CHAP. IV. — LES DÉFORMATIONS ÉLECTRIQUES DES CRISTAUX
Enfin, la quantité G est encore donnée par l'égalité (7) du Chapitre IT; mais, si l'on observe que l'on a
àx
en vertu des conditions de l'équilibre magnétique ; si l'on pose en outre
lo-\- *i
dx
/»o-f- //Il
dx
^-^ [^^/?o^/?l — -f-...j cl,«-4-...J,
on aura
dÇO-h'Ç) dx
et
dx
ôy
dx
dz
/j , dV \ dA. l
dx
dV \d^
dx ' ' ' /. dx
dV riQ-h rii :z-~ -h
dx
\de Vf d-O \dX^ 1
'-)di'-\\P'^P'^-^''')'d^-^'''\
L'égalité (7) du Chapitre II prend donc ici la forme suivante :
, au
Écri
crivons que
acos(N/, x) dS
\ dX I "'j-d^-^K^'
r / dVi \ d A,«
A-hB -h G — û?Se = o,
au \ d^\
'^'di^'-')^
dV \ de
'""'di-^-'-Jd^
. . j udv H-
après avoir transformé les expressions (4) et (5) de A et B au
moyen d'intégrations par parties. Nous aurons, toute réduction faite,
V^N; — (/irl,-l-/nillb4-ni3-^/)iil)«-+-...) — «iiT^ — ... cos(N/,t)
-H ... I cos(N/,^) -T- . . . cos(N/, z) - Pcos(P, or) t u dS
+ §j...|prfS+§j...j
(8) //[pX^a./^"^...^;;^(o^|)
dS
-- (liX-h m, i({) ■+■ 3 + piX*-h.. .)
— / . . . i' rft' — 1 I . . . I w <ip = o.
Cette égalité doit avoir lieu quels que soient i/, r, fv. Par des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits au Chapitre II, nous trouverons que l'on doit avoir :
1^ En tout point du milieu cristallin, trois équations dont la première est
(9) { =— -pX— (/itt.1) -h mti)l)-h /i|3-f-/>iJl>' -h.. .)
1^ En tout point de la surface du cristal, trois équations dont la première est
( h'"~^»>^"^ •• cos(N/, a:')H- ... cos(N,,^)-+- ... cos(N/,z)
\ -h (. . .) cos(N/, y) H- (. . .) cos(N/,z) -h P cos(P, x).
Les équations (9) sont les équations aux dérivées partielles du second ordre qui doivent être vérifiées en tout point du cristal par les déplacements U, V, W; les équations (10) sont les conditions que ces déplacements doivent vérifier aux limites du cristal.
CHAP. IV. — LKS DÉFORMATIONS ELECTRIQUES DBS CRISTAUX. 471
L'intégration générale de ces équations conduirait à la solution du problème suivant : Trouver la déformation que subit un cristal diélectrique lorsqu'on le place dans un champ électrique. Nous n'aborderons ce problème que dans un cas extrêmement particulier.
Nous supposerons que le champ soit uniforme; nous supposerons, en outre, que le cristal soit très faiblement diélectrique, de telle sorte que, dans nos équations, nous ayons seulement à conserver les termes du premier degré par rapport aux quantités
U, V, W, cl., 1(1,, G.
Nous supposerons enGn qu'aucune force extérieure n'agisse sur le cristal. On voit sans peine que si, dans ces conditions, on suppose les déformations uniformes à l'intérieur du cristal, ainsi que la polarisation, les équations (9) sont identiquement satisfaites.
La première des équations (10) va devenir
fan -f-. .. j cos(N|-, ar)-f- (.. .) cos(N/,^)-+- (. . .)cos(N/, ^)
= [( /o — /i ) JI9 -+- ( mo —■ /wi ) \lî> -4- ( /lo — /Il ) 3 ] cos ( N/, a?)
— [/jcHo-h /7?ii)b -h riiB] cos(N/,7)
— [/acAa -K/nj'Ob -f- /is^] cos(N/, -5).
Nous avons supposé que l'équilibre électrique était établi sur le cristal; nous avons supposé, en outre, que le cristal ne renfermait pas d'électricité libre; ces deux hypothèses ne sont compatibles que si le cristal n'est pas naturellement pyro-électrique. Nous devons donc poser
/o = o, /no — o, /io = o,
en sorte que l'équation précédente devient la première des équations
(an 2 — h. . . j cos(N/, a?) -+-(... )cos(N/,^)4-(...)cos(N,-,^)
