémimorphe, on a
X = O, fX = O, V = o,
et les égalités précédentes deviennent
Supposons que le système ne renferme pas d^aimants permanents. Deux cas seront à distinguer :
1® Le cristal est holomorphe. — Dans ce cas, X, jjl, v étant égaux à o, il est facile de voir que les équations d'équilibre (6) ou (ï i) sont vérifiées en posant
S = o, 8 = 0, C = o, car, sMl n'y a pas d'aimants permanents, ces hypothèses entraînent
d<^ dt) d-O
-T=- = O, -— = O, -rz- = O.
Ainsi un cristal holomorpke parfaitement doux se désaimante si on le soustrait à V action de tout aimant permanent .
a** Le cristal est hémimorphe. — Dans ce cas, les quantités X, [ji, V ne sont plus forcément égales à o. Si l'une au moins de ces quantités diffère de o, les équations (6) ne pourront plus être satisfaites si l'on fait
51 = o, 9=0, CIT = o.
Donc, en général, un cristal hémimorphe demeure aimanté si on le soustrait à V action de tout aimant permanent.
Jamais l'expérience n'a constaté jusqu'ici sur les cristaux hémi-
morphes (*), comme la tourmaline, la calamine, etc., cevaagnétisme subsistant naturellement, en Tabsence de tout aimant permanent, dont la théorie nous fait prévoir la possibilité. Il faut en conclure que, si les quantités X, [x, v ne sont pas égales à o pour les cristaux hémimorphes connus, elles ont, du moins, de très petites valeurs.
D'après cette remarque, il serait inutile, dans Tétude du mag^nétisme, de conserver ces coefficients X, |jl, v; toutefois, nous les laisserons figurer dans nos formules, parce que ces mêmes formules nous serviront de nouveau dans l'étude d'un autre problème où les coefficients X, [jl, v joueront un rôle important.
Les équations (i i) nous montrent que, dans un corps cristallisé holomorphe, la direction de l'aimantation ne coïncide plus, comme
dans un corps isotrope, avec la grandeur géométrique dont les
^ &ç d-ç d-ç composantes sont — ^ ' — y -77 •
^ d^ dri cȂ
§ 5. — Détermination de la distribution qui convient à Véquilibre.
Supposons que l'expérience ait fait connaître, pour un corps déterminé, de structure homogène ou continûment variable, la surface d'induction magnétique représentée par l'égalité (5).
Les équations 7), (8) et (9) feront alors connaître T et les 8;,^ en fonction de J3t, IB, C et des coordonnées x, j', z du point auquel ces quantités se rapportent. Les quantités X, jx, v pourront aussi s'exprimer en fonction de J?, ^, z. Les relations (10) deviendront des relations entre 5t, ÎB, C, -rr» -t-> -1^9 ^^ Yi ^* On
' ' • ' <^5 cIt) dÇ ^ ^
pourra les supposer résolues en ^, lï, C, et écrire
(*) Ë. Mathieu {Théorie du potentiel, t. II, p. 166) a indiqué le premier que les cristaux hémimorphes pouvaient, au point de vue du magnétisme, se distinguer des cristaux holomorphes.
CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 3o'1
On voit alors que, moyennant ces équations, où les fonctions 8f , ôj, Ô3 sont des fonctions dont la forme est déterminée lorsqu'on suppose connue la forme de la surface d'induction magnétique du cristal, la détermination de la distribution qui convient à l'équilibre se ramène à la détermination de la fonction \*^. Voyons comment cette dernière est déterminée.
Si, dans les expressions de T et des 8^,^, nous remplaçons J3l,
U, C par leurs expressions (12), T et les 8;,^ deviendront des
- . , àx^) ()V) d\^ '
lonctions <^c ^t ' ^» -^^ ^: y^ ^> et nous pourrons poser, en ge-
néral,
Les équations (10) deviendront alors
Nous allons imposer à ces équations une dernière transformation. J3i, B, C sont les composantes de l'aimantation suivant trois axes OÇ, Oyi, OÇ, parallèles aux axes d'élasticité du cristal au point (^,y, 2). Soient, en ce point,
a, a', a' les cosinus des angles de O^ avec O;, Or,, O^;
b, b\ y^ les cosinus des angles de Oy avec OE, Or,, OJJ;
c, c', c" les cosinus des angles de Oz avec OÇ, Or,, OÇ.
Ces neuf cosinus sont des fonctions de x^ y, ^, déterminées lorsqu'on connaît la nature et l'orientation de la substance en chaque point.
Soient X^ ilb, G les composantes suivant Ox^ Oy^ O:; de l'aimantation au point {^,y^ z). Nous aurons
3^= aX-h b W\>-hc 3, (i5) \ i9 = aM, -^ b' Ul> -f- c C,
3o2 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX.
Nous aurons, d'autre part,
ai
dx
âjr dz
ày
dy dz
Ces égalités (i6) permettent de transformer la quantité
en une ionction de t— > -t-j -t-j -^i Kî -s»
âx ày Oz 7^7'
Les égalités (14)7 (i^)» ('6) donnent alors
(bd, (cdi
a'X-hb'yS^-i-c'3 =
a^X-^yrih^c'e^z
{adi (bd,
{cdi
{adi {bd^ (cdi
ày dz
-f- b'dff c'dft
c'rf„+c'rf„)(g
OU bien, en désignant par iDpf des fonctions de j-> -t— > -j— >x,^,3,
dx dy dz
GH4P. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUB SUR LES CRISTAUX. 3o3
faciles à former en fonction des dpq^
lll> =
C0il
(Osi
11 devient maintenant facile de former l'équation aux dérivées partielles que vérifie la fonction %? en toutes les régions de l'espace.
 l'intérieur des aimants permanents 1 , on a
(i8) At.9 = 4-(-5J-^^-f-^),
et le second membre est une fonction censée connue de or, y, z. Dans l'espace compris entre les aimants permanents et le corps cristallisé, on a
Pour obtenir l'équation aux dérivées partielles que 'Ç vérifie en tous les points du corps 2, différentions la première des égalités (17) par rapport à x^ la seconde par rapport à jKj la troisième par rapport à 2, et ajoutons membre à membre les résultats obtenus.
Le second membre de l'égalité à laquelle nous parviendrons sera une fonction de^r, y, z et des dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction "<?. Le premier membre
dX d^ d^ dx ôy dz
pourra être remplacé par
4'ït
Nous obtiendrons donc une équation aux dérivées partielles du second ordre que la fonction "<? devra vérifier en tout point du cristal.
Pour achever de déterminer la fonction "Ç, il faudra imposer à cette fonction des conditions aux limites. Â l'infini, ou bien sur la surface de séparation des aimants permanents et du milieu non
magnétique, ces conditions seront les mêmes que si le corps parfaitement doux était isotrope. A la surface de séparation du corps parfaitement doux et du milieu non magnétique, on aura
— -^—=z 47r [.^U cos(N/, x) -h iJb cos(N:,^) -f- G cos(N/, z)],
OU bien, en vertu des égaillés (17),
Ainsi est défini le problème que Ton aurait en général à intégrer pour déterminer '9 et, partant, d'après les égalités (12), la distribution qui convient à Téquilibre.
§ 6. — Remarque sur les corps hémimorphes homogènes.
Dans ce qui précède, nous n'avons rien supposé sur l'homogénéité ou l'hétérogénéité du corps étudié. Dans le cas où la substance qui forme ce corps a, en tout point, la même constitution et la même orientation, on peut joindre à ce qui précède une remarque importaule.
Les axes d'élasticité 0$, Otj, O^ ayant la même orientation en tout point (^, y, z), on peut supposer qu'on ait pris les axes Ox, Oy^ Oz parallèles aux axes d'élasticité. Les égalités (10) pourront alors s'écrire
D'ailleurs, si le corps est homogène, X, jjl, v sont indépendants de X, y, z. On voit aljrs sans peine qu'un corps hémimorphe homogène s aimante dans un champ donné comme s^il était
CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 3o5
holomorphe et qiCon eût superposé au champ donné un champ uniforme dont la fonction potentielle magnétique serait
Cette proposition ramène, dans le cas où l'on étudie des cristaux homogènes, Tétude générale des cristaux hémimorphes à Fétude plus particulière des cristaux holomorphes.
D. — II. io
3o6 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX.
