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§ 2. — Méthode de Béer.
Les travaux que nous avons mentionnés au paragraphe précédent n'ont fourni la solution du problème de l'aimantation par influence que pour un nombre de cas extrêmement restreint.
CUAP. IV. — MÉTHODE DE BEER. l55
Beer(*) adonné une méthode qui permet de résoudre le problème de TaimaDtation par influence pour tout aimant terminé par une surface de second rang non biétoilée. Béer s'était contenté d'énoncer son algorithme. M. Cari Neumann (2), dqnt les recherches sur la méthode de la moyenne arithmétique ont été provoquées par la Note de Béer, a démontré la légitimité de l'algorithme créé par ce physicien.
La méthode de Béer serait, dans la plupart des cas, rendue inapplicable par la longueur des calculs. Mais elle a du moins Tavantage de prouver, pour une classe très étendue de corps, l'existence d'une solution au problème de l'aimantation par influence.
Nous avons vu [Chap. I, égalité (12)] que la difficulté du problème de l'aimantation par influence consistait essentiellement à trouver une fonction cp, vérifiant en tout point intérieur à l'ai-
mant l'égalité
(5) ,,>^,-A^gldS^o,
v^ étant la fonction potentielle qui définit le champ magnétique. Au moyen de la fonction ^, formons la série de fonctions
Si la surface qui limite le corps magnétique est une surface de second rang non biétoilée, nous savons (Livre II, Chap. IX, § 5) que la série
sera uniformément convergente. Pour un corps magnétique ou
(*) A. Béer, AUgemeine Méthode zur Bestimmung der elektrischen und magnetischen Induktion (^Poggendorff's Annalerij Bd. XLVIII, p. 187; i856). — Einleiiung in die Elektrostatik, die Lehre von Magnetismus und die Elektrodynamik, p. i58 et suiv. ; Brunswick, 1863.
(■) C. Neumann, Untersuchungen Uber das logarithmische und Newton*sche PotenticU, Ch. VI; Leipzig, 1877.
l56 LIVRE VllI. — LA THEORIE DE POISSON.
paramagnétique, mais non diamagnétique, absoJumeDtquelconque,
la quantité
i-T-47:Xest un nombre positif et inférieur à i. I^a série
^ L I-+-47CA: \n-47rX:/ \i-{-47rA:/ J
sera aussi une série convergente.
Mais, d'après Tidentité de Green, on a
Multiplions les deux membres de la première de ces égalités
par — ^^— — 7; les deux membres de la seconde par ( -, — 7 ) ; • • •
et ajoutons-les membre à membre. Nous trouverons
Si donc nous posons
^ * i-t-47rA:
la fonction ©, déterminée par les égalités (7) et (8), vérifiera l'égalité (3) en tout point intérieur au corps aimanté.
La fonction (p étant ainsi déterminée en tout point du corps aimanté, les composantes de l'aimantation seront données par les égalités
ox oy QZ
Pour les points extérieurs au corps aimanté, la fonction f sera déterminée par l'égalité (5)
CHAP. IV. -> MÉTHODE DE BEER. iSj
Au lieu de déterminer la fonction ^, on pourra déterminer la fonction potentielle magnétique V du corps aimanté. La définition de la fonction ^ donne
L'égalité précédente devient donc
En vertu des égalités (7) et (8), cette dernière formule devient
La couche fictive équivalente au corps aimanté a donc pour densité superficielle
La méthode de Béer s'applique, quelle que soit la valeur positive de A:, à tout corps magnétique limité par une surface de second rang non biétoilée. M. Cari Neumann a montré que, si l'on se donnait un corps magnétique limité par une surface quelconque, on pouvait assigner un nombre positif K, dépendant de la forme de la surface, tel que la méthode de Béer s'applique à ce corps magnétique pour toute valeur de k inférieure à K.
