I?4 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON

cèdent prouve alors que Ton a dans tout Tespace

4* = o ou

C'est ce que nous nous proposions de démontrer.

On cherchera donc à déterminer, pour tout point intérieur au corps parfaitement doux, une fonction ^ vérifiant, en chacun de ces points, Tégalité (is). Cette fonction sera unique. Une fois cette fonction déterminée, l'égalité (12) permettra immédiatement de calculer la valeur de cette fonction à l'extérieur du corps parfaitement doux.

§ 4. — La fonction caractéristique.

Nous avons vu (Livre II, Chap. VI) que le problème de la distribution électrique était susceptible d'une très remarquable transformation. On peut regarder ce problème comme résolu lorsqu'on sait déterminer une cerls^ine fonction de Green, qui dépend exclusivement de la forme du conducteur étudié et non des influences auxquelles il est soumis.

M. F.-E. Neumann (*) a montré que le problèmede l'aimantation par influence était susceptible d'une transformation analogue. La solution de ce problème peut être regardée comme obtenue lorsqu'on sait former une certaine fonction dépendant uniquement de la forme du corps parfaitement doux. Cette fonction, analogue à la fonction de Green, a reçu de F.-E. Neumann le nom ie fonction caractéristique.

Soient M un point quelconque de l'espace; y (M), ^ (M), les valeurs de (p et de ^ en ce point. Soit m un point de l'élément rfS. L'égalité (12) pourra s'écrire plus explicitement

\J vlN/ Mm

Prenons un point M infiniment voisin de la normale v/ passant par un point P de la surface S. Supposons que ce point se déplace

(») F.-E. Neumann, Vorlesungen Uber Théorie des Magnetismus, namentlich ùber die Théorie der magnetischen Induktiorit p. iio; Leipzig, 1881.

CHAP. 1. — CONDITIONS DE i/EQUILIBRB. IlS

înnaiinent peu sur cette normale, vers Tiatérieur du corps doux, d\ine longueur chi. Ecrivons la nouvelle égalité analogue à l'égalité (i2 bis)^ et retranchons ces deux égalités l'une de l'autre. Nous trouverons

Faisons tendre le point M vers le point P et nous trouverons à la limite

Toute égalité de la forme (12 bis) détermine une seule fonction ^(M) lorsqu'on y remplace vjj) (M) par une certaine fonction potentielle.

Prenons pour i)^ (M) la fonction potentielle d'une masse égale

à l'unité placée au point P, c'est-à-dire la quantité ^^=« Soit

G (M, P) la fonction 'f (M) correspondante, fonction déterminée par Tégalité

<)G(m,P) I VM .^ à^i Sun

1>M O à'^i vi,„

Multiplions les deux membres de l'égalité (i4) par } — • Multiplions les deux membres de l'égalité (i3) par -=— Retranchons membre à membre les égalités obtenues. Mous aurons

^*i FM ^*i

O L àNi (hi ivf^i (hi &u \mP/ MP J

Soit d7 un élément de la surface S entourant le point P. Multiplions les deux membres de l'égalité précédente par d<T et intégrons pour tous les éléments dj de la surface S. Nous aurons

OL à^^i PM ^/ J

OOL àN, dv/ Mm à^t <^i\mP / MPi