Théorème. — I.e flux de force qui traverse un tube de

section inflniment petite est indépendant de l'inclinaison de la section

sur l'axe du tube.

En effet

dN = H cosa ds =:Ha d(j ,

d(5 représentant la section du tube normale à Taxe et Hu rintensité du champ dans cette région.

20. — Théorème de Gauss. — 11 existe, entre les masses d'un champ et le flux traversant une surface enveloppant ces masses, une relation simple, d'application très fréquente, ainsi conçue:

Le flux de force traversant une surface fermée dans un champ est égal à ^Tzk fois la somme des quantités d'agent enveloppées par cette surface.

I. Considérons d'abord une masse unique m, concentrée en un point P, dans une surface fermée qui présente pour plus de généralité une partie rentrante. (Fig. 4.)

Fig. 4.

INTRODICTION. I7

Du point P comme sommet, traçons un cône élémentaire correspondant à un angle solide dio^ lequel est mesuré par la surface qu'intercepte le cône sur une sphère de centre P et de rayon égal à Tuniié.

Appelons ds ^ ds\ ds' les aires limitées par les intersections du cône avec la surface tracée. Nous dirons que rfw représente la surface apparente de ces intersections vues du point P. Appelons r, r', ;•' les distances des éléments découpés au point P ; et a, a', a" les angles de Taxe du cône avec les normales aux cléments.

Les flux de force traversant ceux-ci sont respectivement

. Iffn . .km , , , km ,

H — cosa as, + -75- cosa as , + - — cosa ds .

Mais

ds cosa ds' cosa ds' cosa'

attendu que ces expressions mesurent par définition Tangle solide rfw. Le flux se réduit donc à Armrfu) , quel que soit le nombre des intersections, pourvu que celui-ci soit impair.

Le flux total traversant la surface est donné par la somme des flux traversant tous les cônes élémentaires qu'on peut tracer

autour de P ; or,

km diù=z ^r,km.

4 Tz représente la surface totale que les cônes découpent sur la sphère de rayon égal à l'unité.

H. Si Ton avait considéré une masse m, hors de la surface formée, les cônes élémentaires ne pouvant traverser celle-ci qu'un nombre pair de fois auraient donné une résultante nulle.

III. Enfin, si l'on suppose dans le champ des masses m,, m^, m^^ dont les unes sont à l'intérieur, les autres à l'extérieur de la surface, le flux total à travers celle-ci sera la somme des flux dus aux masses intérieures, 2 m.

H ds cosa =: 4 ;: A* S m.

l8 INTRODUCTION.

21. — Corollaire I. — Supposons que la surface fermée soit limitée par les parois latérales d'un tube de force et par deux sections, s et /, faites dans celui-ci. Les parois du tube ne coupant aucune ligne de force, le flux de force qui traverse la surface fermée se borne aux flux fHds — jH'ds\ ds et ds' étant des seciions équipotentielles normales au tube. Par suite,

J Hds-- f H' ds = 4nkJ:m.

Si le lube ne renferme pas de masses dans la région délimitée.

f Hds = f H' ds.

Le flux entrant par Tune des bases sort par l'autre, c'est à dire que \qJIiix est constant dans un tube de force .^ aussi longtemps que celui-ci ne rencontre pas de masse agissante.

Celte propriété, rapprochée de celle des courants fluides, qui restent constants dans un canal, tant que ce dernier ne rencontre pas de source, justifie le nom afflux donné à Tcxprossion mathématique considérée. Nous verrons que cette propriété, connue sous le nom de conservation du flux^ joue un rôle important dans les phénomènes électriques et magnétiques.

22. — Corollaire II. — Si le tube de force était infiniment mince, on aurait

Hds^zW ds—d^, d'où

H' ^ H "" ds'

Dans un tube semblable, Tiniensiié du champ est en raison inverse de la section normale à Taxe. Dans un champ uniforme, les tubes de force sont nécessairement cylindriques.

23. — Corollaire III. — L'expression H = -— montre que Vinten-

site d'un champ est le flux par unité de sur/ace équipotentielle au point considéré.

24. — Tube unité. Nombre de lignes de force. -—Un tube choisi de manière que l'expression j¥L ds == i est un xuhQuniié.

INTRODUCTION. IQ

Suivant une convention due à Faraday et admise par beaucoup d'auteurs, le nombre de lignes de force d'un champ qui, en réalité, est indéfini , se limite au nombre de tubes unités dont elles constituent les axes.

D'après cette convention, le théorème de Gauss s'énonce comme suit : Le nombre de tubes unités ou de lignes de force, traversant une surface fermée dans un champ, est égal à 4 w /r fois la somme des quantités d'agent enveloppées par cette surface.

25. — Énergie potentielle des masses soumises à des forces neiK^toniennes. — Par suite de la répulsion qui s'exerce entre les masses de même nature, il faut dépenser une certaine somme de travail pour amener des masses m , m', m", en des points voisins o, o\ o" , Ce travail s'accumule dans le système à l'état d'énergie potentielle, et il est restitué lorsque les masses , rendues libres, s'écartent indéfiniment sous l'effet de leurs réactions mutuelles.

Cherchons à déterminer l'expression du travail dépensé et, dans ce but, supposons que les masses soient formées à l'aide d'éléments apportés successivement aux points considérés o, o' o'\

Pour amener un élément dm en un point o dont le potentiel est V, il faut par définition dépenser un travail égal à y dm.

Pour les autres points, on obtiendra de môme des éléments de travail Ydm\ W''dm\

Mais, à mesure que les masses s'accumulent , le potentiel en chacun des points s'élève. Au point o, par exemple, il passe d'une valeur nulle à la valeur

On peut admettre que l'accroissement progressif des masses a lieu

dans un rapport constant, de manière qu'à un instant donné les

masses accumulées aux divers points atteignent le même tantième

de leurs valeurs définitives. Dans ces conditions . les potentiels

croissent dans le même rapport, et la valeur moyenne du potentiel,

au point o, est --, à laquelle correspond un travail élémentaire

— dm.

Le travail nécessité pour la formation de la masse m est

La somme des travaux relatifs aux diverses masses du système sera

On voit que l'énergie potentielle du système est la demi-somme des produits des masses par leurs potentiels.

L'hypothèse ci-dessus , relative au procédé d'accroissement des masses, n'enlève rien à la généralité de la conclusion. En effet, Ténergic potentielle est mesurée par le travail restitué , lequel dcpend de Téiat final du système et nullcm^^nt du mode de progression des masses qui a conduit à cet état. Voici d'ailleurs une démonstration exempte de toute hypothèse semblable.

Lorsque deux masses m, m', à une distance r , s'écartent d'une longueur rfr, l'accroissement d'énergie potentielle est égal et de signe contraire au travail accompli. On a donc

mm, a w = — k — ^- dr.

Lorsque les masses s'écartent à une distance infinie , le travail représente leur énergie totale, soit

, tn m w =z k

Pour un système de masses, on aura une expression de la forme

Remarquons que

S m m' IV V 'w'

le facteur - étant nécessaire pour éviter qu'on ne prenne deux fois

chaque couple de quantités.

m' Mais /c S — représente le potentiel du point où se trouve la

masse m. On a donc