D. — II. II
l62 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAlflQUE.
laine grandeur géométrique que l'on nomme V intensité d' aimatitation en ce point.
Considérons un système de corps isotropes ou non qui peuvent être électrisés et aimantés et proposons-nous de déterminer la forme du potentiel thermodynamique interne de ce système, potentiel que nous désignerons par la lettre ^.
Nous avons obtenu [Livre IV, Chap. II, égalité (i5)] l'expression de ce potentiel en supposant l'intensité d'aimantation égale à o en tout point. Nous avons trouvé que l'on avait, dans ce cas,
ff = E(r - T2:)-T- w-+-y e^,
E étant l'équivalent mécanique de la chaleur;
V l'énergie interne du système désélectrisé et désaimante :
2 l'entropie du système dans les mêmes conditions ;
T la température absolue ;
W le potentiel électrostatique ;
q la charge qui se trouve en un point;
H une quantité qui dépend de la nature que le système désaimanlé
présente autour de ce point ; enGn le signe^ indiquant une sommation qui s'étend à toutes les charges du système.
L'expression du potentiel thermodynamique interne d'un système aimanté quelconque doit, d'après ce que nous venons de dire, être de la forme suivante
m) e'? = E(v-T2:)-4-WH-^e<7-+-.t,
rf étant une certaine quantité qui se réduit à o si l'intensité d'aimantation devient égale à o en tout point. C'est la forme de celle quantité ^' qu'il s'agit de déterminer.
Divisons le syslème en un nombre illimité n d'éléments infiniment petits, de forme quelconque, que nous désignerons par rfrj, rfcaj •••? dvn^ Éloignons infiniment les uns des autres ces divers éléments. Le système étant dans cet état, le potentiel thermodynamique interne pourra être pris égal à la somme des potentiels thermodynamiques internes de chacun des éléments rf^^^ rfca, . . ., di'ii considérés isolément. Si nous désignons ces derniers poten-
CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMOOTNAMIQUE D* AIMANTS. l63
lîels par #4,^2, . . ., ^n, nous aurons, lorsque le système est dans cet état,
Soient 0R|, 5R2, . . ., ^y^n les valeurs de Tintensité d'aimantation en un point des éléments rft^,, dv^, ..., dvn* Nous pourrons écrire
9n = ?/t-f- cf'fif
fi , ?2, . . ., ?«, ne dépendant pas de OIV, ,311.2,..., OU», Undis que ê't devient égal à o en même temps que 3lt,, ^; en même temps que Sffli, •••, ^a en même temps que 31t„.
Or la détermination du potentiel thermodynamique d'un système non aimanté repose sur cette hypothèse (Livre IV, Chap. II, § 1) que, dans l'état considéré du système,
E(r-T2)-H\v+2ey = (?, + »,-+-. ..-H
Les égalités (i), (2), (3), jointes à cette dernière égalité, montrent donc que, lorsque les divers éléments du système sont infiniment éloignés les uns des autres, on a
On a donc, en général,
-f dépendant de la disposition des divers éléments du système les uns par rapport aux autres et devenant égal à o quand tout le système est désaimanté.
Nous pourrons toujours écrire, au moins d'une manière,
ff\ devenant égal à o en même temps que Olt^, ,f; en même temps que aiLs, ...,f^ en même temps que 01L„. Nous supposerons que, parmi les diverses formes que l'on peut donner à une semblable égalité, il en est une vérifiant une hypothèse que nous allons énoncer.
Pour la commodité du langage, dans l'énoncé de cette hypothèse, nous nommerons la quantité ^* potentiel magnétique du système sur Vêlement rfr<, la quantité J^ potentiel magnétique du système sur l'élément dv^^ ....
Imaginons que, sur l'élément rfr,, nous placions des quantités positives ou négatives [Xj, |jl^, [x*, ... d'un fluide fictif (Jluide magnétique), de manière que les conditions suivantes soient vérifiées :
« On a
JJll -4- JJLl -f- JXi -f- . . . = o.
2® Si (^x^y, 5), {x'^y^ z')^ (x'\y, z")j ... sont les positions des masses [Xj, ul'j, [jl*, ..., on a
\I.lX -r- ll\x'-^ \x'[x''-\-. . .= -1)1 rfi^i,
l^iz -t- jjl'i z' -h [l'[ z" -h . . . = 3i di>i y
clj,, iH)«, 8< étant les composantes de l'aimantation 01L< en un point de l'élément di^ .
Une semblable distribution de fluide fictif prendra le nom de distribution équivalente à l'élément magnétique rf^i .
Il est facile de trouver une distribution équivalente à l'élément rf^,. Prenons deux points M,, M'^, situés à l'intérieur de cet élément, et tels que la direction M| M'^ coïncide avec la direclion li de l'aimantation en un point de l'élément di^^. Plaçons au ])oint M| une masse — [Xi et au point M'^ une masse jx^, la grandeur |x< étant définie par l'égalité
(6) jjli.MijM; = DKidvi,
Nous aurons une distribution magnétique équivalente à l'élément rf^|. On peut imaginer une infinité d'autres distributions équivalentes.
Ces définitions posées, arrivons à l'énoncé de l'hjpothèse qui nous occupe.
Soit une distribution quelconque équivalente à l'élément dv^ , formée par des masses jx, , [x', , |x'J , . . . concentrées aux points M< , Mp M'J , . . . rf<? cet élément. Le potentiel magnétique du système
CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE D* AIMANTS. l6^
sur cet élément peut s^ écrire
(7) ^'i=='^^i + fi + fi+....
^1 dépendant seulement :
1° De la masse [Xi ;
2** De l'état du système formé par les éléments dvi^ . . . , rf^»„ ;
3** De la situation du point M i par rapport à ce système.
Les quantités à\ , 'V, , ... dépendent des variables correspondantes.
Cette hypothèse conduit tout d*abord au théorème suivant :
La quantité if^ est proportionnelle à [jl,.
Ce théorème se démontre sans peine en remarquant que , si, dans une distribution équivalente à l'élément rfr<, deux masses [jL|, jx'^ sont situées en deux points M|, M'^ dont la distance est infiniment petite par rapport aux dimensions de di^^^ on obtiendra une nouvelle distribution équivalente à l'élément dç^ en supprimant ces deux masses et en les remplaçant par une masse unique (ijL| h- [^'i) placée au point M| .
On peut donc écrire
(8) 4;,= IjX,\0„
\*>i dépendant seulement du système des éléments ^^2, ..., dvni et de la position du point M^ par rapport à ce système, '^i est ce que nous nommerons la fonction potentielle magnétique du système au point M|.
Supposons que nous considérions la distribution fictive particulière à laquelle se rapporte l'égalité (6). Le point M| a pour coordonnées ^i, ^o z^ ; le point M'^ a pour coordonnées
Au point M<, la fonction potentielle magnétique du système des éléments dv^') • • • j ^^« ^ pour valeur
Au point M| , elle a pour valeur
^''• = ^'''-^^57; rfTT-^S^ rf/7-^^ Szfj*^''*'-
l66 LIVRS IX. — AIMANTATION ET THERlIODTNAMIQrE.
D^ailleurs, les égalités (7) et (8) donnent ou bien, en vertu de la dernière égalité,
^„ I /rK>, dxi . d-<), dy, d-<\ dz,\ -— p-
^'^i\Jx\ dh '^ô^ di, ^"dT.drJ^"^^'^^''
Si l'on tient compte de l'égalité (6), on trouve
Occupons -nous maintenant de la détermination de la fonction 'Ci.
A l'égard de celte fonction, nous ferons les hypothèses suivantes :
1° La /onction "Çt peut s'écrire de la manière suivante
X)^2 dépendant uniquement des paramètres qui définissent l'élément dv^ et sa situation par rapport à M< ;
2® Soit une distribution fictive quelconque, équivalente à l'élément dv^- Elle est formée par des masses [Xj, [x!,, [x^, . ,. de fluide magnétique concentrées en des points M2, M!,, M!j, — On peut écrire
(11) ^')n = Zu -^ ù j -+- xi j -^- • ■ »
X<2 dépendant uniquement de la masse (Xj et de la situation respective des deux points M|, M2.
Par une démonstration analogue à celle qui nous a servi à établir l'égalité (8), nous prouverons que 'y^i2 est proportionnel à [X2. D'ailleurs, la situation respective des deux points M,, M2 dépend uniquement de leur distance ri2- On aura donc une égalité de la forme
(12) X\t= ^t^{rx{).
Parmi les distributions fictives équivalentes à l'élément dv2. considérons-en une analogue à celle à laquelle l'égalité (6) se rap-
CHAP. I. — LR POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'AIMANTS. 167
porte. Le point M2 a pour coordonnées x^j y^j ^1] le point M., a pour coordonnées
Si donc on a
(IZ:t
JS a /Gj ~4~ ~j i~ ^li■2 ■■•» '» ■
MtiVJj = Tu,
on aura
Or les égalités (i i) et (12) donnent
r)ii= î^î[?('-'is) — ?(n2)],
ou bien, en vertu de la dernière égalité, Comme d'ailleurs, d'après l'égalité (6)
(jij.Miivrj = ortirffj,
on a
\ '^?^'""^ , Db «^çO") , - <•>?('> ^
les égalités (lo) et (i3) donnent
cAoj
ÔX9
dv
ÔXn
dVrK
dVn-
Les égalités (5), (9) et (i4) ne laissent plus à déterminer, dans l'expression de la quantité J", que la fonction ^(/•).
Lorsque l'on déplace les uns par rapport aux autres les divers éléments rfç^i, rf^a, ..., di>n du système, sans changer la forme, l'aimantation ni Tétat de chacun d'eux, chacune des quantités J', , #2, . . . , r?',, demeure invariable. Dans une semblable modification, la variation de la quantité ^ se réduit à la variation de la quantité J''. Dès lors, le principe des déplacements sans changements d'état nous conduit sans peine au théorème suivant :
Les forces qui s'exercent dans un système aimanté inva-
riable d'état et d'aimantation s^ obtiennent en adjoignant aux forces qui agiraient dans le système non aimanté un groupe de forces ayant pour potentiel la quantité i" définie par les égalités (5), (9) et (i4)-
Soient, en particulier, deux aimants A,, Aa dont chacun est invariable de forme, d'état et d'aimantation, mais qui peuvent se déplacer l'un par rapport à l'autre.
Soient
d\?^ un élément de volume de l'aimant A| ;
(•^lîj^'o-^i) un point de cet élément;
dK\ un élément de volume de l'aimant A2;
(•3^2î^'2»^2) un point de cet élément;
t>i la fonction potentielle magnétique de l'aimant A, ;
1)2 la fonction potentielle magnétique de l'aimant Aj.
Il est aisé de voir que la partie variable de J'' se réduit à
I r II , <^t%
dvi
dV,
dxi
en sorte que cette quantité peut servir de potentiel aux actions mutuelles des deux aimants.
On a d'ailleurs identiquement
r II . àV, r II d-Ox
I c\»l -r aVi = / aies
^Ps,
en sorte que le potentiel mutuel des deux aimants A,, A2 peut prendre l'une des deux formes équivalentes
l/WJ
Oxi
di>i
dv^.
C'est le résultat auquel nous sommes parvenus, par une tout autre méthode, au Livre VIT, Chapitre I, égalités (lo) et (10 bis). On pourrait donc replacer ici tous les développements déduits de cette égalité et qui constituent le Livre VII tout entier. En particulier, les expériences de Gauss, exposées au Livre VII, Chapitre II, nous conduisent à prendre
CIIAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYXAUIQl'E d'aIMANTS. iCg
légalité (i4) nous montre alors que la fonction potentielle magnétique \*> (.2:, j^', z) au point (^, J^, z) pourra s'écrire
(Ç, T|, J^) étant un point de Félément rft^, (*l»,ill), C) l'aimantation en ce point et la sommation s'étendant à tous les éléments de volume du système. Elle sera identique à la fonction potentielle magnétique étudiée au Livre VII, Chapitre III. Les égalités (5)et(9) donneront
dv^
(x,^', 3) étant un point de l'élément dv et («l., ^l),8) l'aimantation en ce point; l'intégration s'étend à tout le système. Celto fonction 3^ ne diflfôre pas du potentiel magnétique 3* défini et étudié au Livre VII, Chapitre III. Dorénavant, nous remplacerons le symbole ^^ par le symbole 3".
Les résultats que nous venons d'obtenir suffisent, comme nous l'avons déjà fait remarquer tout à l'heure, pour qu'il soit possible de reprendre tous les développements qui forment le Livre VII ; mais, pour pousser plus loin, il nous faut déterminer la forme des quantités .f'^, f^^ . . . , ^\^,
f^ dépend de tous les paramètres qui définissent l'élément dv\ considéré isolément. Cet élément, dans le cas le plus général, n'est pas isotrope; les diverses directions que l'on y peut tracer se distinguent les unes des autres; supposons-les rapportées à un certain trièdrc de référence invariablement lié à la substance de l'élément, le trièdre des axes principaux de dilatation.
L'élément di\ est défini par
1° Son volume rfci ;
2® La forme de sa surface et son orientation par rapport aii\ axes d'élasticité;
3° Un certain nombre de paramètres a,, [3|, ... (sa densité, sa température, par exemple), qui fixent son état physique et chimique :
4^ Les composantes J3i|, J0|, C| de l'aimantation suivant les trois axes principaux de dilatation ;
5** L'état d'éleclrisation ;
IJO LIVRB IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE.
Relativement à celte dernière classe de paramètres, nous admettrons, comme nous l'avons déjà fait dans l'étude de rélectricilé que, pour définir l'état de l'élément rfç^i, il suffit de connaître la charge totale q^ d'électricité qu'il porte, sans avoir besoin de connaître la distribution de cette charge.
Celte hypothèse faite, nous allons démontrer en premier lieu que la quantité Jj est proportionnelle à rf^i et qu'elle ne dépend pas de la forme de la surface qui limite l'élément ni de son orientation par rapport aux axes de coordonnées.
Comme la distribution de la charge q^ que porte l'élément dv% n'influe pas sur la valeur de J',, nous pouvons, pour démontrer la proposition précédente, supposer cette charge distribuée uniformément à l'intérieur de l'élément di\ avec une densité solide pi.
Choisissons une fois pour toutes un cube-type, dont les dimensions soient infiniment petites par rapport à celles des éléments dvst dv2'i • • • ■. dÇfi, Divisons l'élément dç^ en cubes égaux au cube type, ayant tous leurs arêtes parallèles aux axes principaux de dilatation.
L'élément dvi renfermera un nombre illimité k de semblables cubes. Soient rfV|, rfVo, . . . , c/Vaccs cubes. Soient/'^,/',, -- -•, /\. ce que deviennent, pour ces divers cubes, les quantités analogues à Jj. La fonction potentielle magnétique de l'élément d^t tout entier a pour valeur u en un point (j:,j^, ;;) de l'élément rfV. 11 est évident, d'après la définition de ^[^ que l'on aura
rf\= r,-f-/; + ...-^A f- / l'.i>^|!
la sommation s'étendant à tous les éléments secondaires dV en lesquels l'élément dVi a été décomposé.
Mais, d'après ce qui a été démontré au Livre VU, Chapitre III, la quantité
sera Infiniment petite par rapport à dvi. Si donc on ne garde dans l'expression de J', que les termes de l'ordre de dvi, on aura
OU bien encore, nos k petits cubes étant identiques entre eux,
CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aIMANTS. I"!
k est évidemment proportionnel à rfç>i ; /', ne dépend ni de dv\ ni de la forme de la surface qui limite cet élément. La proposition énoncée est donc démontrée.
Nous poserons
Nous allons prouver maintenant que A, ne dépend pas de la charge électrique qi que porte l'élément dv^»
La quantité ê\ et, par conséquent, la quantité X| ne dépendent pas de la distribution qu'affecte cette charge q\ sur l'élément dv^. Divisons cet élément dv^ en deux autres, rfç'2> ^^3, ayant l'un et
l'autre pour volume -;— *• Supposons que la charge qx se trouve
tout entière dans l'élément ûfr2 et que l'élément rfca ne renferme aucune charge.
Nous aurons évidemment
OU
Xi dvi = Xj dv^ -4- Xj ds^Z'i
ce qui, à cause de l'égalité
dvi = dv^ = -~- y peut s'écrire
2X1 = Xj-h X3.
Or X2 ne diff*ère pas de X|> car tous les paramètres dont dépend la quantité X ont la même valeur pour l'élément dvt et pour l'élément dçit. On a donc
Al = X3,
ce qui nous enseigne que la quantité X a la même valeur pour l'élément di'i qui renferme la charge qx et pour l'élément rf(^3 qui ne renferme aucune charge. Ainsi, comme nous l'avions annoncé, la quantité X| ne dépend pas de la charge qi distribuée sur l'élé-r inenldi^i.
Nous pourrons donc, mettant en évidence les paramètres dont dépend X| , écrire
h=(J(3iir^x,^u0^i, pi, ...)
et, par conséquent, en vertu de l'égalité (17),
17^ LIVBE l\. — AIIIANTATIO.X ET THEBMODTXAVIQUE.
Celle égaillé (i8), joînle aux égalités (i), (4) et (i6), détermine la forme da potentiel thermodjrnamiqne interne d'un système éiectrisé et aimanté. Cette forme est la suivante
(19) j = E(r — TZj-^W'+^eç-hîr-i- rg(3t, B, c, «» ?. ...}dv.
^ désigne le potentiel magnétique. L'intégration s'étend à tous les aimants. On doit se souvenir que la quantité Ç ne dépend pas des charges électriques distribuées sur les aimants.
§ 3. — Corps hémimorphes, holomorphes, isotropes.
La fonction Ç(3ij IB? C), dans l'expression de laquelle nous sous-en tendrons les paramètres a, 3, . . . , doit devenir égale à o lorsque l'aimantation devient égale à o, c'est-à-dire lorsque l'on a
51 = o, Il = o, c = o.
On peut donc écrire
/C;(5t, », C)-).3t-f-ïxiî-r-ve (20) -hon(5l, B, C)5t»-+-cp„(a, J5, €)»»-+-o„(5l, », C)C«
( -+-2o„(5l, B, €)B€-+-2o,i(5t, B, €) C5l -^2o„(5t, «, C)3lB,
)», (JL, V étant trois constantes, et les quantités ^pq ne croissant pas au delà de toute limite lorsque 2i, J9, C tendent vers o.
Mais cette forme générale de (J{3iy U, C) subit, dans la plupart des cas intéressants, de notables simplifications. Elle ne demeure exprimée par l'égalité (20) que pour les substances pour lesquelles on peut distinguer, en chaque point, une direction de la direction opposée. Si un cristal est formé d'une pareille substance, il sera dépourvu de centre. Il présentera cette hémiédrie particulière que présentent la tourmaline, la calamine, ... et que nous nommerons V hémimorphie (*). C'est donc seulement pour les substances hémimorphes que la fonction (f(/3l, *, C) sera donnée par la formule (20).
(0 Nous entendons ici par hémimorphie toute hémiédrie qui prive le cristal de centre ; les cristallographes donnent en général à ce mot une signification plus restreinte.
CHAP. I« — LE POTENTIEL THEEMOOYNAMIQUE d'aIHANTS. 17^
Prenons maintenant une substance holomorplie, c'est-à-dire une substance telle qu'en chaque point une direction et la direction opposée soient équivalentes. Si une pareille substance forme un cristal, ce cristal aura un centre. Ce cas est, au point de vue du géomètre, un cas particulier; mais presque toutes les substances connues rentrent dans ce cas par.ticulier.
La fonction Ç(5l, jB, C) ne devTa pas changer si l'on remplace Taimantation par une aimantation égale, mais orientée en sens contraire, c'est-à-dire si l'on remplace respectivement 5t, JD, C par — 51, — IB, — C Cette condition exige que l'on ait
X = O, fX = O, V = o,
en sorte que, pour les substances holomorphes, Ç(^, Î9, C) est donné par la formule suivante :
Parmi les substances holomorphes se trouvent les substances isotropes qui, tout en formant, au point de vue géométrique, un cas extrêmement particulier, forment, dans la nature, la classe de corps la plus nombreuse. Pour de semblables substances, toutes les directions sont équivalentes. La fonction Ç(5l, JD, C) ne doit pas varier si l'on fait varier JSl, JD, C, sans faire varier la quantité
On doit donc avoir, d'après Tégalilé (21),
cp(dR/) ne croissant pas au delà de toute limite lorsque Oft tend vers o. Pour abréger, nous écrirons simplement
(23) 0rL«9(01V) = ^(DÎL).
Dès lors, d'après les égalités (19), (22) et (28), le potentiel thermodynamique interne d'un système dont tous les corps aimantés sont isotropes s'écrira
(24) S = E(r-. Ts) -H w -t-^ey -H 5* -+- r^(Dïi) dv.
La fonction ^(OFc) dépend non seulement de l'intensité d'aiman-
talion Oft, mais encore des paramètres ol, ^, ... qui fixent Télal physique et chimique de l'élément dçy mais non des charges électriques distribuées sur les aimants.
Le présent Livre. sera consacré à l'étude des corps aimantés isotropes. Nous aborderons, au Livre suivant, l'étude des cristaux aimantés.
ClIAP. II. — LES ÉQUATIONS DE l'ÊQUI LIBRE. 17"»
