I -f- - irnj| I -h 5 inïTf i -|- - izmj
et l'égalité (6) pourra s'écrire
en désignant par L la grandeur géométrique ayant pour composantes
Cette formule (8) peut encore prendre une autre forme. Considérons l'ellipsoïde E donné par l'équation
I 4- - TUTÏTi I 4- - TZWi I -h - TTTîyj
(9) —7^ Ç'+^ V+— J Çt=,.
Cet ellipsoïde a encore mêmes directions d'axes que l'ellipsoïde d'induction magnétique.
GHAP. III. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 3l9
La droite OM' rencontre cet ellipsoïde en un point M ; soit p la distance OM ; on démontre sans peine que
L'égalité (8) peut donc s'écrire
Cette formule conduit immédiatement à un certain nombre de conséquences dans le cas où Ton a
Ce cas, on le sait, est présenté par toutes les substances holomorphes et aussi, du moins approximativement, par les substances hémimorphes. Dans ce cas, la quantité L n'est autre que l'intensité même du champ; elle est donc indépendante de l'orientation
de la sphère; la quantité -, varie seule avec cette orientation.
Si la sphère cristalline est soumise aux seules actions magnétiques, la quantité ^ devra, pour l'équilibre, prendre la plus petite valeur qui soit compatible avec les liaisons auxquelles la sphère
est assujettie ; la quantité ^ devra donc avoir la plus grande valeur
possible.
Supposons que l'on ait
TSi ]> tD2 ]> HTs.
Si la sphère est libre de s'orienter de toute manière, p* prendra
« Wl I -H -GTl
sa plus grande valeur — ^—, — et p'^ sa plus petite valeur — ^
lorsque ces deux directions coïncideront avec la direction de l'axe principal d'induction magnétique qui correspond au coefficient d'aimantation Wi .
Ainsi, si une sphère cristalline holomorphe libre de s'orienter est soumise à l'action d'un champ magnétique uni/orme, elle s'orientera de manière que l'axe de plus grande aimantation de la substance soit parallèle aux lignes de force du champ.
SliO LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX.
On démontrerait de même la proposition suivante :
Supposons la sphère cristalline susceptible seulement de tourner autour d'un a^e parallèle à l'un des a^es principaux d'aimantation et les lignes de force du champ perpendiculaires à cet axe. La sphère cristalline s'orientera de telle sorte que celui des deux autres axes d'aimantation qui correspond au plus grand coefficient d' aimantation prenne la direction des lignes de force au champ.
Il peut arriver que Tellipsoïde dUnduction magnétique soit un ellipsoïde de révolution; dans ce cas, le cristal sera uniaxe au point de vue du magnétisme. En général, les raisons de symétrie qui obligent un cristal à être optiquement uniaxe obligeront aussi ce cristal à êlre magnétiquement uniaxe. Les cristaux optiquement uniaxes et les cristaux magnétiquement uniaxes seront donc, en général, les mêmes. Toutefois, dans certains cas particuliers, il pourra arriver que Tellipsoïde d'induction magnétique ou Tellipsoïde d'élasticité envisagé en Optique aient une symétrie supérieure à celle de la structure cristalline: l'un pourra être de révolution, tandis que l'autre ne le serait pas; le cristal pourra être magnétiquement uniaxe et optiquement biaxe ou inversement. C'est ce qui arrive pour le sulfate de fer qui est magnétiquement uniaxe, quoique clinorhombique et optiquement biaxe (*).
Si un cristal uniaxe ne peut que tourner autour d'une droite parallèle à l'axe magnétique et si les lignes de force du champ sont perpendiculaires à cette droite, aucun couple ne tendra, d'après ce qui précède, à donnera ce cristal une orientation plutôt qu'une autre. L'équilibre du cristal sera indifférent.
Supposons, au contraire, que le cristal puisse seulement tourner autour d'une droite parallèle à l'équateur de l'ellipsoïde d'induction magnétique, les lignes de force du champ étant perpendiculaires à celte droite. Si l'ellipsoïde d'induction magnétique est un ellipsoïde de révolution allongé, cas auquel le cristal est magnétiquement positif, Taxe magnétique du cristal se placera dans la direction des lignes de force; si, au contraire, l'ellipsoïde d'induction magnétique est un ellipsoïde de révolution aplati, cas auquel
(') V. Mallard, Traité de Cristallographie, l. 11, p. 537.
le cristal est magnétiquement négatif, l'axe magnétique du cristal se placera perpendiculairement à la direction des lignes de force.
§ 3. — VérificatioiiB expérimentales.
Supposons que Ton suspende un cristal de manière qu'il ne puisse tourner qu'autour de l'axe OÇ et que les lignes de force du champ soient normales à l'axe de rotation. Soit J l'intensité du champ et i( l'angle que fait cette intensité avec Ot|. Nous aurons
F = o, G = J co8<]/, H — J sinO.
Supposons, en outre, que Ton ait
X — o, jx -r o, V — o.
L'égalité (6) deviendra
^ = J* I ; cos*6 -î ; sin'il
Nous aurons donc
sin^ costj/ d^.
L'équilibre a lieu au moment où l'axe Otj est dirigé suivant les lignes de force du champ, c'est-à-dire au moment où l'on a
sin^/ = o, cos6 = 1.
Si l'on écarte le cristal d'un angle rf']^ de cette position d'équilibre, le couple qui tend à 1')^ ramener a pour moment
Le cristal, ainsi écarté de sa position d'équilibre et abandonné à lui-même, effectuera des oscillations isochrones, dont la durée
T| sera donnée par Téquation suivante :
T*"" ir>K
K désignant le moment d'inertie de la sphère cristalline par rapport à un axe passant par son centre.
Si Ton faisait osciller la sphère autour de Taxe Ot^, placé normalement aux lignes de force du champ, on aurait une durée d'oscillation Tj donnée par
(i I bis)
I R»JW 3'''^» -^"^^
Enfin, si Ton faisait osciller la sphère autour de Taxe OÇ, placé normalement aux lignes de force du champ, on aurait une durée d'oscillation T3 donnée par
f R8.ÎS /
(il ter)
I R»Jî/ 3''''* 3™*
La comparaison des égalités (11), (11 bis), (11 ter) conduit à cette relation remarquable
Plûcker (*), qui a démontré cette relation (12), Ta soumise au contrôle de l'expérience.
Dans un beau cristal de formiate de cuivre, il fît tailler une sphère de i centimètre de diamètre environ ; il la posa sur un petit anneau de mica très mince tenu par trois fîls de soie, et la fit osciller successivement autour de chacun des axes d'aimantation en comptant le nombre des oscillations. Dans deux séries d'observations, l'une faite en excitant l'électro-aimant avec six éléments
(») J. Plucker, On the magnetic induction of crystals {Pkilosophical Trans- UionSj t. II, p. 543; i858).
actions
CHAP. m. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 323
de pile, l'autre en excitant l'électro-aimant avec douze éléments, il trouva les nombres d'oscillations par seconde que voici :
Axes de suspension.
0^ Oïl. OÇ.
Première série 22,5 à 23 53 4g
Deuxième série 3i à3i,5 73 67
La première série donne
TfT-i- ;pï= 2918,
La deuxième série donne
La relation (12) est donc vérifiée avec une exactitude suffisante.
Plûcker a indiqué une autre relation susceptible d'être vérifiée par l'expérience.
Soient Ox^ Oy, Oz (Jig* 2'i) trois axes de coordonnées rectangulaires fixes. Le cristal peut tourner autour de l'axe Oz. L'inten-
Fig. 23.
site du champ est dirigée suivant O^. O^ est dans le plan iTOÇ. Le plan 1^0 Ç trace sur le plan xOy une droite Os qui fait un
angle ^ avec Ox] cette même droite fait un angle cp avec 05- On a alors les égalités suivantes :
F = J coscp costj/,
G = — J sin^',
H = — J sin<p cos^'.
SI l'on suppose ^k = o, [x = o, v = o, l'égalité (6) deviendra
R» / 3 ''^^^ 3 ^^* 3 ^^^ ^ — J* j cos*<p cos*^!^ -\ r sin*i|/ h sin'ç cos*^'
\ H- - TTWi I -+- - TZWi I ■+■ ~ TtTÎTa
Si Ton fait tourner le cristal d'un angle infiniment petit autour de Ozy ^ augmentera d'une quantité d^ égale à celle dont le cristal a tourné, tandis que cp ne variera pas; rf éprouvera un accroissement
(4 4 4 ^ cos*9 ! ~ sin*cp jsini^d^, I -h ^ TUTïTi I -f- ^ TcTSTs I -+- -- TCWj
La condition d'équilibre s'exprime en écrivant que
ce qui donne
sin2^ = o.
Suivant les grandeurs des diverses quantités qui figurent dans la parenthèse, l'équilibre stable a lieu lorsque OÇ est dans le plan 5 Oj: ou lorsque le plan ^OÇ est perpendiculaire au plan^Ojr.
Si le cristal est écarté d'un petit angle d^ de sa position d'équilibre, le moment du couple qui tend à le ramener à cette position est égal en valeur absolue à
Rtjîi cos«ç sin«o \M.
