POTENTIEL THERMODYNAMIQUE D'UN SYSTÈME RENFERMANT

DES DIÉLECTRIQUES.

I 1. ~ Potentiel thermodynamique d'un système qui renferme des corps diélectriques électrisés et polarisés.

Après avoir exposé, dans les Livres précédents, les principales propriétés des aimants, nous allons revenir à l'étude des phénomènes électriques et examiner les propriétés des corps diélectriques; les calculs que nous avons eu à faire en exposant la théorie des corps aimantés pourront servir presque en entier à la recherche des propriétés des diélectriques.

C'est, d'ailleurs, en imitant les représentations qui avaient été adoptées pour résumer les phénomènes présentés par les aimants que les physiciens sont parvenus à représenter aussi les phénomènes présentés par les corps diélectriques.

Coulomb avait représenté les aimants comme un assemblage de petites particules conductrices pour les fluides magnétiques, renfermant chacune des quantités égales des deux fluides, séparées les unes des autres par un milieu imperméable aux fluides magnétiques. Mossotti (*) imagine de la même manière que les dié-

(») Mossotti, /?ôcAcrcAej théoriques sur V induction électrostatique envisagée d* après les idées de Faraday {Bibliotk. universelle, Archives d'électricité, t. V, p. 193 ; 1847). ■" Discussione analitica suit* influenza che razione di un

34o LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES.

lectriques sont formés de petits corps conducteurs, dont chacun renferme des quantités égales des deux fluides électriques, et qui sont séparés les uns des autres par un milieu isolant^ Faraday (*) avait auparavant adopté celte opinion.

Poisson, par une analyse qui n'est pas exempte de défauts, a déduit de Thypothèse de Coulomb une théorie de Taimantation par influence. Une analyse identique à celle de Poisson, appliquée à l'hypothèse de Mossotti, conduit Clausius (^) à une théorie de l'électrisation des corps diélectriques.

Enfin, de même que Sir W. Thomson a rendu la théorie de l'aimantation par influence sauve de toute hypothèse sur la nature des aimants, on peut, en suivant les idées de Maxwell ('), rendre la théorie des milieux diélectriques sauve de toute hypothèse sur la constitution de ces milieux.

Dans l'ensemble des études qui forment les six premiers Livres de cet Ouvrage, l'état d'électrisation d'un corps est regardé comme complètement défini lorsqu'on connaît la densité électrique solide en tout point intérieur à ce corps et la densité électrique superficielle en tout point de la surface de ce corps. Une semblable définition suffit, dans un grand nombre de cas, à représenter les phénomènes présentés par un corps éiectrisé; mais elle ne suffit pas toujours. Pour faire rentrer dans la représentation adoptée un plus grand nombre de phénomènes électriques, on est amené à compléter cette représentation par Tintroduclion d'une nouvelle classe de paramètres.

Dorénavant, nous admettrons que, pour connaître complètement l'état d'électrisation d'un système il faut connaître :

1^ En chaque point des surfaces de discontinuité qu'il renferme, la densité électrique superficielle;

mezzo dietettrico ha sulla distribuzione delV elettricità alla superjizie dei più cor pi elettrici disseminati in esso {Mémoires de la Soc. ital. de Modène, t. XXIV, p. 49; i85o).

(») Faraday, Expérimental researches in Electricity, série XI, § 6; nov. iSS;.

(*) R. Clausius, Sur le changement d'état intérieur qui a lieu pendant la charge dans la couche isolante d'un carreau de Franklin ou d'une bouteille de Leyde, et sur l'influence de ce changement sur les phénomènes de la décharge; 1866 {Théorie mécanique de la chaleur, trad. Folie, i** édition, t. II, p. 86).

(') Maxwell, Treatise on electricity and magnetism, passim.

GUAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 34 1

2^ En chaque point des volumes de constitulion homogène ou variable d'une manière continue qui le forment :

A. La densité électrique solide;

B. Une grandeur géométrique, variable d'un point à l'autre d'une manière continue; nous donnerons à cette grandeur géométrique le nom d'induction diélectrique.

Nous allons chercher la forme que doit présenter le potentiel thermodynamique interne d'un semblable système; nous serons aidés dans cette recherche par les résultats déjà obtenus au Livre IX, Chapitre I. Les premières définitions des paramètres qui déterminent l'état d'électrisation d'un système sont, en effet, entièrement analogues aux premières définitions des paramètres qui déterminent un système électrisé et aimanté ; Vinduction diélectrique remplace simplement V intensité d' aimantation ; mais les hypothèses ultérieures faites sur ces deux sortes de paramètres établissent ensuite entre eux des différences.

Ces différences mêmes, comme nous l'allons voir, ne portent que sur un point.

Que l'on reprenne tout ce qui, au § 2 du Chapitre I (Livre IX), précède l'égalité (i i), en remplaçant seulement le mot intensité d* aimantation par le mot induction diélectrique et le fluide fictif magnétique par un fluide fictif diélectrique; puis, arrivé à l'hypothèse qu'exprime l'égalité (i i), que l'on modifie de la manière suivante l'énoncé de cette hypothèse :

Soit une distribution fictive équivalente à Vêlement dv2' Elle est formée par des quantités de fluide diélectrique fictif ['^29 [^21 V-Ij •••? l^a" concentrées en despointsM2, M^, M^, ..., M!,"^ L'élément dv^ porte en outre des charges électriques libres [jl!/*^' ^, . . . , [JL^/^ concentrées en des points MS/*^* ', . . . , Wf . On peut écrire

y^(^^ dépend uniquement de la masse ^\^^ et de la situation respective des deux points M^, W.j^^\ il en dépend de la même manière, QUE LA MASSE [Jl^'"^ SOIT UNE MASSE D£ FLUIDE DIÉLECTRIQUE FICTIF OU UNE MASSE DE FLUIDE ÉLECTRIQUE.

En suivant alors la marche indiquée au Livre IX, Chapitre 1,

§ 2, nous trouverons que Ton a

puis, que l'on peut écrire

dy(riî )

5 <^?(''13) Aoa — :

ûft^j

2yo(/-)-f-a^'o(r')

^v)tt r

\i\on

ds?n

<jr, y', ..., q^P'i étant les charges électriques réparties sur le système, et r, /•', ..., r^P"^ les distances de ces charges à un point de Télément dç^.

Les égalités (5) et (9) {loc cit.) et l'égalité (2) du présent Chapitre ne laissent plus à déterminer, dans l'expression de r?'', que la fonction y(/'); nous la déterminerons de la manière suivante :

Tout d'abord nous verrons, comme au Livre IX, Chapitre I, § 2, que :

Les forces qui s^ exercent dans un système de diélectriques invariables d^état de polarisation diélectrique et d^électrisation s* obtiennent en adjoignant aux forces qui s'exerceraient dans le système électrisé, mais dépourvu de polarisation diélectrique, un groupe de forces ayant pour potentiel la quantité §",

Supposons en particulier que le système se compose d'un élément diélectrique dv^ polarisé, où l'induction ait pour composantes Jlo|, iPoi, 8|, et d'un autre élément dv^t où l'induction électrique soit égale à o, mais qui porte une charge électrique q^» D'après ce qui précède, les actions mutuelles des deux éléments dv^j dv2 auront pour potentiel la quantité

/ = 5^8 dv^

dj7, Il

Nous admettrons l'hypothèse suivante :

Pour obtenir les actions quun élément diélectrique polarisé exerce sur un autre élément électrisé, on peut remplacer Vêlement diélectrique par une distribution équivalente de fluide fictif, puis imaginer que ce fluide fictif exerce sur le fluide électrique les mêmes actions que le fluide électrique lui-même.

CBAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 343

Si [JL, [jl', (x*^, ... sont les charges de fluide diélectrique fictif qui forment la distribution équivalente à Télément di^i; si r, r', a^', ... sont leurs distances à un point de Télément di^2i ^^ voit que, d'après cette hypothèse, le potentiel des actions mutuelles des deux éléments rfi^j, rfç'a pourra s'écrire

Un raisonnement bien facile, et dont l'analogue se trouve au Livre IX, Chapitre 1, § 2, permet de transformer cette égalité en la suivante

/— tÇidvi

La comparaison des égalités (3) et (4) donne

Dès lors, si nous désignons par Y^ la fonction potentielle, en un point de l'élément dç^, de toutes les charges électriques répandues sur le système; par tHi la fonction potentielle diélectrique au même point, c'est-à-dire la quantité définie par la formule

ivv>j

dvt

OXn

dç

on aura

■v?i= e(t>,-t-2Vi)

et, par conséquent, d'après les égalités (5) et (g) {loc. cit.),

eAo — —

âx

/■ylo

ùx

dVf

les deux intégrations s'étendant au système tout entier.

Cette détermination de la quantité cf'' repose essentiellement, on le voit, sur la possibilité, dans le calcul des actions extérieures d'un élément diélectrique, de remplacer cet élément par une distribution équivalente de fluide électrique.

La détermination des quantités que nous avons désignées par

J', , ^2» •••ï ^/i S® ^^^^ exactement comme au Livre IX, Chapitre I, § 2. Nous aurons de même

(8) ^i = ff(5li, »„ C„ a„ p„ ...)dçu

J3li, ${, C4 étant les composantes de Tinduction diélectrique en un point de l'élément rfi^, suivant trois droites rectangulaires invariablement liées à cet élément (par exemple ses trois axes d'élasticité); aj, Pj, ... étant des paramètres qui définissent l'état de l'élément dv^ ,

Les égalités (1) et (4) du Livre IX, Chapitre I, et les égalités (7) et (8) du présent Chapitre déterminent la forme du potentiel thermodynamique interne d'un système renfermant des diélectriques polarisés et électrisés. Celte forme est la suivante :

^=:E(r — T2)-hW4-y e^

Cette forme rappelle la forme du potentiel thermodynamique interne d'un système élec Irisé et aimanté ; elle n'en diffère que par la pré&ence du terme

J irai

relatif aux actions mutuelles des éléments électrisés et des éléments polarisés. Le potentiel thermodynamique interne d'un système aimanté ne renferme aucun terme analogue, car, a priori, on a admis que les éléments magnétiques n'exerçaient aucune action sur les éléments électrisés.

§ 2. — Corps diélectriques et corps pyro-électriques.

Comme nous l'avons vu (Livre IX, Chap. I, § 3), on a, en général,

/ 5(31, », e) = X3l 4- [X* H- vC (9) -+-9n(5l,*, e)5l«4-cp„(5l, », «)Ô»-t-<p„(5l,»,e)e«

X, [JL, V étant trois quantités indépendantes de /%, JD, C, et les quantités ^pq étant des fonctions de ^91, JD, C, qui ne croissent

CHAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DBS DIÉLECTRIQUES. 345

pas au delà de toute limite lorsque les quantités J3i, JD, C tendent vers o.

Mais cette forme générale n'est pas, en réalité, la plus fréquente^ nous avons vu que, dans la grande majorité des cas, la symétrie de la substance exigeait que Ton eût

Lorsque, pour une substance, ces égalités (lo) seront vérifiées, nous dirons simplement que la substance est diélectrique; lorsque, au contraire, pour une substance. Tune au moins des trois quantités X, [x, v est différente de o, nous dirons que la substance est pyro-électrique.

Parmi les substances simplement diélectriques se trouvent, en particulier, les substances isotropes. Pour ces substances, on a simplement

(11) g(5l, B, C) = J(Oîl),

5ru étant l'induction diélectrique et S{d\L) une fonction de cette induction qui est telle que le rapport

ne croisse pas au delà de toute limite lorsque d\L tend vers o.

Nous commencerons par étudier les substances simplement diélectriques en insistant spécialement sur les propriétés des corps isotropes ; nous examinerons ensuite les propriétés des corps pyroélectriques.

§ 3. — Transformations du potentiel d'un système renfermant

des diélectriques.

Reprenons l'égalité (8) qui donne l'expression du potentiel thermodynamique interne d'un système renfermant des diélectriques électrisés et polarisés.

Nous savons [Livre I, Chap. IX, égalité (9)] que l'on peut écrire

l'intégration s'étendant à tous les éléments de volume du système.

Nous avons de même (Livre VII, Chap. III, égalité (17)],

Enfin un raisonnement analogue à celui qui a permis d'établir celte dernière formule donne

r\\ « à\ I! , I r/d\ dV dV dV d\ dV\ ,

I W ^^o -— n dv = -r- I { ; — h - — - -h ,-- — 1 «p.

J W dx \\ 4TzJ \dx Ox ôy dy oz Oz /

On a donc, en vertu des égalités (12), (ii5) et (i4)>

ij !, dx

a(v-+-i[i)iî rc)(v-f-iîi)"i«

V [.oL^.pj

dç.

Si Ton adopte la notation définie au Livre VII, Chapitre III, éga lité (18), le second membre peut s'écrire

L ru{V-\-V)dv.

Alors, en vertu de l'égalité (i5), l'égalité (8) devient

( J=-E(r-T2:)H-yey-i- ~ Ç\i{\'^V)dv

Cette forme du potentiel thermodynamique interne nous sera d'un fréquent usage.

Voici maintenant une autre transformation qui nous sera également utile en plusieurs circonstances.

Imaginons, pour simplifier, que le système renferme un seul corps électrisé et polarisé ; soient

1 l'espace intérieur à ce corps;

2 l'espace illimité extérieur; S la surface du corps.

Considérons la quantité

cAo -T —