LA THEORIE DE 1H)ISS0X

L'expression (4) devient alors (4 àis) tj?) = — p(Fsin4^cos6H-GsiinJ/8ini6-4- Hcos^}^) — K.

Pour transformer régalité (3), nous remarquerons que, si l'on désigne par R|, 0«, ^1 les coordonnées d'un point de l'élément rfS|

Fig- '9-

et par Ro, 62? ^2 les coordonnées d'un point de l'élément rfSa, on aura

r}= Rf-h p*— 2pRi [cos<}' cos<}^i-h sin<}' siin|;i cos(6 — 0|)], r| = R|-+- p*— 2pRt[cosil;cosi;;j-hsinil;sin<}/jCOs(8 —6,)],

dSi = R} sin<}/i rfOi d^i, dSt= R| sin^^s d^^ d^^.

Pour obtenir tous les éléments rfSj de la sphère S|, on devra faire varier 0| de o à 27t et t{^, de o à it.

Ces formules transformeront l'égalité (3) en une égalité que nous désignerons par (3 bis) et qu'il est inutile d'écrire.

Nous allons chercher à vérifier cette équation (3 bis)^ qui détermine une seule fonction ^ , par une expression de la forme

o = p (M sin*}' cosO -h N sin<}/ sin6 -h Pcosil)

-i- — (m sin<}/cosô-+- n sin^'sinO -H/?cos<}/)-h Q,

M, N, P, m, n, p, Q étant sept constantes. Si, par un choix convenable de ces constantes, nous pouvons amener la fonction ç donnée par cette égalité (7) à vérifier l'égalité (3 bis), nous au-

CHAP. III. — SPHÈRE CREUSE DANS UN CIIAUP UNIFORME. l4l

rons assurément déterminé, à Tintérieur du fer doux, la fonction o que nous cherchons.

L'égalité (7) nous donne

^-= ^M— ^j 5in^cos6-f- f N — ^j siin|/sinO-4- ^P — ^jcost];,

Soit L| la grandeur géométrique qui a pour composantes (9) M-.^, N-^, P-J|.

Soit L2 la grandeur géométrique qui a pour composantes

(96«) M--^, N-pj, P-^.

Nous aurons

Os, <^N, ri Os, ON2 /'s

cos (L|, Ri)

' [Rî-hp*-'2pRiCos(p,R,)p

cos (Lj, Rj)

Posons

• [R|h-P*-2p'R,cos(p,R,)F

(p,Ri) = a, (p, L,) = u.

Désignons par /? Tangle que fait un plan mené par les demidroites p, R, avec un plan mené par les demi-droites 0, L|. Nous trouverons sans peine que l'on a

cos (L,, Ri') ,c

, - Q cos(Ln

* ' [RÎ-hp*-î»pRi

== i-jr/rRILi cos'j /

cos(p,RO]* 2t: ^^(cosf^co5.j-4- siimsinu cos/?) ^\nududp

(Kf^ps — 2pRiC0Sw)* "^ 9\nucof^u du

(Rf-t-p*— 2pRiC0sa)*

If-i LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON.

Une Iransformation analogue s'applique à Tintégrale ,, 1,, cosCL,, R,)

a' Lii

• [R}-f.p,-9.pR,cos(p,R,)]«

et nous donne

Os. c>Ni r, Os, ^^J /-i

tcA- RîLiCos(p,Li) I -j