APPLICATIONS

Avant d'aller plus loin , appliquons les propriétés démontrées précédemment à quelques cas simples, dont nous trouverons la réalisation dans certaines combinaisons électriques et magnétiques.

26. — I. — Une couche sphérique homogène infiniment mince n'exerce aucune action sur une masse intérieure. — Une masse t^gale à l'unité étant concentrée en P, traçons, de ce point comme sommet, un cône élémentaire découpant sur la sphère deux surfaces ds et cls\ à des distances r, r'. Soit q la densité superficielle ou quantité d'agent par unité de surface.

Fig. 5.

I^es élémenis ^6" et ds' sont par suite chargés de masses

dm -=.0 ds dm ^:::^Q ds\

lueurs actions sur Tunité de masse en P sont

k dm A- a ds

k dm' k a ds

Mais les éléments ds et ds' ^ faisant des angles égaux avec Taxe du cône , sont entr'eux comme leurs projections perpendiculaires à cet axe, et, comme celles-ci sont elles-mêmes proportionnelles au carré de leurs distances au sommet du cône, on a

ds ds

Ta — TT'

d^où

k dm ■__ k dm'

Toute la surface de la sphère pouvant être divisée par couples d'éléments tels que ds et ds\ dont les actions se neutralisent, Teffet total de la couche sur le point P, comme sur tout autre point intérieur, est nul.

On en conclut que le potentiel est constant en tous les points intérieurs de la couche sphérique.

Ce potentiel est donc le même que celui du centre, lequel est exprimé par

Corollaires, — a) La surface de la couche considérée est équi-

poientielle.

b) L'énergie potentielle de la couche est - k ^p-.

c) La conclusion tiendrait encore dans le cas d'une série de couches concentriques agissant sur un point intérieur, lequel peut, à la limite, se trouver sur la face interne de la couche intérieure.

27. — II. — L'action d'une couche sphérique homogène sur un point extérieur est la même que si toute la masse était condensée au centre de la sphère. — L'unité de masse étant concentrée en P , il est évident, par raison de symétrie, que l'action résultante doit être dirigée suivant O P.

Un élément (f^, en A, exerce sur l'unité de masse une force dont la composante suivant O P est

iH =zk<3—z cosa.

P' étant le point conjugué de P, tel que OP' X OP = R^, relions A à P'. Les triangles OAP' et OAP sont semblables,

Fig. 6.

car ils ont l'angle AOP commun ci les côics adjacents proportionnels ; d'où

r 0 P AP"" R

ei, en remplaçant,

.,, , ds cosa ^ R3 AP- OP

Mais

ds cos a

■=z àto-i

fa> ciani l'angle solide sous lequel on voit rélément ds du point P'; par suite,

dHz= le a dtM X- ,-

L'aciion de la couche entière sera

H=^aX

R2 l ^ . 4 7:/fR2(j ^M

Cette action est la même que si la masse entière était concentrée au point O-

Corollaire. — Pour un point infiniment voisin de la surface, Taciion de la couche serait 4 w A <i.