LIVRE VIII. — L\ THEORIE DE POISSON
■t;^ pouvant être regardé comme une quantité connue, cette égalité (7) constitue une relation entre r^ et -:|^-
La fonction cherchée tD(a^, y^ z) est, d'après ce qui précède, assujettie aux conditions suivantes :
!• Elle est continue dans tout l'espace;
2** Elle est harmonique lant à l'extérieur qu'à l'intérieur du corps parfaitement doux;
3° Elle se comporte à l'infini comme une fonction potentielle;
4** En tout point de la surface du corps parfaitement doux, ses dérivées partielles du premier ordre vérifient l'égalité (7).
Ces conditions suffisent-elles à déterminer la fonction t??li est aisé de voir que deux fonctions distinctes t) et tV ne sauraient vérifier à la fois toutes ces conditions.
Supposons, en effet, que deux fonctions distinctes t) et t)' vérifient à la fois ces conditions, et posons
La fonction 6 serait, comme les fonctions tD et O', harmonique tant à l'intérieur qu'à l'extérieur du corps parfaitement doux. Si donc nous désignons par dvi un élément de volume intérieur au corps parfaitement doux et par dç^ un élément de volume extérieur au même corps, nous aurons
1 ii%dve-^{\-^^Tzk) jiedvi=o.
Mais le théorème de Green nous donne, en désignant par S la surface du corps parfaitement doux,
D'autre part, les égalités
, , , ,.àV àV , , W
CHAI*. I. — CONDITIONS DE l'ÉQUILIBRK. 121
moDtrenl que Ton a, en lout point de la surface S, L'égalité (8) devient donc
fifk A(k j^fk
La quantité (i-f-4^^) est positive. Les quantités -r-» ^-> -rsont continues en tout point, tant extérieur qu'intérieur au corps parfaitement doux. L'égalité précédente exige donc que l'on ait, en tout point tant extérieur qu'intérieur au corps parfaitement
doux,
d(d de ÔB
Si l'on ajoute que, comme les fonctions V et t)', B doit être continu dans tout l'espace et égal à zéro à l'infini, on Vîiit que l'on aura dans tout l'espace
ou
La proposition énoncée est donc démontrée.
Nous voyons ainsi que les conditions précédemment indiquées suffisent à déterminer complètement la solution du problème de l'aimantation par influence, l'existence de cette solution étant admise. Le problème dont il s'agit admet-il toujours une solution? C'est une question que nous réserverons pour le moment; nous aurons occasion de l'examiner au Livre IX sous une forme plus générale.
