CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT

A^ étant Tespace extérieur aux deux aimants et dv^ un élément de cet espace.

D^autre part, si nous considérons deux distributions fictives respectivement équivalentes aux deux aimants A et A'; si U et U' sont leurs fonctions potentielles ordinaires, le potentiel des actions mutuelles des deux distributions fictives sera

Y = -/-( rnurfp-4- fn\}'dv-\- fuiidç'-h fnu'dv'

0" \ Ja */a 'U -^v

-h f nvdv'-^ I x\v'dv''-hi f I ^ ^^ !l^^

Il s'agit de prouver que, si Ton déplace les deux aimants, Tun par rapport à l'autre, sans altérer leur forme ni leur aimantation,

on aura

Or, en premier lieu, on a, dans les espaces A' et A",

t) = U, et, dans les espaces A et A'',

En second lieu, les termes

fnvdv. fuVdv, fnv'dv', fuV'dv\

demeurent invariables dans la modification dont il s'agil. On a donc, toute réduction faite,

r\\ /àv dv'\ dv II . ,1

Le théorème de Green permet de transformer la quantité entre crochets en

■+- f {U -V)!iV'dv-h f {{]' - V ) IV dv'.

Mais, en tout point de la surface S, on a

en tout point de la surface S', on a

tout point de l'aimant A étant extérieur à Taimant A', on a, en tout point de Taimant A,

tout point de Taimant A' étant extérieur à Taimant A, on a, en tout point de Paimant A',

On a donc

ce qui démontre la proposition énoncée.

Étant donné un aimant, on peut trouver une infinité de distributions fictives équivalentes à cet aimant. Toutes ces distributions présentent cette propriété : La quantité totale de fluide Jictij qui forme une distribution équii^alente à un aimant donné est la même pour toutes les distributions équivalentes à cet aimant.

Cette proposition peut se démontrer bien aisément de la manière suivante :

Soient un aimant limité par une surface S et une distribution équivalente à cet aimant. Cette distribution, qui renferme une quantité Q de fluide fictif, a une fonction potentielle ordinaire U.

Entourons Taimant d'une surface fermée S' (flg- 7). Soit N^ la normale extérieure à cette surface fermée. D'après les lemmes de Gauss^ on a

Mais, en tout point extérieur à l'aimant, la fonction potentielle ordinaire de la distribution fictive est identique à la fonction potentielle magnétique t) de l'aimant. On a donc

àV

^"Q=-SiS''^'-