CBAP. II. — LA THEORIE DE POISSON. SOQ

De l'une comme de Tautre de ces constructioDs, od déduit la conclusion suivante :

Pour que la grandeur géométrique dont les composantes sont a, p, Y coïncide en direction avec l'aimantation, il faut et il suffit que ces deux grandeurs géométriques soient dirigées suivant Vun des axes d^ aimantation du cristal.

Les trois quantités m^, xs^i c^s, qui sont liées par des relations très simples aux longueurs des axes des surfaces directe et inverse d'induction magnétique portent le nom de coefficients principaux d^ aimantation du cristal.

2 ?. — La détermination de l'aimantation ramenée à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles.

La fonction potentielle magnétique 'O^ des aimants permanents est censée donnée. Dès lors, d'après les égalités (3), la détermination des composantes %^ JD, C de l'aimantation se ramène à la détermination de la fonction t}2.

Différentions la première des égalités (3) par rapport à Ç, la seconde par rapport à yj, la troisième par rapport à 2^, et ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en observant que

()«t), d^'Ot an% , (djk aï dfL\ "O^ ^ âr^t -^ -^ - ^'^\d\ "^ ô^ "^ T^J

et que, en tout point du cristal,

d^Vh à^Vi d^XDi d5« dr^« ciÇ* '

nous aurons

Telle est l'équation aux dérivées partielles que la fonction O2 doit vérifier en tout point du cristal, tandis qu'en tout point extérieur au cristal, elle vérifie l'équation aux dérivées partielles

()«t), a*tD, <?»t),

La fonction 'O^ est égale à o à l'infini comme une fonction potentielle ordinaire; elle est continue dans tout l'espace, même à

la traversée de la surface qui sépare le cristal du milieu qui Tenvironne. Il n'en est pas de même de ses dérivées partielles du premier ordre. On a, en e (Te t, à cette surface,

équation qui devient, moyennant les égalités (3),

-hxaJX-h -^j cos(N/, -+- ^i(f^ + -j^J cos(N/, tj)

Ces diverses conditions ne peuvent laisser d'indétermination dans l'expression de la quantité 02. Supposons, en effet, qu'on puisse les remplir au moyen de deux expressions distinctes de O^ et soit S la différence de ces deux fonctions TDj. La fonction 0, on le voit aisément, vériGera une équation analogue à Téqualion (4) en tout point intérieur au cristal et, à l'extérieur, elle sera harmonique. Si du désigne un élément de l'espace illimité extérieur au cristal, on devra avoir

Si dS désigne un élément de la surface qui limite le cristal, une intégration par parties transformera cette égalité en

Mais, les deux expressions de la fonction tD^ vérifiant l'égalité (6)

GHAP. II. — LA. THÉORIE DE POISSON. 3ll

en tout point de la surface S, on aura, en tout point de la surface S,

L^ égalité précédente se réduira donc à

Nous verrons tout à l'heure qu'il n'y a lieu d'étudier que les cristaux pour lesquels les trois quantités tîT|, m^^ w^ sont positives. L'égalité précédente ne peut alors avoir lieu si l'on n'a, en tout point de l'espace,

de de de

Si l'on ajoute que la fonction est continue dans tout l'espace et égale à o à l'infini, on voit que l'on doit avoir, dans tout l'espace,

en sorte que les deux expressions de la fonction V^ sont identiques.

Ainsi, lorsque les trois coefficients principaux d^ aimantation sont positifs, il ne peut exister plus d'une solution au problème de l'aimantation par influence. D'ailleurs, ce qui a été dit aux §§ 3 et 6 du Chapitre précédent nous fait prévoir que, dans ce cas, ce problème admet toujours une solution.

§ 3. — Stabilité de l'équilibre magnétique.

La distribution magnétique déterminée par les égalités précédentes correspond-elle à un état d'équilibre stable?

Considérons un élément de volume dv2 appartenant au cristal, et donnons deux fois de suite aux composantes^, JP, Cde l'aimantation dans cet élément des variations arbitraires S^Sl, SIB, SC

Les premières variations font croître ^ d'une quantité

Les secondes variations font varier 8^ de

TiT| CTf W^

Si les trois quantités Wi, ©3, ^3 ne sont pas toutes trois positives, il sera toujours possible de choisir les quantités 85L, SJBl, oC, de manière que la quantité S* ^ soit négative. Ainsi /'eywiYière magnétique ne peut être stable sur un cristal que si les trois coefficients principaux d^ aimantation sont positifs.

Réciproquement, si les trois coefficients principaux d^ aimantation d'un cristal sont positifs, l'équilibre magnétique est assurément stable sur ce cristal.

Donnons deux fois de suite à Taimantation en chaque point du cristal des variations arbitraires 8^, 8lB, 8C Posons

dt étant une constante infiniment petite et a, 6, c des fonctions uniformes finies et continues de Ç, Tj, Ç.

Supposons qu^aux divers points du cristal on distribue une aimantation ayant pour composantes les quantités a, b, c. Soit û la fonction potentielle magnétique de cette aimantation. En reproduisant les calculs faits au Livre IX, Chapitre III, § 2, nous trouvons sans peine que l'on a

OjrT = .— nûdu-^dt* { i 1 1 ) dvt-

Si, comme nous Tavons supposé, les trois quantités i9|, tîTs, m^ sont positives, cette quantité Z^^ est essentiellement positive, et réquilibre magnétique est stable.

Ainsi, pour qu'on puisse déterminer sur un cristal, placé dans des conditions données, une distribution magnétique correspondant à un équilibre stable, il faut et il suffit que les surfaces d'induction magnétique soient des ellipsoïdes réels. Le cristal ne peut être diamagnétique dans aucune direction.

GHAP. III. — CRISTAL DANS I}N CHAMP UNIFORME. 3l3