AA'A
AA' ^^ ds s'm OL z= r da ,
d'où
doi sin a
• ds r
et
A'A' := — dr =ds cosa ,
d'où
dr ds
D'autre part, l'équation ( i ) donne directement
df 1 k' i m I
da 2 r a
cos^-
df k' i m a
dr= — ^^*"sr
l34 ÉLECTROHAGNÉTISME.
En substituant ces expressions dans (2), on trouve
.^ k'Jm/i I . , a \ .
d/= —ri 2 J sin a + tang - cosa \ ds
= — pâ— tang - ( I + cosa) ds
k' im , , k' im . . , . . = j — sin a a5 = — g— ds sin (r, d5).
La force élémentaire est, du reste, normale au plan du courant et du pôle. Si Ton considère la réaction du pôle sur l'élément ds^ celle-ci est dirigée vers la droite de l'observateur d'Ampère couché suivant le courant et regardant le pôle, § i25, ou vers sa gauche, s'il a le regard tourné dans le sens des lignes de force produites par le pôle.
127. — Action d'un champ magnétique sur un élément de courant. — On remarquera que, dans la loi de Laplace, le facteur
— représente Tiniensité du champ JC dû au pôle w, au point où se
trouve l'élément de courant. On peut donc écrire
d/=zki3tds sin {:ft, ds).
Il est facile de généraliser la loi dans le cas de plusieurs pôles. La force totale dF est le produit de kids par la résultante des termes tels que
^ sin (r, is),
laquelle représente le produit de l'intensité du champ 3C, par le sinus de l'angle de la direction du champ avec la direction de l'élément, attendu que la projection de la résultante est égale à la somme des projections des composantes.
Par suite, la résultante est, en valeur absolue,
dF = ki ds:ft sin {:ft, ds).
D'après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, cette force, appliquée à l'élément du courant, est normale au plan du courant et du champ, et dirigée vers la gauche de l'observateur
PHÉNOMÈNES MAGNÉTIQUES DUS AUX COURANTS
d'Ampère quand il regarde dans le sens des lignes de force du champ.
M. Fleming a indiqué, sous le nom de règle des trois doigts^ un autre moyen de déterminer le sens de la force électromagnétique'. Si Ton dispose les trois premiers doigts de la main gauche suivant trois directions perpendiculaires , en orientant Tindex et le médius respectivement dans le sens des lignes de force magnétique et du courant, le pouce indique le sens suivant lequel ce dernier tend à se déplacer.
128. — Travail dû au déplacement d'un élément de courant sous Taction d'un pôle. — Soit un élément de courant ds = ab , fig. 53 ^ sollicité par un pôle m situé en un point P.
. Fig. 53.
La force électromagnétique tend à déplacer l'élément ds normalement au plan r, ds suivant une direction qf. Si l'élément se meut dans une direction ac, le travail accompli pendant un déplacement ds' = ac est égal au produit de la force par la projection du déplacement sur la direction de celle-ci.
On a donc
dt = — 2~ ^* s^'^ (^^ ^) ^^ ^^^ (^ ^/)-
Construisons un parallélogramme sur ac et ab ; menons ensuite
ÉLECTROMAGNÉTISME .
par af un plan fam normal à r et d<fierminons les interseciions ^, /î, de ce plan avec les droites cP, rfP.
Comme ac et ab sont infiniment petits par rapport à r, le plan crfP est normal kfam et contient la droite c/'qui projette ac sur a/.
L'équation (i) peut, par suite, s'écrire
ki m
dt = --^ X amX af.
Mais le produit am X a/* mesure la surface du parallélogramme aenm^ dont a/ est la hauteur, ce parallélogramme pouvant être considéré comme la projection de acdb sur une sphère de centre P et de rayon r. / •
En divisant cette projection par r^, on obtient la projection sur une sphère de Tunitc de rayon, soit l'angle solide sous lequel on voit du point P le parallélogramme acdb^ c'est à dire l'aire décrite par l'élément ds. En appelant rfo) cet angle solide
dt = k i m dtii.
129. — Travail dû au déplacement d'un circuit sous l'action d'un pôle. — Pour obtenir le travail effectué par un courant de longueur finie se déplaçant sous l'action d'un pôle, il suffit de considérer la somme des termes tels que kundin. On trouve le produit de kim par l'angle solide sous lequel on voit du pôle la surface balayée par le courant considéré.
Dans le cas d'uu circuit fermé abcd, fig. 54, qui prend une
Fig- 54.
position a'b'c'd' sous l'action d'un pôle situé vers le lecteur, on peut considérer séparément les segments abc , cda parcourus par
PHENOMENES MAGNÉTIQUES DUS AUX COURANTS. l37
des courants opposes. Le travail accompli par abc est proportionnel à l'angle solide sous lequel on voit Taire aàb'c'cb ; celui de adc est proportionnel à la surface apparente de aa'd'c'cd. Le travail résultant sera proportionnel à la différence de ces surfaces apparentes, c'est à dire à la différence des angles solides sous lesquels ont voit les deux contours a'b'dd\ abcd du circuit.
Il résulte de ce qui précède que, pour amener un pôle m de rinfini en un point d'où Ton voit le contour du circuit sous un angle o), le travail accompli est
— k i m ta,
o) étant Tangle solide sous-tendu par la face du courant qui attire le pôle positif.
Cette expression représente donc Ténergie relative du courant et du pôle. Si celui-ci était Tunité de pôle, le travail serait — k i w.
130. — Potentiel magnétique dû à un circuit. Unité de courant. Hypothèse d'Ampère sur la nature du magnétisme. — On remarquera que l'expression — /r/w répond à la définition du potentiel par le travail, § 12. On est d'ailleurs autorisé à définir les forces magnétiques dues au courant électrique par un potentiel , puisque le travail accompli dans le champ du courant est une fonction des coordonnées du circuit parcouru par le courant et du point où l'on suppose situé le pôle magnétique. L'expression — k / w peut donc être appelée le potentiel magnétique dû au courant, au point considéré où se trouve l'unité de pôle :
'<? = — friw (l).
En rapprochant le potentiel — km , dû au courant, du potentiel — ^Siû dû à un feuillet magnétique, § 43, on reconnaît l'identité de forme de deux expressions. Un courant donne le même potentiel et produit par conséquent les mêmes forces magnétiques qu'un feuillet de même contour, dont la puissance $ serait mesurée par ki. Pour préciser le sens des forces et le signe du potentiel, il est nécessaire de distinguer les deux faces du circuit. D'après la règle d'Ampère, § 124, la face du circuit produisant la môme action que le côté négatif du feuillet, c'est à dire celle qui attire un pôle nord, est celle suivant laquelle le courant paraît tourner dans le sens des
1 38 ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
aiguilles d'une montre. C'est là la face négative ou S du courant. L'autre est la face positive ou N.
Le coefficient numérique k de l'équation (i) dépend de l'unité choisie pour .mesurer les courants. On pourra l'égaler à un et définir l'unité de courant, le courant qui produit l'unité de potentiel magnétique en un point d'où le circuit est vu sous l'unité d'angle solide. L'unité ainsi choisie a les mêmes dimensions que l'unité de puissance d'un feuillet
C'est celle que nous adopterons à l'avenir pour exprimer les intensités de courant ; nous en verrons d'autres définitions plus tangibles.
Ampère, qui a découvert l'identité d'effets d'un feuillet et d'un courant, interprétait cette identité de la manière suivante. L'expérience montre qu'un petit courant fermé agit comme un petit aimant normal au plan du courant à la condition que le moment de l'aimant soit égal à l'intensité du courant multipliée par la surface du circuit. Supposons un circuit fini quelconque divisé par des lignes menées à l'intérieur en un réseau d'un nombre infini de mailles et admettons que les contours des mailles soient parcourus par des courants égaux et de môme sens. Il s'ensuivra dans les lignes intérieures du réseau des courants qui s'annuleront deux à deux ; le contour extérieur du circuit sera seul le siège d'un courant. En remplaçant chaque maille par un aimant élémentaire équivalent, la réunion de ces éléments forme un feuillet magnétique dont l'effet est identique à celui du courant de même contour.
Ampère a déduit de l'assimilation précédente une hypothèse tendant à ramener les phénomènes magnétiques à des phénomènes électriques. Il suffit pour cela d'admettre que chaque atome d'un aimant est le siège d'un courant circulaire. L'orientation de ces courants déterminera des effets identiques à ceux des aimants. Il faut alors adopter en postulat qu'un tel courant élémentaire peut exister sans dépense de travail , c'est à dire que la résistance électrique n'apparaît qu'à la traversée des espaces interatomiques (^).
( * ) Voir Ampère, Mémoires publiés par la Société de physique, Gauthier- Villars, Paris.
PHÉNOMÈNES MAGNETIQUES DUS AUX COURANTS. iSq
MM. Fleming et Dewar ont apporté récemment une preuve expcrim:întale en faveur de cette dernière hypothèse. Ces physiciens ont montré que, si Ton représente graphiquement les variations de la résistance des métaux purs en fonction de leur température, on obtient des courbes qui semblent converger vers une résistance nulle au zéro absolu.
Il y à, toutefois, une distinction à établir entre le potentiel dû à un courant et celui que donne un feuillet. Supposons qu'une masse magnétique positive et égale à Tunité soit située contre la face positive du feuillet. Elle sera repoussée, suivra une trajectoire courbe, appelée ligne de force, et viendra contre la face négative, où elle sera en équilibre stable. Le travail accompli pendant celte révolution est 4 tt ^, § 44.
Dans le cas d'un courant, le pôle N suivra également une ligne de force, mais comme celle-ci est une courbe continue, le pôle gravitera dans cette orbite autant que durera le courant. Chaque révolution accroîtra le travail produit par le circuit de 4 ti /, et, par suite, en vertu de la définition du potentiel, celui-ci devra être exprimé par
'Ç = — i ((!} dt j^ K n) ,
n représentant le nombre de révolutions décrites par le pôle unité. Si le travail a été effectué par la force magnétique due au courant, il faudra prendre le signe +, car alors le potentiel aura décru; dans le cas contraire, c'est à dire quand on aura forcé le pôle à se mouvoir en sens inverse, c'est le signe — qui sera choisi.
Il résulte de ce qui précède que le potentiel magnétique dû au courant présente une constante de plus que le potentiel d'un feuillet. Cette indétermination est analogue à celle du potentiel électrique qu'on détinit en supposant nul le potentiel du sol. Dans le calcul des forces, la constante s'élimine, attendu que l'intensité du champ magnétique du courant est, dans une direction /,
On peut donc dire qu'en ce qui regarde les actions magnétiques extérieures , un courant / est assimilable à un feuillet ^S de môme contour.
1 40 ÉLECTROMAGNÉTISME .
Le flux magnétique total produit par le courant est la somme des termes de même signe, tels que Xds^ qu'on peut former dans une surface équipotentielle.
On résume l'action électromagnétique du courant en disant que ce dernier aimante le milieu qui l'entoure et développe un flux de force magnétique en rapport avec l'intensité du flux électrique et la perméabilité du milieu. Un courant entouré de fer produira un flux beaucoup plus considérable que s'il était entouré d'air ou d'un corps peu magnétique.
131. — Énergie d'un courant dans un champ magnétique. Règle de Maxwell. — En poursuivant l'assimilation des feuillets et des circuits électriques, et en étendant l'expression — imai trouvée pour l'énergie relative d'un courant et d'un pôle, il est facile de voir que l'énergie relative d'un courant et d'un champ est
3fL exprimant le flux de force traversant la face négative du circuit.
Si le courant se déplace dans le champ, le travail accompli est mesuré par la variation de l'énergie potentielle. Lorsque celle-ci devient minima, le circuit atteint une position d'équilibre stable, laquelle correspond à un maximum du flux de force pénétrant dans le courant par sa face négative. D'où la règle de Maxwell :
Un courant mobile dans un champ magnétique est sollicité à se déplacer de manière à embrasser le plus grand /lux de force possible par sa face négative.
C'est ainsi qu'un courant circulaire mobile autour d'un de ses diamètres , supposé perpendiculaire à la direction du champ terrestre, tourne de manière à orienter sa face positive vers le nord. Les lignes de force pénètrent alors normalement par sa face négative. Si le flux entrait au début par la face positive du circuit, le mouvement de ce dernier aurait d'abord pour résultat de réduire le nombre de lignes de force qui le traversent; puis la suite du mouvement ferait passer le flux par la face négative.
132. — Énergie relative de deux courants. — Pour compléter l'identification des courants et des feuillets, l'énergie relative de deux
PHENOMENES MAGNETIQUES DUS AUX COURANTS. I4I
circuits parcourus par des courants /, i' doit avoir pour expression
W = — ii'DrL, §46.
Le facteur DFL a les dimensions d'une longueur et s'appelle le coefficient d'induction mutuelle des deux circuits. Par définition, § 46, DKi est le flux envoyé par le courant / à travers i\ et Olif le flux transmis par /' à travers i.
Cette dernière déduction des propriétés des feuillets n'était pas évidente à priori, car de ce que deux courants agissent sur un pôle, il ne s'ensuit pas nécessairement qu'ils ont une action mutuelle ; ainsi deux pièces de fer doux agissent sur un aimant, mais prises séparément, elles n'ont aucune influence entr'elles. C'est Ampère qui a découvert l'existence des forces entre courants appelées élecirodynamiques,
133. — Énergie d'un courant due à son champ. — Un circuit isolé parcouru par un courant est traversé par les lignes de force qu'il engendre et qui forment des courbes fermées embrassant le conducteur. On peut développer le fantôme produit par ces lignes dans un plan, à l'aide de limaille de fer versée sur une feuille de papier traversée par le circuit. Ce fantôme est analogue à celui d'un aimant lamellaire de même contour et aimanté sur ses faces opposées.
Supposons que le circuit soit plongé dans un milieu de perméabilité constante, l'air par exemple, et appelons Z le flux de force passant dans le circuit, lorsque le courant est égal à l'unité. Pour un courant /, le flux sera
Itizzz^Xo.
Or, un courant traversé par un flux possède une réserve d'énergie potentielle , dont la variation mesure un travail effectué. Dans le cas que nous considérons, le flux est lié au courant; il est nécessaire , pour trouver l'expression de l'énergie, d'adopter le mode de raisonnement employé à l'occasion des phénomènes d'électrisation ou d'aimantation, § 25.
Lorsque le courant varie de rf/, le flux varie de (iX et l'énergie potentielle de
— I iX = — £i di.
14^ ÉLECTROMAGNÉTISME.
Si donc le courant passe de o à f, Ténergic, d'abord nulle, devient
OU
Le coefficient £, dont les dimensions, comme celles du coefficient d'induction mutuelle, se réduisent à une longueur, s'appelle le coefficient de self-induction du circuit,
134. — Règle de Faraday. — Avant de passer aux applications de ces diverses formules, retournons en arrière, afin de déter-, miner une expression, autre que celle de Maxwell, § 129, du travail produit par les déplacements d'un circuit dans un champ. Maxwell considère l'ensemble du circuit et il renferme dans une formule simple le travail accompli par une déformation ou un déplacement global des conducteurs.
Il est souvent utile d'analyser séparément l'action des diverses parties d'un circuit et de déterminer la part qui revient à chacune d'elles dans le travail accompli.
Reprenons dans ce but l'expression du travail d'un élément de courant rfj, § 128, qui se déplace de ds' dans un champ d'intensité
3C =r -^ > dû à un pôle m ,
dt = iJt d$ sin (r, d$) ds ces ( J/*, ds).
Or, le produit
3C ds sin (r, ds) ds ces (df^ ds)^
qui représente le produit de l'intensité du champ par la projection de l'aire décrite par l'élément de courant sur un plan normal à la direction du champ , n'est autre que le flux de force balayé par le conducteur, car 3C est le flux par unité de surface équipoicnticllc. Il est facile d'étendre cette remarque à un conducteur de longueur finie et d'arriver à la règle suivante indiquée en premier lieu par Faraday.
Le travail accompli par un conducteur qui se déplace dans un champ est égal au produit de l'intensité du courant par le flux de force (ou nombre de lignes de force ) coupé par le conducteur.
Rappelons d'ailleurs que le courant est sollicité à se déplacer vers la gauche de Tobservateur d'Ampère qui regarde dans la direction du champ. Si le conducteur est mû de manière à ne pas couper les lignes de force, le travail accompli est nul. Cest le cas, lorsque le conducteur est déplacé parallèlement à la direction du champ.
135. — Cas d'un courant rectiligne indéfini. — Vérifions si Tapplication de la notion du potentiel conduit à Texpression
Fig. 55.
de la force électromagnétique trouvée par Biot et Savart, § i25, dans le cas d'un courant rectiligne indéfini agissant sur un pôle voisin.
Un tel courant projeté en O peut être considéré comme la limite d'un circuit plan qui se projette suivant 00', et qui s'étend indéfiniment vers la droite. Les conducteurs qui complètent le circuit étant infiniment éloignés du pôle, supposé en P, n'ont aucune action sur celui-ci.
144 ÉLECTROMAGNÉTISME.
Interprétons Texpression du potentiel
\*^ = — I ( f o it 4 7c n ) .
L'angle solide w sous lequel on voit le circuit du point P s'obtient en découpant la sphère de rayon égal à un, tracée autour de P, par un plan diamétral OP qui renferme toutes les droites réunissant le point P au conducteur projeté en O, et par un second plan PP' qui renferme également toutes les droites menées du point P à la limite infiniment éloignée du circuit idéal considéré. La portion de surface sphérique ainsi découpée est un fuseau qui a pour mesure le double de Tangle dièdre a des deux plans OP, PP'.
On a donc
le signe de 2a étant positif ou négatif suivant que le courant circule de bas en haut ou de haut en bas.
Le potentiel a, par suite, une valeur constante dans le plan OP, qui est équipotentiel.
L'intensité du champ magnétique produit par le courant est
Jv — i — •
as
En un point quelconque du plan OP, les forces du champ sont
dirigées normalement à ce plan; cherchons la valeur de l'intensité
dans cette direction.
Soit
OP = r;
on a
ds = r d{r, — a\-=z — r (fa ,
d'où
Jt = rp — j — = rp •
r dcL r
Cette expression est conforme à la loi de Biot et Savart. Si le courant O circule de bas en haut, P tend à se rapprocher du feuillet, et le signe de la force est négatif; le signe est positif dans le cas contraire.
Les circonférences pointillées autour du point O figurent des lignes de force qui correspondent à des intensités de champ
décroissant çn progression géométrique. Les plans passant par Taxe du conducteur sont normaux aux lignes de force et , par suite , équipoteniiels.
136. — Cas d'un courant circulaire. Galvanomètre des tan* gentes. — Un courant circulaire de rayon R se voit, d'un point P situé sur Taxe OP, sous un angle solide <o, mesuré par la calotte sphérique
+ 2« (i — cosa).
Si , pour l'observateur placé en P , le mouvement du courant est de même sens que celui des aiguilles d'une montre, le potentiel au point P est
'Ç =z — I (tù zt ^Tzn) = — 2ni (i — cosa ±: 2«).
fA::.X.
Fig. 56.
L'intensité du champ dû au courant doit être dirigée suivant Taxe OP, par raison de symétrie ; elle a donc pour expression
dr ^dr \ ^r-i + R» / (r» + R*) |
En effet, dans l'hypothèse mentionnée, il se produit une attraction de P vers O.
Si le point P était au centre du cercle, l'intensité deviendrait
/ désignant la longueur du courant.
S'il y avait n courants circulaires assez rapprochés pour que leurs distances mutuelles fussent négligeables devant le rayon R, riniensiié serait au centre
éLECTROMAGNÉTISME.
La tîg. 57 montre la distribution des lignes équipotentîelles et des lignes de force (marquées par des flèches) dans un champ dû à un courant circulaire. LMntensité varie en raison inverse de Técart des lignes équipotentielles et en proportion de la densité des lignes de force. ■ .
Supposons qu'une aiguille aimantée de très petites dimensions soit suspendue par un fil de cocon de torsion négligeable au centre d'un cadre circulaire vertical , sur lequel on a enroulé n spires très .rapprochées de fil métallique.
j ' Admettons , en outre , que le cadre soit orienté dans le plan du méridien magnétique.
Fig. 57.
Fig. 58.
Lorsqu'on envoie dans le fil un courant d'intensité f, l'aiguille est sollicitée d'une part par la force électromagnétique, qui tend à la mettre en croix avec le courant; de l'autre, par le magnétisme terrestre , dont l'action s'oppose au mouvement.
Sous rinfluence de ces actions contraires, Taiguille prend une position dYquilibre correspondant à un angle a avec le méridien.
En appelant «.l, le moment magnétique de Taiguille, 3C la composante horizontale du magnétisme terrestre, le couple terrestre est
eH» Oe sin a, § 37
Le couple dû au courant est
6^1: jC cosa =: A> —5- cosa.
Comme il y a équilibre entre ces deux couples
R d'où
cosa = 5C sin a,
R5e I = tang a.
Connaissant 5C, R et n et mesurant a par une des méthodes étudiées au paragraphe 5o, on déduira de la relation précédente l'expression de l'intensité du courant traversante cadre. L'appareil porte le nom de galvanomètre des tangentes. La bobine de fil s'appelle cadre galvanométrique ou multiplicateur. La quantité
est le /acteur de réduction du galvanomètre.
137. — Galvanomètres Kelvin. — L'application de la formule simple trouvée plus haut nécessite un écart tel, entre le cadre et les pôles de l'aiguille , que le galvanomètre des tangentes présente peu de sensibilité.
Pour mesurer des courants faibles, on est obligé d'enrouler le multiplicateur très près de l'aiguille. Afin de déterminer la meilleure forme à lui donner en vue d'économiser le fil et de diminuer la résistance de ce dernier, reprenons l'expression de l'action d'un courant circulaire sur l'unité de pôle située en o, fig. Sg,
Si l'on pose 3C = C*°, et si l'on considère r et R comme variables, on obtient l'équation d'une courbe présentant deux parues symétriques par rapport à o, fig. 59.
148 ÉLECTROHAGNÉTISHE.
L'aire limitée par cette courbe est la section méridienne d'un volume de révolution suivant lequel on peut enrouler le fil. Toutes les spires composant un tel volume auront, sur l'unité de pôle, une action au moins égale à K. Toutes les spires extérieures à ce volume
auront une action moindre. La section hachurée, qui ménage une cavité cylindrique pour loger l'aiguille, représente donc la forme rationnelle de la bobine d'un galvanomètre de grande sensibilité. Lord Kelvin s'est rapproché le plus possible de cette forme dans la construction de ses galvanomètres.
Fig. 60.
Pour accroître la sensibilité, on peut, en outre, diminuer l'action de la terre sur raiguille. Deux moyens sont employés à cette fin. La lige qui supporte l'aiguiilc et qui traverse le multiplicateur sou-
tient une seconde aiguille n' s' orientée en sens inverse de la première, fig. 60. En choisissant des aiguilles de moments magnétiques peu différents^ on diminue autant qu'on le veut le couple directeur dû à la terre. Un tel système d'aiguilles est dit asiatique. L'action terrestre peut également être modifiée par un aimant directeur N S, fixé au-dessus de l'aiguille. En changeant la position et l'orientation de cet aimant, il est possible de diminuer ou d'augmenter à volonté l'effort directeur.
Ces divers moyens sont souvent associés dans les galvanomètres de Lord Kelvin.
Par suite de la forme complexe du multiplicateur et du rapprochement du courant et des pôles de l'aiguille, l'intensité / n'est pas liée à la déviation a par une formule simple, comme dans le cas du galvanomètre des tangentes.
La fonction / de a étant développée suivant la série de Maclaurin prendra la forme
La fonction doit s'annuler avec a, d'où il résulte que
De plus, si la déviation est très faible , on est autorisé à négliger le troisième terme et les suivants et à admettre que l'intensité est proportionnelle à la déviation
Le coefficient Ar, qui constitue le facteur de réduction , se détermine en envoyant dans le galvanomètre un courant d'intensité connue.
La dernière formule est admissible pour des déviations inférieures à 3<*. Les lectures se font nécessairement par la méthode de réflexion, § 5o.
138. — Shunt. — Lorsque la déviation dépasse cette limite , on la réduit en dérivant, par rapport au galvanomètre, une résistance artificielle appelée shunt.
l5o ÉLECTROMAGNÉTISME.
Le courant dérivé dans le galvanomètre est alors , en désignant par g la résistance de cet appareil et par s celle du shunt , § 1 1 5 ,
d^où
I = V —j^ = rn i^.
Le facteur m s'appelle pouvoir multiplicateur du shunt. C'est le rapport par lequel il faut multiplier la valeur de Tintensité mesurée au galvanomètre pour obtenir le courant total.
139. — Mesure d'une décharge instantanée. — Supposons qu'une quantité d'électricité q traverse le multiplicateur d'un galvanomètre des tangentes avec une rapidité telle que l'aiguille ne se déplace pas d'une quantité appréciable pendant la décharge. Admettons, en outre, que le mouvement de l'aiguille ne soit pas amorti , de manière à obtenir une durée d'une oscillation double
3v Jlfl
Exprimons que la force vive de l'aiguille est égale au travail du couple terrestre et que sa quantité de mouvement représente l'impulsion qui lui a été communiquée.
Dans l'expression de ces faits, on se souviendra que les équations relatives aux mouvements de translation sont applicables aux mouvements de rotation, si l'on a soin de remplacer les masses par les moments d'inertie, les forces par les couples et les vitesses linéaires par les vitesses angulaires.
Soient o> la vitesse angulaire initiale et a, l'élongation maxima de l'aiguille. Le couple terrestre est , pour un angle a,
cl) JC sin a.
L'équation des forces vives donne
to2
, (S m r») — == / cl, Je sin a ia = -Ao aC (i — cosa^) = 2 Jl JC sin» J (2).
Soit t rintensiié du courant de décharge ; son action sur raiguille produit un couple
L'impulsion communiquée à Taiguille est
fi^=i(Smr2)w (3),
T représentant la durée de la décharge. Or,
idt,
est la quantité d'électricité q de la décharge.
En éliminant SmH et w entre les équations (i), (2) et (3), on obtient
T R ae . a,
q =: sin — •
iz 21Z n 2
Dans le cas d'une déviation très faible, on a simplement
T RX a, ,
La quantité d'électricité est alors proportionnelle à Tare d'élongation de Taiguille. Sous la réserve que les déviations soient faibles, cette formule peut être étendue à un galvanomètre à réflexion de forme quelconque.
Afin de satisfaire à la condition posée au début de ce paragraphe, on choisit , pour mesurer les décharges , des galvanomètres à aiguille lourde et à moment d'inertie considérable. Ces aiguilles se déplacent lentement et permettent de lire exactement la déviation limite.
140. — Solénoïde. Bobine cylindrique. — Ampère a défini sous le nom de solénoïde une série de courants circulaires égaux, très rapprochés et normaux à un axe rectiligne ou curviligne passant par les centres de gravité des surfaces limitées à leurs contours,
l52 ÉLECTROMAGNÉTISME.
Appelons s la surface des circuits, e leur distance et i leur intentensité. Chacun d'eux peut être remplacé par un feuillet de même contour et de puissance z. On peut choisir arbitrairement l'épaisseur des feuillets ; on la prendra égale à e. En désignant par a la densité magnétique des faces des feuillets, et en remarquant que
on a
sa = t,
n^ représentant le nombre de courants par unité de longueur.
Les faces en regard des feuillets voisins s'équilibrent, et il reste, aux extrémités de la série, des pôles dont la masse est
m = irits.
Une bobine formée d'une couche de fil métallique isolé et enroulé sur un noyau cylindrique peut être considérée comme un solénoîde, lorsqu'un courant traverse le fil. Il résulte toutefois de l'obliquité
Fig. 6i.
des spires de la bobine une action extérieure qui peut être annulée en ramenant les extrémités du fil dans l'axe de la bobine, fig. 6i.
S'il y a sur le noyau un nombre pair de couches dont les spires sont inclinées en sens inverses , les effets dus à l'obliquité sont également compensés.
En supposant l'épaisseur des couches négligeable devant leur diamètre, les pôles résultants de cette bobine sont donnés par
n^ étant le nombre de spires par unité de longueur et s la surface moyenne de celles-ci. Le moment magnétique du solénoîde est
m/ = r n 5 f n représentant le nombre total des spires.
APPLICATIONS RELATIVES AU POTENTIEL MAGNÉTIQUE DU COURANT. l53
Une telle bobine jouît de toutes les propriétés magnétiques d^un aimant cylindrique uniforme, § 42.
On met en évidence Taciion terrestre sur la bobine en suspendant celle-ci par les extrémités du fil, plongées dans des godets .de mercure, servant de pivots, en môme temps qu'ils donnent accès au courant d'une pile, fig. 61. On constate de cette manière que la face positive de la bobine se tourne vers le nord.
Pour déterminer l'intensité du champ dû à la bobine, il suffit de se rappeler que celle-ci peut être remplacée par un aimant cylindrique uniforme.
L'action sur l'unité ds pôle située sur l'axe , en un point extérieur, a pour expression
u) et w' étant les angles solides sous lesquels on voit du point considéré les bases du cylindre.
Si l'unité de pôle se trouve dans le plan de Tune des bases , l'équation ci-dessus devient
3C = a ( 2 :r — co' ).
Enfin, pour obtenir l'expression du champ en un point intérieur du solénoîde, on admettra que ce dernier est scindé en deux tronçons par une section plane contenant le point considéré. L'action totale est la somme des actions dues aux deux tronçons. Or, l'effet du premier est
celui du second
a {2 iz — to').
Comme ces effets s'ajoutent, l'action résultante est
Dans le cas particulier où le cylindre s'étend considérablement des deux côtés du point, les angles w et w' deviennent négligeables devant 2 tt et l'action est exprimée par
Cette expression représente le flux par unité de section normale au cylindre. Le flux total est
4 7c fif 1 5.
I 54 ÉLECTROMAGNÉTISME.
Ce flux reste constant dans le cylindre jusqu'à une certaine distance des extrémités. Lorsqu'on s'approche de celles-ci, l'intensité du champ diminue, puisque l'un des angles solides (o ou w' prend une valeur croissante. Le flux intérieur décroît en conséquence et, comme dans le cas d'un aimant, des lignes de force sortent par la paroi latérale du cylindre. Le flux total 4 ^ n^ z ^ se divise par suite en deux parties, l'une émergeant du cylindre par la face positive, l'autre sortant par le côté. Ces deux faisceaux de lignes de force se répandent dans l'espace et rentrent de la même manière par la face négative du cylindre et la paroi latérale voisine. . On conclut de ce qui précède qu'à l'intérieur d'une bobine cylindrique de grande longueur, il se produit un champ magnétique uniforme dirigé parallèlement à l'axe du cylindre de la face S à la face N ; l'intensité du champ est mesurée par 4 tz multiplié par le produit de l'intensité du courant par le nombre de spires comprises dans l'unité de longueur.
Une bobine semblable fournit, par conséquent, le moyen pratique d'obtenir un champ uniforme dont l'intensité n'est limitée que par réchauffement du fil par le courant.
L'identité des effets extérieurs des solénoïdes et des aimants a fait conclure à l'analogie des effets intérieurs, lesquels ne peuvent être déterminés par voie directe dans le cas des aimants. On sait en effet que, si l'on creuse un aimant , les parois de la cavité forment des pôles dont l'effet s'ajoute à celui des pôles extrêmes. Il faut, du reste, se garder de confondre l'action intérieure d'une bobine avec celle d'un aimant tubulaire, car, dans un tel aimant, les lignes de force ont le même sens à l'extérieur et à l'intérieur, le retour des lignes de force se faisant dans l'épaisseur du tube.
En résumé, on admet que les aimants, comme les solénoïdes, donnent un flux total constant et continu qui sort par l'extrémité N et revient au point de départ en rentrant par l'extrémité S. Nous verrons que cette considération a conduit à comparer les flux magnétiques aux flux électriques, et à les traiter par des relations analogues.
141. — Électrodynamomètre. — Les propriétés magnétiques des solénoïdes ont été vérifiées soigneusement par Weber, qui a répété, au moyen de ces appareils, les expériences de Gaqss reU-
APPLICATIONS RELATIVES AU POTENTIELMAGNÉTIQUE DU COURANT. l55
tives au magnétisme, § 48. Pour donner la mobilité voulue ù l'une des bobines, celle-ci est suspendue par deux (ils minces qui servent en même temps à l'enirée et à la sortie du courant.
La bobine peut être supportée par les deux tils placés coie à côte ; dans ce cas, le couple de torsion, qui fait équilibre à l'action mutuelle des deux bobines , est proportionnel au sinus de l'angle de torsion. Si les fils de suspension sont l'un au-dessus, l'autre en dessous de ta bobine, dans le prolongement l'un de l'autre, le moment de torsion est simplement proporiionnel à l'angle de torsion et l'un des tils supporte seul le poids de la bobine mobile.
L'action mutuelle des deux bobines est proporiionncile au produit de leurs moments magnétiques et, par suite, au produit des cou-
Fig. 62.
rants qui les traversent. Si le même courant passe dans les deux
bobines, le couple déviant est proportionnel au carré de l'intensité.
Weber a mis ces propriétés à prolit dans la construction de
V électrodynamomètre. Dans cet appareil , qui sert à mesurer l'in-
1 56 ÉLECTROMAGNÉTISME.
tensité des courants, la bobine mobile est suspendue au centre de la bobine fixe et à angle droit avec cette dernière.
Le courant dont on cherche Pintensité passe successivement dans les deux bobines dont les axes sont alors sollicités à se placer parallèlement. Le couple déviant, équilibré par la torsion des fils de suspension, est proportionnel au carré de l'intensité du courant. Cette propriété permet d'appliquer l'appareil à la mesure des courants dont le flux varie périodiquement de sens, puisque l'action mutuelle des bobines conserve le même signe, quel que soit le signe du courant.
Il faut tenir compte de l'action du magnétisme de la terre sur la bobine mobile. Toutefois, celle-ci peut être réduite à un très petit nombre de spires de manière à rendre cet effet peu sensible.
Un moyen plus exact consiste à orienter au préalable la bobine mobile de manière que son axe soit dans le méridien magnétique , l'extrémité positive tournée vers le nord. Lorsque la bobine est déviée sous l'influence du courant fixe, on la ramène à sa position initiale par une torsion donnée à la partie supérieure du fil de suspension. L'angle de torsion permet de mesurer le couple déviant, le couple terrestre étant nul.
Siemens a donné à l'électrodynamomètre une forme industrielle, fig. 62. La bobine mobile, placée à l'extérieur de la bobine fixe, est réduite à une spire suspendue par un ressort à boudin en maillechort ou en bronze et par un fil de cocon axial. Le courant pénètre dans la spire par des godets à mercure superposés dans l'axe de rotation.
Un micromètre de torsion et une graduation permettent de lire la torsion donnée au boudin pour ramener un index, porté par la bobine, devant un point de repère.
L'angle de torsion ô est proportionnel au carré de l'intensité du courant qui traverse les deux bobines
142. — Cas d'une bobine annulaire. — Considérons une couche de fil enroulée de manière à former un anneau de révolution de section rectangulaire, fig. 63, chaque spire étant située dans une section méridienne. L'effet magnétique d'une telle bobine parcourue par un courant est nul en tous les points extérieurs. Le
flux de force intérieur créé par le système se compose de lignes de force concentriques à l'anneau. Ce système est équivalent à un aimant formé de filets magnétiques fermés sur eux-mêmes.
Fig. 63.
Le champ est variable dans une section méridienne de Panneau. Il est facile de voir, en effet, que le nombre de spires par unité de longueur périphérique est plus petit vers le bord extérieur que vers le bord intérieur. Il en résulte que le champ à Tintérieur de l'anneau est plus intense à la périphérie intérieure qu'à la périphérie extérieure.
Afin de déterminer l'intensité du champ intérieur , appelons n' le nombre de spires comprises entre deux plans méridiens dont l'ouverture angulaire est égale à un radiant. A une distance r de
l'axe, l'écartement de deux spires successives est e = — . L'intensité
d'aimantation du solénoïde magnétique équivalent est
à cette intensité correspondant par unité de surface un flux égal à
A travers Tclément de section ds^ situé à la distance r de l'axe, le flux est
dJb = A.Tzn i — •
l58 ELECTROMAGNÉTISME.
Le flux total à travers la section de Tanncau de hauteur a^ d'épaisseur b et de rayon intérieur R, est
^- , . i ds . . § a dr , . , R -f ^ DXs := 4 Tz n i I — zz= ^n n t | — ^ = 4 j; m ta loge — ~
, . I ds . . t a d
ni I — zzz 4 n n 1 | —
En appelant n le nombre total de spires et n^ le nombre par unité de longueur comptée sur le bord intérieur de Tanneau, on a
n = — = Wi R, 27:
d'où
^ ., R4-^ -Di R+^
0b = 2 W f a loge p =: 4 7C «4 I R a logo — p — •
L'intensité du champ moyenne à Tintérieyr de Tanneau est
Il est facile de vérifier que cette expression devient 41: n^ i pour un anneau de très grand diamètre intérieur. En effet, en développant le logarithme en série, on a
Si b est négligeable devant R, on a simplement
Dans le cas d'un anneau en forme de tore dont le rayon de l'axe circulaire est R et celui de la section méridiennes, on obtient
/^R + a Sf(.=:4r.n^iR / y = 8 k» n^i R (R -y^RJ - ja).
D'où une intensité intérieure moyenne égale à
ROTATIONS ET DÉPLACEMENTS ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 1 Sg
En développani ie radical en série et en négligeant le rapport
, dans le cas d'un lore de grand diamètre, on aurait simplement
