CHAP. V. — LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEJKUNB-DIRICHLET. 7I

<le -• Comme, d'ailleurs, celle fonclion esl la fonclîon polenlielle d'une masse lolale égale à o de fluide fictif, le développemeut commencera par un terme en -^^ On aura donc

\'>- ^\Y,(6,^,)-HlY,(e,4-)-...+ -'-Y„(e,^<)+....

Y„(8, ^) étant une fonction de Laplace qui dépend de ('1/1 + i) coefficients. Ce sont ces coefficients qu'il nous faut déterminer. Or, de l'égalité précédente, on déduit

âr

= - 7, [7, Yi(^^ 'i')-^ ^ Y,(o, ^)-^. . .^ ^--^ Y„(e, i.)^...] .

D'autre part, à la surface de la sphère, -j- prend les valeurs

données -7^ • Si donc on désigne par R le rayon de la sphère, on devra avoir, en tout point de la sphère,

-R ^ = iJiY.ce, +)+ ^ Y,(6, 4,)+...+ ^Y,(e, 4-) + ...,

égalité qui permettra facilement, d'après les propriétés des fonctions Y„, de déterminer les coefficients de ces fonctions, et, par conséquent, de déterminer t?.

C'est par cette méthode que Gauss ( * ) a pu donner le développement en série qui représente la fonction potentielle magnétique du globe terrestre en tout point extérieur à la Terre ou situé à sa surface, en prenant pour point de départ la détermination, en chaque point de la surface du globe, de la composante verticale du magnétisme terrestre.

Ce développement a un grand intérêt. En efiet, si l'on désigne en un point du globe par X la composante horizontale du magnétisme terrestre dirigée vers le nord géographique, par Y la composante horizontale dirigée vers l'est, par Z la composante verticale

(*) Gauss, Allgemeine Théorie des ErdmagnetUmus (Gauss et Weber, Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre i838. Leipzig, 1839. — Gauss, WerkCy Bd. V, p. 119).

dirigée vers le zénith, on aura évidemment

dr

Une fois que Ton a obtenu, par la méthode de Gauss, le développement^de \*> pour tout point extérieur à la Terre ou situé à sa surface, les égalités (3) permettent de calculer les éléments du magnétisme terrestre en tous les points de la surface du globe.

Deux remarques au sujet de la détermination de la fonction potentielle magnétique de la Terre :

i" La méthode que nous venons d'indiquer suppose que l'on

ait déterminé expérimentalement, en tout point de la surface du globe, la valeur de Z ou de -r- • Or on ne pourra, en réalité, effectuer cette détermination qu'en un nombre limité de stations. Aussi serait-il impossible de déterminer tous les coefficients qui figurent dans le développement de %> en série illimitée. On se contentera donc de représenter approximativement t? par la suite limitée

qui dépend de