CIIAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT

Cette égalité montre que, conformément à la proposition énoncée, la quantité Q est déterminée quand Taimant est connu; elle est ta même pour toutes les distributions fictives équivalentes à un même aimant.

Fig. 7.

Pour calculer la quantité Q, nous pouvons, d'après le théorème précédent, prendre une distribution fictive quelconque équivalente à cet aimant, par exemple la distribution fictive étudiée au Chapitre précédent, qui a, en tout point intérieur à l'aimant, une densité solide

et, en tout point de la surface de l'aimant, une densité superficielle

(j = — Il c;\9 cos(N/, x) ||.

Pour cette distribution, on aura

Q= /'p^<'-+-S '^^^^ ril^ e/p~C ||A,cos(Nf,a:)||û?S.

On peut intégrer immédiatement le premier des deux termes qui composent Q; on le trouve égal et de signe contraire au second \ on a donc

D'où la proposition suivante :

Toute distribution fictive équivalente à un aimant renferme autant de fi uide fictif positif que de fiuide fictif négatif ,

Ce n'esl sous aucune de ces formes que se pose le problème à un physicien auquel on donne un aimant réel et auquel on demande de déterminer la distribution superficielle équivalente à cet aimant.

Ce physicien n'a aucun moyen de déterminer la grandeur et la direction de l'aimantation en chaque point intérieur à Taimani; il n'a, non plus, aucun moyen de déterminer la valeur de la fonction potentielle magnétique aux divers points du champ magnétique ou de la surface de l'aimant. Tout ce qu'il peut déterminer, par des méthodes que nous étudierons au paragraphe suivant, ce sont les composantes X, Y, Z de l'action que l'aimant exercerait sur un pôle magnétique égal à Tunité placé en un point (;r, y, z) extérieur à l'aimant et pas trop éloigné de l'aimant.

On sait que ces composantes sont liées à la fonction potentielle magnétique par les relations

Ox ôy ôz

On voit donc que l'expérience permet seulement de déterminer les dérivées partielles de la fonction potentielle magnétique aux divers points du champ.

Dès lors, voici sous quelle forme se présentera, pour le physicien, le problème qui consiste à déterminer la distribution magnétique superficielle équivalente à un aimant.

Ayant déterminé par JU expérience la valeur que prend, aux divers points extérieurs à V aimant et infiniment voisins de sa

surface S, la dérivée -r^ delà fonction potentielle magnétique

suivant la normale extérieure à Vaimant, trouver la distribution superficielle fictive qui équivaut à cet aimant.

Soit U la fonction potentielle de la distribution fictive cherchée. Considérons l'espace extérieur à l'aimant. Dans cet espace, la fonction U est harmonique; à l'infini, elle se comporte comme une

fonction potentielle; sur la surface S, ^^ prend des valeurs don-

nées -nr,- •

Nous savons (Livre II, Chap. V, § 3) qu'il existe une seule fonction U satisfaisant à ces conditions. Déterminer cette fonction, c'est résoudre, pour l'espace extérieur à la surface S, le problème

CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. 5q

auquel nous avons donné le nom de problème dérivé de Lejeune- Dirichlet.

Ce problème résolu, nous connaîtrons les valeurs u que prend U sur la surface S. Envisageons Tespace intérieur à la surface S. La fonction U est harmonique dans cet espace et elle prend, sur la surface S, des valeurs données u. U n'existe qu'une fonction U qui satisfasse à ces conditions; elle s'obtiendra en résolvant, pour l'espace intérieur à la surface S, le problème de Lejeune-Dirichlet.

La fonction U étant alors connue dans tout l'espace, la densité a* du fluide fictif en un point quelconque de la surface S s'obtiendra par ta formule

Ainsi, la déterminalion de la distribution superficielle équivalente à un aimant physiquement donné exige que Von résolve d'abord le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour V espace extérieur à V aimant donné, puis le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace intérieur à cet aimant.

Quelques remarques au sujet de la solution précédente : I** Cette solution comporte une vérification. Une fois la densité <t déterminée comme nous venons de l'indiquer, on devra s'assurer que la distribution fictive trouvée renferme autant de fluide positif que de fluide négatif, c'est-à-dire que l'on a

(j <afS = o.

On aura ainsi un mojen de vérifier si les données expérimentales qui ont servi de point de départ aux opérations analytiques étaient satisfaisantes.

2® Dans un grand nombre de questions, par exemple, dans tous les cas où l'aimant devant être maintenu immobile, on veut seulement pouvoir calculer son action sur un aimant mobile extérieur : il suffit de connaître la fonction •<?, ou, ce qui revient au même, la fonction U, pour l'espace extérieur à l'aimant. U suffît, dans ce cas, de résoudre le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour

6o LIVRE VU. — LES FORGKS MAGNÉTIQUES.

Tespace extérieur àraimant; il est inutile de résoudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace intérieur à Taimant.

3** Pendant très longtemps, les physiciens, et notamment Jamin, ont eu à l'égard de la détermination de la couche fictive équivalente à un aimant les idées les plus erronées. Ils prenaient simplement, pour expression de la densité de cette couche fictive,

4t: àSe

Cette expression ne pourrait être exacte, comme on le voit en la comparant à l'égalité (3), que si Ton avait, en tout point de la surface de Taimant,

d?ii

La fonction U serait alors harmonique à l'intérieur de la surface S et vérifierait l'égalité (4) en tous les points de la surface S. D'après ce que nous avons vu (Livre II, Chap.V, § 3), toutes les fonctions U qui satisfont à ces conditions à l'intérieur de la surface S ne difierent les unes des autres, à l'intérieur de cette surface, que par une constante. Comme d'ailleurs la fonction U = o satisfait à ces conditions, on voit que toute fonction qui satisfait à ces conditions est constante à l'intérieur de la surface S et sur la surface S ellemême. La couche fictive serait en équilibre d'elle-même sur la surface S.

La couche fictive renferme autant de (luide fictif positif que de fiuide fictif négatif; nous savons qu'une semblable couche ne pourrait être en équilibre d'elle-même sur la surface S sans que sa densité fût égale à o en tout point de cette surface. Ainsi l'hypothèse admise par Jamin pour la détermination de la couche fictive équivalente à un aimant ne serait exacte que si la densité de la couche fictive était, en tout point, égale à o, cas auquel l'aimaiit n'aurait aucune action sur les points extérieurs.

§ 3. — Méthodes expérimentales pour l'étude de la distribution fiotive.

Nous avons vu que, pour qu'il soit possible de déterminer analytiquement la distribution superficielle fictive qui équivaut à un aimant, il était nécessaire, tout d'abord, de déterminer expéri-