OX OX

on a

et l'égalité (21) peut encore s'écrire

Si le corps est peu magnétique, O est négligeable devant t?. Si l'on désigne alors pari l'intensité du champ, la formule (21 bis) deviendra

(21 ter) n =— --j;û?S.

La pression additionnelle a pour valeur absolue, en tout point de Vêlement dS, le quotient du carré de l'intensité du champ par le double du coefficient d'aimantation du corps. Cette loi simple n'est qu'une approximation.

§ 4. — Déformations du solide polarisé.

Si, entre les équations (i3) et (i5), on élimine les six fonctions

Ni, N„ Na, Ti, T„ T„

on obtient les équations suivantes , qui doivent être vérifiées en tout point (Xy y, z) du solide

dx \dx dy dz ) ^

dx^

^ày\dy '^~âx)

^Oz\âx '^ dz)

(22) / . <^ Il , à(X)-^-s^) , t)î(r)-hV^) . dHt) + 'Ç) ^d\x)^x^)

\ "T~ T — c/V» :: — • ci» , — — ll»« : : —~ c^ ; ;:

dx dx

ôx^ dx dy dx dz

-+- T-[4'-T- /i3L'-+- A:c.I)«]-hX- — 7 h k -^— h pX = o.

dx^^ ^ dz dy '

et deux autres analogues.

On a, d'ailleurs,

— ^ ^ llî)

dx "^ dx^ ^" ùx dy

dx Oz

<iy

Les conditions de l'équilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, égalités (7)] donnent ensuite

d(V -^ t?) d.\. d( V) 4- -O ) âWl d{ V -4- V) ) dB dx dy dx dz dx

-^^[di d\} d-k^

dz ) J Ox d\y dB^

\dx dx [^\dz dy I dx \

dy dx

dy d\^ dy dx

dz dx

d\]\ d{ZX^ dz I dx

/dV dW\d(A.\\\>)

\ dy dx / dx

.-«^««..'/'"^ov

-t- A: ( <vU«

dv\dx ' dy ' ôz /

d^\] Ix^

dx dy dxdzj

L ''^dxV(^^

dx )

d^c \ dJ7 dz /

D'après ces égalités et d'autres analogues, les égalités (22) deviendront

/^ i.<M,,x '^ /àv dy d\y\

^^-^""'^'^diidx-^d^-^'dj)

f ,,^'U , . d^y ,^. i)nv

-^ Uf^ H A:.^«) - - ^ A-,,« — ^ H- A'3« ^^;^

d /dv dy\ d dp[dP^~dx)-^^-

fz\

dx\dz~^dy/ ^ ' ' dx\dx '^ àz )

*' dx \ dy dx) J

d'X.^ d^\^\\\y dXZ'

et deux autres analogues.

Si l'on élimine les six quantités

entre les équations (i4) et (i6), en se souvenant que

cAa

on obtient le3 équations suivantes, qui doivent être vérifiées en tout point de la surface du solide,

-h [i (-r h V,- ] H- A: 0.1)3 cos(N/, ^>-f-Pcos(P, x) = o

et deux autres analogues.

Les équations (aS) représentent les équations aux dérivées partielles du second ordre que doivent vérifier les déplacements U, V, W et les équations (24), les conditions aux limites que ces mêmes déplacements vérifient. L'intégration de l'ensemble de ces équations et des équations de l'équilibre magnétique résoudra le problème général de la déformation d'un solide polarisable placé dans des conditions déterminées.

Ce problème présentera, en général, d'insurmontables difficultés. Toutefois, il est possible de le résoudre dans un cas qui, bien que particulier, offre un grand intérêt et jette un grand jour sur les actions magnétiques.

Considérons un corps qui, à l'état naturel, est isotrope et n'est soumis à aucune force extérieure ni à aucune pression. Ce corps est sphérique. On le place dans un champ magnétique uniforme. Nous allons démontrer qu'il se dilate de la même manière en tous ses points de manière à se transformer en un ellipsoïde de révolution dont l'axe de révolution est dirigé suivant les lignes de force du champ.

Prouvons, en effet, qu'il existe une semblable déformation satisfaisant aux conditions de l'équilibre magnétique et aux équations (23) et (24).

En premier lieu, l'ellipsoïde est homogène; ses axes ne diffèrent

les uns des autres que de quantités de l'ordre de — ; ses coefficients

principaux d ^aimantation ne diiïèrent aussi les uns des autres que de quantités de Tordre de ^. Les quantités A, ^!^y, G ne varient donc, d'un point à l'autre du corps, que de quantités de l'ordre de ( t- ) > ainsi qu'on le voit aisément. Comme on néglige

les quantités de cet ordre, l'aimantation de noire corps devra être regardée comme uniforme. Par raison de symétrie elle coïncidera avec l'axe de révolution de l'ellipsoïde qui est dirigé suivant les lignes de force du champ.

Plaçons l'axe des x suivant la direction de l'aimantation. Nous aurons alors

cAo —

on,

ày

dW àz

dx ~

L'aimantation et la déformation étant uniformes, les forces extérieures étant nulles, les équations (28) sont identiquement satisfaites. Les équations (24) se réduisent, moyennant les équations (23), à

[X-i-2fx~(A-4-A-)on«]^+2i(X — Aon»)p^-+-(/-4-AH-^)on«=o, (26) < ^ '-^

[X — ( A -4- A) on*] ^ -4- 2( X 4- [X — A on» ) ~ + (/ -H A) on» = o.

On satisfera à ces équations (26) en posant

r)u ^ k(\ -4- Ht) - (f-hh)ij.^ Mon*

,âx |jL[iX-h2|JL — (3-+-X:;0lc*J * '

[ây^ âz ^ 2[x[3X-+-2{x — (3A-hA)0n*]

Ces égalités (27) définissent la déformation de la sphère. Dans le cas particulier, déjà étudié au paragraphe précédent, où l'on néglige les quantités h et k devant les quantités X, |x et/, on trouve

ôx dy dz 3 X H- 2 [X

La quantité

est le coefficient d^ aimantation du corps à l'état naturel. La quantité

i À -H a |JL

est le coefficient de compressibilité cubique du corps. La formule (28) permet alors d'écrire

, , d\} f)v à^ COU»

Si l'on néglige les quantités het k, une sphère magnétique, placée dans un champ magnétique uni/orme, se dilate en restant semblable à elle-même. La dilatation cubique s'obtient en multipliant le carré de l'intensité d'aimantation par le coefficient de compressibilité cubique du corps et en divisant par le double du coefficient d' aimantation.

Si l'on désigne par J l'intensité du champ, on aura [Livre VIII, Chap. II, égalité (7)]

et l'égalité (29) pourra aussi s'écrire

dx dy àz 2 / 4

Ces résultats peuvent être étendus à un corps de forme quelconque placé dans un champ magnétique uniforme, pourvu que ce corps soit faiblement magnétique et que l'on néglige les quantités h et k devant y. Ce corps se dilatera uniformément en tout sens, et la dilatation cubique aura pour valeur

d\} t)\ d\\ CcJî Ox ôf oz a

§ 5. — Comparaison des résultats de la théorie aux résultats

de rexpérience.

La théorie précédente s'applique également aux corps diélectriques et aux corps magnétiques. Toutefois, lorsqu'on Papplique à un corps diélectrique, on doit avoir soin de s'assurer que ce corps ne porte aucune charge électrique et que ses déformations virtuelles ne sont pas liées à des déplacements des corps électrisés; cette restriction ne serait pas réalisée par une lame diélectrique à laquelle seraient collées les deux armatures d'un condensateur.

La dilatation que subit un diélectrique placé dans un champ électrique est connue depuis bien longtemps. L'abbé Fontana (*) avait déjà observé que le volume d'un condensateur augmente quand on le charge. Celte découverte était tombée dans l'oubli quand le fait qu'elle avait constaté fut signalé de nouveau par M. Govi (2), puis étudié successivement par M. Duter ('), par M. Righi (*) et par M. Quincke (»).

Imaginons une lame diélectrique placée entre les deux plateaux d'un condensateur, et non fixée à ces plateaux, condition rarement réalisée dans les expériences et dont l'oubli cause peut-être les divergences qui existent entre leurs résultats. Si l'on désigne par V et V les niveaux potentiels des deux armatures, par A leur distance, d'après la formule (3i), la dilatation cubique de la lame diélectrique a pour valeur

dx ày dz ^ A^

Elle est proportionnelle au carré de la différence de niveau

(') Cité dans une lettre de Volta au professeur Landriani {Lettere inédite de Alcssandro Volta, imprimées à Pesaro en i83i, p. i5 et sqq.)-

(•) Govi, Nuovo Cimento, t. XXI et XXII. — Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 857; 1878.

( ') Duter, De la dilatation électrique des armatures des bouteilles de Leyde ( Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 1260; 1879).

(' ) RiQHi, Sur la dilatation du verre des condensateurs pendant la charge { Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 126a; 1879).

(*) Quincke, Ueber elektrische Ausdehnung {Monatsberichte der Akademie der Wiss. zu Berlin, p. 200; 1880).

potentiel des deux armatures et en raison inverse du carré de leur distance.

C'est le résultat trouvé par M. Quincke. M. Duter et M. Righi ont observé une dilatation proportionnelle à Tinverse de la simple distance. Dans les expériences de ces physiciens, la lame isolante n'était pas indépendante des armatures, ce qui explique peut-être cette divergence.