L\ FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE ET LE POTENTIEL

MAGNÉTIQUE

§ 1. — La fonction potentielle magnétique à l'extérieur d'un aimant.

Nous avons vu [Chapitre I, égalité (5)] que, si d^^ est un élément de volume, de coordonnées Ç, tj, Ç, intérieur à un aimant; si ^V., \ll), O sont, en un point de cet élément, les composantes dv Taimantation, on donne le nom de /onction potentielle magmatique de cet aimant, en un point (a:, ^, z) qui lui est extérieur, à la fonction

ilv»

La fonction ^{r) elle-même est définie de la manière suivante [Chapitre I, égalité (4)]

d^( r ) ^dT'

-fir).

Nous avons admis que l'on avait [Chapitre II, égalité (12)]

Nous pouvons donc prendre

et définir la fonction potentielle magnétique en un point {x^}\ z) extérieur à un aimant par Tégalité

dw

Il est évident qu'à l'extérieur de l'aimant cette fonction est

uniforme, finie et continue ainsi que ses dérivées partielles de tous les ordres par rapport aux variables x^ y^ z. A Finfini, elle se comporte comme une fonction potentielle électrostatique.

Si, au point (:c,^, z), se trouvait une quantité de fluide magnétique austral égale à Tunité, cette masse magnétique subirait, de la part de Taimant, une action dont les composantes X, Y, Z seraient données par les égalités [Chapitre I, égalité (6)]

L'expression (i) est susceptible d'une transformation 1res remarquable. Une intégration permet de l'écrire

Ci) \'>(:r,j^,z) = ~C |Ll,cos(N/,ar) ~~ Ti

•^ Il ' »/ I

Il âJ^ ai

dS étant un élément de la surface qui limite ['aimant et N/ la normale à cet élément vers l'intérieur de l'aimant.

L'égalité (3) peut s'interpréter de la manière suivante : Imaginons un fluide fictif y susceptible de se distribuer en des volumes ou sur des surfaces à la manière du fluide électrique. Supposons que l'on distribue de ce fluide à l'intérieur d'un aimant, de manière qu'il ait au point (Ç, yj, Ç) une densité solide

et que Ton distribue aussi de ce fluide à la surface de l'aimant avec une densité superficielle

(5) a = — |Ul,cos(N/, a7)||.

D'après la formule (3), la fonction 'Qi^x^y^z^ sera la fonction potentielle de cette distribution fictive.

Imaginons que ce fluide fictif agisse sur les fluides magnétiques comme agissent les fluides magnétiques eux-mêmes, et le résultat exprimé par l'égalité (3) pourra s'énoncer en disant que V aimant exerce sur toute niasse magnétique extérieure la même action que la distribution fictif e définie par les égalités (4) et (5).

La fonction potentielle magnétique de l'aimant étant identique à la fonction potentielle ordinaire de cette distribution fictive, on voit de suite, par les propriétés de la fonction polentielle

CUAP. III. — FONCTION POTENTIELLE IfAGNÉTIQUE, ETC. 87

ordinaire, que l'on a, en tout point extérieur à Taimant

La Jonction potentielle magnétique est harmonique en tout point extérieur à l'aimant.

§ 2. — La fonotion potentielle magnétique à l'intérieur d'un aimant.

Nous venons d'indiquer quelles sont les propriétés fondamentales de la fonction potentielle magnétique d'un aimant en un point (^, y, z) extérieur à cet aimant. Considérons maintenant un point {x, y, z) intérieur à Taimant, et voyons dans quelle mesure on peut lui étendre les propositions précédenles.

Pour les points (Ç, r,, Ç) infiniment voisins du point {x, y, z)y

la quantité - devient infinie. On peut donc se demander si l'in-

tégrale

dv

conserve un sens.

Entourons le point (Ç, t), Ç) d'une petite surface convexe a*. Soit

du

l'intégrale s'étendant à tous les éléments du du volume u compris entre les surfaces o* et S. La question qu'il s'agit d'examiner est la suivante : l'intégrale J tend-elle vers une limite déterminée lorsque la surface o* se resserre autour du point (:r, y^ 5), de manière à revenir s'évanouir en ce point par une série quelconque de formes?

La quantité - étant finie pour tous les points (Ç, r,, Ç) du volume w, on peut toujours, au moyen d'une intégration par parties, amener la quantité J à la forme

J = — C Ll,cos(N/, 0?) j W A)Cos(N/, a?) /

(^elte transformation faite, contractons la surface 0-.

-du.

38 LIVRE VII. — LES FORCES IfAGNÉTIQUES.

Le premier terme de J demeure invariable.

Désignons par rfa> l'angle sous lequel, du point {x^y^ 5), on voit l'élément rfc; le second terme de J peut s'écrire

fXi cos(N/, x)

cos(N/, /')

dui^

l'intégration s'étendant à la sphère de rayon i ayant pour centre le point (x, y, ^). Or, la surface o* étant convexe, la quantité cos(N/, r) est positive pour tout élément e/co et ne peut devenir nulle en aucun d'eux. Lorsque la surface o* se contracte pour venir s'évanouir au point {x^ y, <s), r tend vers o. Il en est donc (le même du second terme de J.

Le troisième terme de J représente la fonction potentielle ordinaire au point (x, y, z) du fluide fictif distribué en tout point du volume u avec la densité p donnée par l'égalité (4). D'après les propriétés de la fonction potentielle ordinaire, lorsque la surface avient s'évanouir au point {x^y^ z)^ ce troisième terme tend vers une limite parfaitement déterminée qui est

dVj

rintégrale s'étendant au volume entier de l'aimant.

De là les conséquences suivantes :

1° Lorsque la surface <t vient s'évanouir au point {x^y^z) d'une manière quelconque, la quantité J tend vers une limite finie et entièrement déterminée. Il en résulte que l'intégrale

garde un sens lorsque le point {x^ y^ z) est intérieur à l'aimanl ou se trouve à sa surface. C'est une fonction \*) {x^ y, z) des coordonnées a:, ^, z de ce point, fonction à laquelle nous conserverons le nom de fonction potentielle magnétique de r aimant au point {x^y, z),

'2° On peut, quelle que soit dans l'espace la position du point {x,y, z), écrire l'égalité

(^) V>(:r,jK,^) = -§|i.l.cos(N/,a7)||^-y

— dv.

CHAP. III. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. Sg

que nous savions déjà être exacte dans le cas où le point (or, y, z) est extérieur à l'aimant.

La fonction potentielle magnétique d'un aimant en un point quelconque est donc la somme des fonctions potentielles ordinaires au même point de deux distributions fictives : Tune a pour densité solide, en tout point intérieur à Taimant, la quantité p définie par Tégalité (4); l'autre a pour densité superficielle, en tout point de la surface de l'aimant, la quantité t définie par l'égalité (5).

Les propriétés connues de la fonction potentielle ordinaire fournissent alors autant de propriétés de la fonction potentielle magnétique. Énumérons ces propriétés :

i** Si la quantité p a une valeur finie en tout point intérieur a l'aimant, la fonction t? (x, y, z) est continue et admet des dérivées partielles du premier ordre par rapport à x, y^ 5, en tout point intérieur à l'aimant. Ces dérivées ont pour expression

g=-S|Ucos(N„a.)

dl

^^-sm

^^ c II • /M N ''^c r\ ^^

ç n II

r; = — V JU COS(N/, X)

dS

__ r\\àx

dx

èi

ây

dz

dç.

dv^

dv.

2" Si la quantité p admet en tout point intérieur à l'aimant des dérivées partielles du premier ordre qui soient finies, la fonction potentielle magnétique '<^(^, y, z) admet, en tout point intérieur à l'aimant, des dérivées partielles du second ordre qui sont finies, et ces dérivées vérifient la condition suivante

ùi'Ç{x,yz.)z^iTz(^

dx

ày

dz

3° La fonction *<? varie d'une manière continue, même à la traversée de la surface S, si la densité o- est finie; mais ses dérivées partielles subissent une brusque variation au passage de cette surface; suivant une direction tangente à la surface S, la dérivée partielle du premier ordre de la fonction t? n'éprouve aucune discontinuité à la traversée de la surface S ; mais il n'en est pas de

4o LIVRE Vil. -— LES FORCES MAGNETIQUES.

m ême pour la dérivée suivant la normale à la surface S. Soient N/, Nff les deux directions de la normale 'en un point à cette surface ; on aura

(9) ^^^-f-^^ = 4^1UV>cos(N,-,ar)|I.

4** Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les quantiés ei»,!!^, G variaient d'une manière continue d'un point à l'autre de l'aimant; il peut arriver que ces quantités soient discontinues le long d'une certaine surface; cette surface devra alors porter une distribution de fluide fictif qui aura pour densité

a =—\\Xi cos(Ni,ir)|l— H c<l)jCOs(Nj, x) ||,

fX,i, '\Si>ij Qi étant les valeurs de X, ilb, G d'un côté de la surface de discontinuité; Jl>2) '^*<>2} ^2 l^s valeurs des mêmes quantités de Tautre côté de la surface; N|, N2 les deux directions de la normale à cette surface.

Aux divers points de cette surface, on aura

5° Si l'on place, en un point {x^ y, z) intérieur à l'aimant, une quantité de fluide magnétique égale à l'unité, la distribution fictive définie par les égalités (4) et (5) exercera sur cette masse une action parfaitement déterminée^ dont les composantes X, Y, Z seront données par les formules

(II) A= j— > 1= 3— , z, = -r- •

ox oy dz

Peut-on énoncer cette proposition, ainsi qu'on serait tenté de le faire, de la manière suivante : Un aimant exerce sur une masse magnétique égale à V unité placée en un point intérieur (Xj yj z) une action parfaitement déterminée, dont les composantes sont données par les formules (i i)?

Nous allons voir que cette expression : action d*un aimant sur une masse magnétique concentrée en un point qui lui est intérieur^ ne peut avoir aucun sens si Ton admet que la loi donnée par Coulomb et Gauss pour les actions mutuelles des particules magnétiques demeure exacte, même pour les particules au contact.

GHAP. III.— FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 4l

L^aîmant est limité par une surface S; entourons le point M(ar,y, 5) intérieur à cet aimant par une petite surface convexe 7. Désignons par A Faimant donné, dont le volume est ç, et par B l'aimant, de volume u^ compris entre les surfaces S et c. Soit t) (^,y, z) la fonction potentielle au point M de Taimant B; soient S, H, Z les composantes de l'action que cet aimant B exerce sur une masse magnétique égale à Tunité placée au point M. Le point M n'appartenant pas au volume occupé par l'aimant B, on a

dx

&0 àz'

D'après les égalités (7), la première de ces deux égalités peut s'écrire