SI

-X>cos(Si,x)

vl>cos(N/,a?)

A, ai

du.

Les quantités H et Z sont susceptibles de s'exprimer d'une manière analogue.

Supposons que l'on contracte la surface (t autour du point M de manière qu'elle vienne s'évanouir au point M. La quantité précédente varie. Si elle tendait vers une limite dont la valeur fût indépendante de la série des formes par lesquelles la surface aa passé pour venir s'évanouir au point M, nous pourrions dire que cette limite représente la composante parallèle à Oûc de l'action exercée au point M par l'aimant A. Mais nous allons voir qu'il n*en est pas ainsi.

Examinons séparément les trois termes dont se compose S.

Le premier terme ne varie pas lorsque la surface <j varie.

L'existence déjà prouvée de l'intégrale

/Il

ai'

équivaut à ce fait que, lorsque la surface t vient s'évanouir au point M, la quantité

/Il

r dx

(•>. LIVRE VII. — ij:s forges magnétiques.

tend vers une limite finie, indépendante de la série des formes par lesquelles a passé la surface «t.

Mais il n'en est plus de même du second terme de E,

/= X cAoCOs(N/, rr)

Nous allons démontrer que, si Ton contracte la surface «r de manière qu'elle vienne s'évanouir au point M par une série de formes homolhétiques les unes des autres par rapport au point M, la quantité précédente tend vers une limite déterminée, mais que la valeur de cette limite dépend de la forme initiale de la surface a-.

Prenons, en effet, une des surfaces par lesquelles passe a en se contractant. Pour celte surface, on a

•'"Si" '^*'*(^'' ""> dx '''"*' S ir'"' ~" '^ *'***(^'' *)

di.

a, jii, y étant les composantes de l'aimantation au point (x^ j^ z).

Lorsque la surface <t se contracte, t— tend vers une limite finie;

[X — a), (ijl — P), (3 — y) tendent vers o. Le second terme dey tend donc vers o.

D'autre part, on a

T~ = — «— = -; cos(r,:r).

Si Ton remarque alors que, pour deux surfaces <t homothétiques Tune de l'autre par rapport au point M, les quantités

cos(N/, x)cos{r\x) ~~>

^ cos(N/,^)cos(r,a:)^, ^cos(N/,z)cos(r,a?)^,

CUAP. III.— FONCTION POTENTIELLE IfAGNÉTIQUE» ETC.

oal la même valeur, on verra sans peine que Ton a

limy = a V co3(N/,iF)cos(r, a:) -j- -*- P § cos(N/,7) cos(r, x) ^

dfz

Y^cos(N/,^)cos(r,a7) ^

les trois sommations s'étendant à la surface a initiale.

Pour prouver ce que nous avons avancé, il suffit de montrer que, pour deux formes initiales diflTérentes de la surface t, la quantité

cos(N/, x) cos(r, ar) —

n'a pas en général la même valeur.

Supposons que la forme initiale de la surface <x soit celle d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des 3c{Jîg.(y).

Fig. 6.

Soient B et B' les deux bases. Pour la surface latérale, on a, en

tout point,

cos(N/, a-) = o;

pour la base B, on a, en tout point, N/ étant la normale extérieure

à la surface 7,

cos(N/, a?) = i;

pour la base B', on a, en tout point,

co8(N/, ar) = — i.

Donc, pour notre cylindre, on a

S "''^^'' "^ "''^''' ^^ 7^ = S.^^H^^ ''' - Sb-

cos(r, x)

Désignons par (o Tangle sous lequel la base B est vue du point M, et par lo' Tangle sous lequel la base B' est vue du même point. Il est aisé de voir que l'égalité précédente peut s'écrire

C08(N/, x)cos(r, 07)— = (I) -h 0)'.

On voit bien alors que cette quantité dépend de la forme du cylindre et de la position du point M dans ce cylindre.

Ainsi l'expression : action d'un aimant sur une masse magnétique concentrée en un point qui lui est intérieur n'a aucun sens. C'est une proposition capitale dans l'étude du magnétisme; beaucoup d'erreurs ont été commises par les auteurs qui l'ont méconnue.

La plupart des propositions démontrées dans ce qui précède sont dues à Poisson ('), bien que les travaux de Poisson sur ces questions renferment quelques inexactitudes (2).

S 3. — Du potentiel magnétique.

D'après ce que nous avons vu au Chapitre 1, et d'après la détermination de la fonction (f(r) obtenue au début de ce Chapitre, le potentiel des actions magnétiques mutuelles de deuxaimants A, A'

(*) Poisson {BuUetln de la Société PhUomathique, décembre i8i3). — Mémoire sur la théorie du Magnétisme^ lu à rAcadémie des Sciences, le 2 février 1824 {Mémoires de V Académie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V, p. 247).

(') Voir, au sujet des inexactitudes commises par Poisson, notre Étude historique sur Vaimantation par influence {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. I[| 1887).

GlIAP. III. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 45

est susceptible de deux expressions distinctes. On peut Técrire [Chap. I, égalité (i i)]

X\iV

ôy ox oy ôy

dz dx'

CDl»'

dldy

elo^i^

âx dz'

dydz'

co'

dz dz

dv dv'.

chacune des intégrations s'étendant à Tun des deux aimants. Oi> peut aussi, en désignant par O la fonction potentielle magnétique de l'aimant A, par t)' la fonction potentielle magnétique de Taimant A', donner à $ l'une des deux formes équivalentes [Chap. I, égalités (lo) et (lo bis)]

dV dx

^Vr àx'

dv\

De CCS égalités, on déduit

dx'

^^ dx

di'.

Soit \*> la fonction potentielle magnétique de Tensemble des deux aimants; nous aurons

Considérons la fonction ff définie par l'égalité

- ri! , ^"^^

,dO dx'

dv'.

En vertu des égalités (i3) et(i4)j on voit que Ton peut écrire

;J = 2aM-y

dv'.

Or, si Ton déplace Taimant Asans changer sa forme ni son aiman-

/» Il Axn I talion, la quantité / | Ll, — i rfç^ gardera évidemment une valeur

invariable; de même, si l'on déplace l'aimant A' sans changer sa

/* I àvy forme ni son aimantation, la quantité / 1 X' -r-r dv^^ gardera une

valeur invariable. Si donc on déplace l'un par rapport à Tautre les deux aimants sans changer leur forme ni leur aimantation, on aura Tégalité

qui permet d'énoncer le théorème suivant :

Lorsqu^on déplace ^ un par rapport à Vautre deux aimants dont on maintient constantes la forme et l'aimantation, les actions mutuelles de ces deux aimants effectuent un travail égal, au signe près, à la variation que ce déplacement fait subir à la quantité ^, définie par V égalité (i5).

Nous donnerons désormais à cette quantité ij le nom àe potentiel magnétique du système des deux aimants* Cette définition s'étend évidemment à un système formé d*un nombre quelconque (l'aimants.

Soit S la surface qui limite le vohime v de l'aimant A; soit N/ la normale à cette surface vers l'intérieur de l'aimant; soit S' la surface qui limite le volume {>' de l'aimant A'; soit N^ la normale à celle surface vers l'intérieur de l'aimant. Posons

(4 bis) ( 5 bis)

Ox'

T 3= — ;| X cos(N/, x)\\, t' = — Il aV(N;-, x}\\.

Les égalités (7) nous permettront d'écrire

ài

S/' Â^'^^'^ S/' ji'^^'-^/p' ài'^'^^f/^ T>ï* '''''•

/• désignant, dans ces diverses intégrales, les distances respectives du point (x^y, z) aux éléments rfS|, t/S',, rfç',, dK^\. Nous aurons, de même,

ùi

D'ailleurs, les propriétés de la fonction potentielle ordinaire nous

CHAP. m. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. ij

permeltenl d*écrire

il-r^"' =/p'5^'''"'

En réunissant ces divers résultats, on voit que l'égalité (i 5) peul

s'écrire

dv' .

Une intégration par parties permettra de remplacer celte égalité par la suivante

Cette égalité (i6) nous démontre une importante proposition (|ui complète celle que nous avions démontrée au § 1.

Distribuons du fluide fictif j tant à l'intérieur des deux aimants A et AI qu'à leur surface, suivant les lois indiquées par les égalités (4 bis) et (5 bis)', imaginons que deux quantités q, q' de fluide fictif séparées par une distance r, exercent l'une

sur l'autre une action répulsive ayant pour valeur ^i—- Le

potentiel des actions mutuelles de ces charges fictives sera précisément égal au potentiel magnétique du système.

Ainsi, il est permis de substituer à des aimants la distribution fictive définie par les égalités (4 bis) et (5 bis), non seulement lorsqu^on veut calculer les actions que ces aimants exercent sur un pôle magnétique extérieur, mais encore lorsque l'on veut calculer les actions qu'ils exercent les uns sur les autres.

L'égalité (i6) donne à JTune forme analogue à celle d'un potentiel électrostatique. Les propriétés connues du potentiel électrostatique vont nous permettre de donner une nouvelle forme à cette expression de ij'. Remarquons que la distribution fictive dontJT est le potentiel a pour fonction potentielle ordinaire la fonction potentielle magnétique ^, et nous pourrons écrire [Livre I, Chap. IX, égalité (9)] :

l'intégration s'étendant à tout l'espace.

Cette égalité (17) nous montre que 7 est essentiellement positif, à moins que l'on n'ait dans tout l'espace

ffO dX) d-ç

ôx oy oz

Comme, d'ailleurs, la fonction "v? est continue dans tout Tespace et

égale à o à l'infini, ces égalités exigeraient que l'on eût, dans tout

l'espace,

Le potentiel magnétique d^un système aimanté est positif , à moins que la fonction potentielle magnétique ne soit égale ào dans tout r espace.

La fonction potentielle magnétique sera évidemment égale à o dans tout l'espace si le système n'est pas aimanté; mais il n'est pas nécessaire que le système ne présente aucune aimantation pour que la fonction potentielle magnétique soit égale à o dans tout l'espace. D'après l'égalité (3) et les propriétés connues de la fonction potentielle ordinaire, il est nécessaire et suffisant, pour qu'il en soit ainsi, que les composantes de l'aimantation vérifient

CIUP. m. — FONCTION POTEXTIELLB MAGNÉTIQUE, ETC. .(g

en toal point intérieur à chacun des aimants Tégalilé

dX dift> d3 ôx dy ùz "

et, en tout point de la surface de chacun de ces aimants, T égalité

«.l>cos(N/, x)-\- lllcos(N/,^)-4- 3 ces (M/, ^)= o.

Or il est facile de trouver pour .V, iJI>, 3 des valeurs différentes de G qui vérifient ces égalités; les valeurs de X^ \Jb, © qui vérifient ces égalités représentent les composantes de la vitesse en tous les points d*une masse fluide incompressible qui occuperait le volume invariable deTaimant; une semblable masse n'est pas nécessairement au repos : il n'est donc pas nécessaire que X^ \jb, 8 soient identiquement nuis.

La formule (17) fait intervenir la quantité

Cette quantité se présentera fréquemment dans nos calculs. Il sera donc commode d'adopter, pour la représenter, un symbole unique. Dorénavant, nous poserons

[à^^y (dV\^ I^V"

Moyennant cette notation ('), l'égalité (17) pourra s'écrire

nt? dv.

En tout point extérieur aux aimants, la quantité Iltp a une signification très simple; elle représente le carré de la valeur absolue de la force exercée par les aimants sur une quantité de fluide austral égale à V unité placée en ce point.

L'égalité

(») Lamé employait, au lieu du symbole nt?, le symbole (A,t?)».

OÙ \ représente une constante arbitraire , définit dans l'espace une famille de surfaces. Nous donnerons à ces surfaces, que nous aurons souvent à considérer, le nom de sur/aces isodynamiques. Une charge magnétique, parcourant les divers points d'une surface isodjnamique extérieure aux aimants, subit de la part de ces aimants une force dont la valeur absolue ne varie pas.

GHAP. IV. — DISTRIBUTIONS KOUIVALENTES A UN AIMANT. 5l