Autre manière de mettre en équation le problème de
Paimantation par influence.
La mise en équation du problème de l'aimanlation, telle que nous venons de l'indiquer, est due à G. KirchhofTC).
(*) G. KiRCHHOFFi Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten Cylinders von weichem Eisen, § 2 {C reliefs Journal, Bd. XLVIII; i853.-- JSTircAhoff*» Aphandlungen, p. igS).
\'ll^ LIVRB VIII. — LA THEORIE DE POISSON.
La forme sous laquelle Poisson (*) a mis en équation le problème de Taimantation par influence, forme dont ont fait usag^e non seulement Poisson, mais encore F.-E. Neumann, Lipschilz, Becr et Cari Neumann, diffère légèrement de la forme précédente. INous allons l'indiquer ici.
Soit 'Ç la fonction potentielle magnétique de tout le système,
donnée par l'égalité
•vj) = t) -i- \K>.
Posons
Nous aurons alors, au lieu des égalités (i), les égalités
dx oy dz
qui nous montrent que l'aimantation du corps parfaitement doux est déterminée lorsqu'on connaît la fonction ç. Or la fonction cp est définie par l'égalité
(lo) g^ t)-4-\W) = 0,
dans laquelle figurent la fonction connue ^ et la fonction inconnue V). Mais celle-ci est liée à la fonction «p par une relation très simple.
On sait, en effet, que l'on a, en général [Livre Vil, Chap. III, égalité (3)],
(^, y, --)=-§ Il -A. cos ( N,-, ^) Il .^i -/ Il ^
la première sommation s'étendant à tous les éléments de la surface du corps parfaitement doux, et la seconde à tous les éléments du volume de ce corps.
Dans le cas actuel, en vertu de l'égalité (6'), cette égalité se réduit à
t)(^,j',-)=-§||-^^cos(N/,^)||^.
(') Poisson, il/e/noiVc sur la théorie du magnétisme j § 2, n'' 20 {Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1821 et iSaa, t. V, p. 247).
(') On pourrait aussi bien chercher à déterminer la fonction tp ou la fonction XD que la fonction 9. Nous n'avons choisi cette dernière que pour conformer nos formules à celles employées par d'autres auteurs, notamment par F.-E. Neumann {Vorlesungen iiber die Théorie des Magnetismus, namentlich iiber die Théorie der magnetischen Induction; Leipzig, 1881).
GHAP. I. — CONDITIONS DE L ÉQUILIBBE. 123
En vertu des égaillés (9), cette dernière égalité prend la foi'me
La comparaison des égalités (10) et (11) montre que la fonction f vérifie la relation
, n do dS
Or nous allons prouver qu'il ne peut exister plus d'une fonction o vérifiant cette égalité (12), en sorte que cette égalité peut servir à la détermination de la distribution du magnétisme induit sur le corps parfaitement doux.
Supposons que deux fonctions distinctes, o et ç', vérifient l'égalité (12), et posons
i|; = ep'— cp.
Nous aurons évidemment
Cette égalité nous montre que ^ pourrait être regardé comme la fonction potentielle ordinaire d'une couche électrique distribuée sur la surface du corps doux avec une densité superficielle
La fonction ^ serait donc harmonique tant à l'intérieur qu'à l'extérieur du corps doux; elle serait continue dans tout l'espace; elle se comporterait à l'infini comme une fonction potentielle; enfin, à la surface du corps doux, ses dérivées partielles du premier ordre vérifieraient l'égalité
OU
Ces conditions, auxquelles serait assujettie la fonction ^ sont celles auxquelles était assujettie la fonction B considérée au paragraphe précédent. La démonstration indiquée au paragraphe pré-
