LIVRE VIII. — LA TimORIB DE POISSON
[jL, V pour les points intérieurs à rellipsoïde et trois fonctions de Xj y^ z pour les points extérieurs.
L^égalité (2) devient alors
X){x,yy ^)= 'i{XLx-{- UbMy-h 3N«).
De celte égalité, on déduit, pour les points intérieurs à Tellipsoïde,
dx * dy
= a-lJlfA,
dz
= aCv.
Ces résultats acquis, plaçons un ellipsoïde homogène dans un champ magnétique uniforme, défini par l'égalité (6). Communiquons à cet ellipsoïde une aimantation uniforme ayant pour composantes
I H- 'ik\
i-\-ik\L
Il est facile de voir, d'après les égalités (6) et (10), que celle
aimantation vérifiera les égalités
ift) = -
ôx
\Kn
et représentera, par conséquent, la distribution magnétique d^éqjuilibre prise par l'ellipsoïde.
Ainsi, un ellipsoïde homogène, placé dans un champ magnétique uniforme, s^ aimante uniformément; mais, en général, la direction de Vaimxiniation ne coïncide pas avec la direction des lignes de force du champ.
Les égalités (9) et (i 1) donnent l'expression suivante de la fonction potentielle magnétique d'un ellipsoïde homogène placé dans
CHAP. II. — AIMANTATION tNIFOBME DANS UN CHAMP UNIFORME. l33
un champ magnétique uniforme
J 3. — Détermination des coefficients d'aimantation.
Poisson (*), à qui l'on doit la solution des problèmes précédents, a montré comment les résultats obtenus pouvaient conduire à la détermination de la constante k.
Supposons que l'on place une sphère homogène faite avec la substance dont on veut déterminer le coeflicient d'aimantation dans un champ magnétique uniforme connu avec précision, par exemple, dans le champ magnétique terrestre. Cette sphère s'aimantera suivant les lois indiquées au § 1.
Prenons pour axe des x la méridienne magnétique dirigée vers le nord, pour axe des y une droite horizontale, normale à la précédente et dirigée vers l'est, pour axe des z une verticale dirigée vers le zénith. Soit T la force magnétique terrestre; soit i l'inclinaison. Nous aurons
F = T ces e, (i3) {G= G,
II = — Tsint.
Soit R le rayon de la sphère dont le centre est supposé placé à l'origine des coordonnées; soit (^, J^, z) un point extérieur à la sphère. Posons
D'après l'égalité (8), la fonction potentielle magnétique de la sphère au point (Xy y^ z) aura pour valeur
13 (a?,^, z) = ;--T (arcost — ^sini).
i-h^TîX: ' Cette sphère exercera, sur un pôle magnétique égal à l'unité
(*) Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de l'Académie des Sciences, t. V, p* 347; aanées 1831 et 183a).
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placé au point (or, y, -3) une action dont les composantes seront
Tk
Tzk
cost 3(arcosi — ^sint')^
[cost
3 (rr cos^* —
i — ^sini)y1
Un pôle magnétique égal à l'unité placé au point (^, y^ z) su bira une action totale dont les composantes seront
Y :- G-r II,
Ces formules nous font aisément connaître la direction que prendra une petite aiguille aimantée placée au point (^, JK» z). Si, par exemple, cette aiguille est mobile autour d'un axe vertical, son axe magnétique s'orientera de manière à faire avec la direction de l'axe des x un angle u, compté positivement vers l'orient,
et l'on aura
tang'J = ^ ^>
OU bien, en vertu des égalités (i3), (i4) et (i5),
(x cosi — ssint) V
avec
(16 bis)
tang'j =
cosi(i — iJt) -H 3, a
(ar cost — .3 sin M 3"
i-h-ir>t
Supposons l'aiguille mobile dans le plan horizontal qui renferme le centre de la sphère. Nous aurons alors ^ = o, et la for-
CHAP. II. — AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. l35
mule (i6) prendra la forme beaucoup plus simple
tangu =
Soit cp Taugle que fait avec l'axe des x la direction OM i^fig- 17)
Fig. 17.
joignant le centre de la sphère au milieu de l'aiguille BA. Nous aurons
cos 9 = - , * r
sino = - j r
et la formule précédente deviendra
tangu =
3fx sincp cosQ
([-{x) ^i4--Ji-cosîcpj
D'après cette formule, l'angle u est égal à o lorsque la ligne qui joint le centre de la sphère au milieu de l'aiguille est parallèle ou perpendiculaire au méridien magnétique. L'angle u passe par un maximum au moment où Tangle o prend une valeur déterminée par l'égalité
col'© = •
La quantité a, définie par l'égalité (16 6/5), est positive et în-
férieurc à — • Si la dislance r est très grande par rapport à R, [x de-
iSf) LIVRE YIII. — LA THÉORIE DE POISSON.
vient très petit; Tégalité (i8) se réduit à
cot'o = î,
et le maximum de u a lieu sensiblement au moment où la ligne OM est bissectrice de l'angle XOY.
Pour déterminer la constante A:, on observe la valeur de u qui
correspond à (p = ^^ • On a alors
tangu =
Cette égalité permettra de déterminer [x, et, partant, d'après l'égalité (16 bis)j le coefficient d'aimantation k. Les expériences faites par divers expérimentateurs sur diverses espèces de fer doux ont donné pour valeur de la quantité
un nombre un peu inférieur à l'unité.
§ 4. — Détennination de Pinclinaison par la mesure de dôviations
horizontales.
La formule (16) fournit un moyen de déterminer l'inclinaison
magnétique en observant l'angle dont une aiguille, mobile autour
d'un axe vertical, est déviée du méridien magnétique par une
sphère qu'aimante le champ magnétique terrestre. La formule (16)
peut s'écrire
SfJL {xcosi — zs\ni)Y
tangu =
I— fi
r* cos i
ou bien
6 IL (xcosi — zsini)x I -I -'— :^ i —
I — [X r* cos *
tangu
3 fi X cos î — z sin i
y — xtangu 1 — jji
r* cos i
On observe la valeur de Tangle u pour deux positions de l'aii^uille, symétriques par rapport au plan horizontal contenant le
centre de la sphère. Si la première valeur observée, u, est donnée par la formule précédente, la seconde, iv, sera donnée par la formule
lan^d' 3fx xcosi-^- z s'ini
^' — xtangtv i — [JL r^cost-
Les deux formules que nous venons d'obtenir donnent
tangu tangcf' __ Bfx :r
y — X taogu y — X Lang w ^ "^ \*- ''*
tancu tan&fup 6u, z
y — :rtangu y — :i;lungiv 1 — |x r* "
On déduit de là
tangcv tangu
(20) tangi= î^^ '- 2
^ tangiv tango ^
y — ortangup j' — :r tangu
Cette formule permettra de déterminer Tinclinaison magnétique en observant seulement les déviations d'une aiguille mobile autour d'un axe vertical. Nous nous contentons d'indiquer ici le principe de cette ingénieuse méthode, que l'on peut compléter de manière à tenir compte de la longueur de Taiguille et de l'aimantation induite dans la sphère sous l'influence de cette aiguille (' ).
(') F.-E. Neumann, Vorlesungen iiber die Théorie des Magnetismus , § 20; Leipzig, 1881.
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