LOIS DE L INDUCTION. I
représentant la somme des forces éleciromotrices des divers éléments. Ce cas montre qu'une force électromotrice peut exister sans différence de potentiel.
L'hydrodynamique offre des exemples analogues : un canal circulaire rempli d'eau, dans lequel tournerait un anneau solide, présenterait un courant dû au frottement du liquide contre l'anneau ; la force motrice, étant uniformément distribuée, n'engendrerait aucune différence de niveau entre les divers points du canal.
170. — Flux de force produisant rinduction. — 11 importe de préciser l'expression du flux qui traverse un circuit induit.
D'une manière générale , le flux peut être décomposé en deux parties, la première due au courant même qui traverse le circuit, la seconde , au champ extérieur produit par des courants ou des aimants.
On a défini, § i52, sous le nom de coefficient de self-induction d'un circuit, le rapport du flux qui traverse celui-ci à l'intensité du courant. Ce coefficient dépend de la forme du circuit et du milieu dans lequel il est plongé. En effet, le flux de force magnétique créé est proportionnel à la perméabilité du milieu ambiant. Si le circuit est entouré complètement de fer , ou s'il contient simplement un noyau de ce métal, le flux de force a une valeur considérablement plus élevée que si le circuit est simplement plongé dans l'air; la perméabilité du fer pour les inductions moyennes étant beaucoup plus grande que celle de l'air.
Si donc on désigne par £ / le flux de force produit par le courant à travers son propre circuit, le coeflScient de self-induction £ n'a une valeur constante qu'à la condition que le circuit soit invariable de forme et plongé dans un milieu peu magnétique. Dans le cas où le circuit est voisin de corps très magnétiques , son coefficient £ devient variable avec l'intensité du courant.
On ne peut donc préciser le coefficient de self-induction d'un électro-aimant sans spécifier l'intensité du courant qui traverse la bobine, ainsi que l'état magnétique antérieur du noyau.
Comme application de ce qui précède, considérons une bobine annulaire dont Tépaisseur de la section est négligeable devant le diamètre, § 142.
En appelant n^ le nombre Je spires par centimètre suivant l'axe
circulaire de la bobine et s la section de celle-ci, le flux magnétique intérieur est exprimé, pour un courant z, par
Ce flux traverse successivement les n spires de la bobine ; par suite, le flux total à travers la bobine est DL := nx^ts et le coefficient de self-induction a la valeur
Une telle bobine ayant 20 spires par unité de longueur et une section de 100 cm^ aurait un coefficient de self-induction par centimètre égal à 160 000 7c unités C. G. S. ou o,5o3 X io~^ henrys.
S'il y a dans la bobine un noyau annulaire en fer de perméabilité actuelle {x , le coefficient devient
Le coefficient de perméabilité dépasse parfois 3 000 , ce qui explique pourquoi un électro-aimant produit des extra-courants très supérieurs à ceux d'une bobine sans noyau.
L'expression précédente représente aussi le coefficient de selfinduction d'un électroaimant droit de grande longueur, si Ton néglige l'influence des extrémités.
Lorsqu'on enroule une bobine au moyen d'un fil plié en double, un générateur d'énergie électrique y détermine des courants hélicoïdaux de sens contraires dont l'effet magnétique résultant est nul sur un noyau intérieur , de même que sur le milieu ambiant. Il en résulte qu'une bobine semblable présente un coefficient de selfinduction négligeable. On arrive au même résultat à l'aide d'un fil simple, en ayant soin d'enrouler en sens inverses les couches successives , supposées en nombre pair et pourvues de nombres de spires égaux.
De même, deux conducteurs droits rapprochés ou deux fils cordés ensemble ne donnent pas lieu à des effets d'induction latérale quand ils sont traversés par des courants égaux de sens opposés.
Lorsque l'intensité du courant qui passe dans un électro-aimant n'excède pas la valeur correspondant au coude de la courbe du magnétisme du noyau, § 5 7, on est autorisé, dans les calculs approxi-
LOIS DE l'induction. I 99
matifs, à admettre que la perméabilité est constante, ainsi que le coefficient de self-induction.
D'après Lord Rayleigh, cette hypothèse est toujours fondée, quelle que soit Taimantation du noyau, lorsqu'on considère des écarts faibles 'de la force magnétisante, c'est à dire de Timensité du courant.
En résumé, à travers un circuit isolé parcouru par un courant i, le flux total est donc
Si le courant varie, il naît une force électromotrice de selfinduction égale à
ou simplement
d3L dt
di -^dt'
si £ est constant.
Lorsque le courant croît, di est positif et la force électromotrice est négative; d'où un extra-courant inverse. Quand le courant décroît, la force électromotrice est positive et elle donne lieu à un extra-courant direct.
Si le circuit, au lieu d'être isolé, est voisin d'aimants ou de courants, au flux dû au courant lui-même s'adjoint un flux supplémentaire, comprenant des lignes de force du champ magnétique produit par ces causes extérieures.
Dans le cas de courants, on a défini, § i32, sous le nom de coefficient d'induction mutuelle de deux circuits, le rapport du flux qui traverse l'un des circuits à l'intensité du courant dans le circuit voisin. Il conviendra d'introduire ici la même réserve que dans le cas de la self-induction ; quand la perméabilité du milieu est variable, DXL varie avec l'intensité des courants considérés.
Soit un circuit, dont le flux propre est Zi et qui est voisin d'un autre circuit dont le coefficient d'induction mutuelle et le courant sont respectivement OÏL et i\ Le flux total aura pour valeur
% = £ I + DJLi.
200 INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE.
La force électromoirice d'induction sera exprimée, dans ce cas, par
Si les deux circuits sont de forme invariable , et si Ton suppose que la perméabilité du milieu qui les entoure est constante, £ et OR/ sont des facteurs constants, et Ton a
Le circuit induit peut, en outre, être situé dans un champ produit par la terre et par des aimants. Si Ton désigne par 3Z s -\-^{f^ ^)^^ flux total provoqué par ces causes à travers le circuit, on a l'expression générale
X = £ I + Dit r + :ïe 5 + S (mw),
d'où
e = — ^^ [jEi + oïL r + je5 + S (mw) ].
Remarque. — Reprenons pour un instant le cas d'une bobine annulaire, pourvue d'un noyau en fer fermé sur lui-mcme et parcourue par des courants dont le sens varie périodiquement, Tintensité passant de + f à — / et inversement. A chaque changement de sens, l'aimantation du noyau est renversée et le coefficient d'induction de la bobine prend la valeur
Mais si les courants qui traversent la bobine varient de o à une valeur z, sans prendre des valeurs négatives, c'est à dire s'il y a simplement intermittence dans le courant, les filets magnétiques formés dans le noyau restent orientés en vertu de la force coercîtive, et le coefficient de self-induction de la bobine a, pour les courants qui suivent le premier, sensiblement la môme valeur que si le noyau n'existait pas. Les choses se passent comme si le noyau était un aimant permanent et le coefficient de self-induction simplement égala
Lorsque le noyau présente une solution de continuité, il ne se forme pas de filets fermés, en sorte que l'effet de la force coercitive est considérablement atténué.
APPLICATIONS DES LOIS DE l'INDUCTION. 201
171. — Quantité d'électricité induite. — Supposons que le flux qui traverse un circuit varie de o à une quantité ^, L'intensité du courant induit est. à un instant quelconque,
dot, ■" dt
et la quantité totale d'électricité induite
Si le flux revient ensuite à o, la quantité d'électricité est
elle est égale à la précédente et se déplace en sens inverse.
APPLICATIONS DES LOIS DE L'INDUCTION
172. — Conducteur mobile dans un champ uniforme. — Supposons qu'un conducteur de longueur /, tel que l'essieu d'une voiture de chemin de fer , se déplace horizontalement avec une vitesse v. 11 coupe les lignes de force terrestres et la force éleciromoirice d'induction est, en appelant JC la composante verticale du champ magnétique,
ai
Le sens de la force électromotrice est donné par la règle de Faraday, § i68.
Soient / =: i5o cm,
V = 1666 cm par seconde, 3t = 0,44.
On a e = i5o X 1666 X 0,44 unités C. G. S. ou 0,001 1 volt.
202 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
173. — Disque de Faraday. — Si l'on fait tourner la roue de Barlow, § 146, il naît une force électromotrice dirigée de la périphérie au centre ou inversement, suivant le sens de la rotation.
En conservant les notations du susdit paragraphe et en désignant par n le nombre de tours de la roue par seconde et par od la vitesse angulaire
la force électromotrice d'induction est
Faraday, auquel on doit cette expérience, a réalisé de la sorte la machine d'induction la plus simple connue. C'est à lui qu'on doit également la disposition suivante, qui constitue le principe des machines dites unipolaires.
Considérons l'appareil représenté dans la fig. 64 et supposons qu'on supprime la pile en reliant directement le godet circulaire au milieu de l'aimant. Si alors on fait tourner le conducteur, il est le siège d'une force électromotrice d'induction dont la valeur est, en appelant (o la vitesse angulaire du conducteur, n le nombre de tours par seconde et m la masse magnétique du pôle servant de pivot,
Edlungafait remarquer qu'en laissant le conducteur immobile et en faisant tourner l'aimant, on observe également un courant induit. Celui-ci ne peut être attribué qu'au développement d'une force électromotrice d'induction dans l'aimant même par suite de la rotation de celui-ci dans son propre champ , car le courant cesse si l'on fait tourner le conducteur avec l'aimant.
174. — Mesure de Tintensité d'un champ magnétique par la quantité d'électricité induite. — Soit un champ uniforme assez étendu pour qu'une bobine plate puisse y tourner sur elle-même, l'axe de rotation étant dirigé suivant un diamètre normal à la direction du champ. Les extrémités du fil de la bobine communiquent, grâce à des contacts glissants, avec un galvanomètre balistique, § iSg.
Soient R la résistance totale du circuit, JC l'intensité du champ. Si
APPLICATIONS DKS LOIS DE l'iNDUCTION. 203
Ton fait effectuer à la bobine, contenant n spires de surface a, une demi-révolution , à partir d'une position de son plan, normale à la direction du champ , le flux qui la traverse passe de CfC a n à o, puis de o à — CfC an, La variation totale est a^Caw, et la quantité d'électricité induite, § 171,
D'autre part, en appelant x Télongation du galvanomètre, K une constante,
d'où
KaR
:it-
2 an
Vinclinomètre de Weber^ qui sert à déterminer l'intensité du champ magnétique terrestre, est basé sur cette méthode.
Si l'on fait glisser, par petites impulsions égales, une bobine d'essai enserrant exactement un aimant, on obtiendra, dans un galvanomètre balistique relié à la bobine, des élongations proportionnelles à l'intensité du champ , suivant les diverses régions de l'aimant. C'est là un moyen commode pour dresser la courbe de répartition du magnétisme dans un ainant, § 47.
X75. — Expression du travail absorbé par Taimantation. Perte duc à l'hystérésis. — Considérons un électro-aimant annulaire, § 142, de diamètre suffisant pour qu'on puisse admettre que le champ intérieur est uniforme et exprimé par
Hi étant le nombre de spires par unité de longueur.
Le travail dépensé pour aimanter l'électro-aimant est nécessairement équivalent à l'énergie restituée par ce dernier sous forme d'extra-courant. Or, le travail de ce dernier est donné par
-^ I dt = dt
204 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
Mais , en appelant s la section de réiectro-aimant , / sa longueur moyenne et 56 l'induction qui le traverse, on a
X = n^ Is ^.
En remplaçant 51!) par cette valeur et i par , on a
4 7rH^
L'énergie dépensée par unité de volume sera
Or, 35 = Je + 47c5, d'où
L'intégrale
représente l'énergie restituée par le solénoïde, c'est à dire l'énergie intrinsèque de ce dernier.
L'intégrale
— 1 3ei<5
est donc l'énergie restituée par la désaimantation du noyau.
Si la force magnétisante variait entre des valeurs JC^ et JCg, cette dernière énergie serait
Elle serait représentée par l'aire comprise entre la courbe 5 r=y (3e),
APPLICATIONS DES LOIS DE L INDUCTION
Taxe des d et deux parallèles à l'axe des abscisses menées par les points de la courbe correspondant à 3C^ et ^it^.
Dans le cas où le courant prend successivement des valeurs + ', — if Ténergie restituée par le solénolde est équivalente à Ténergie absorbée, car on a
Mais l'intégrale
est différente de zéro, puisqu'elle représente l'aire comprise entre les courbes ACA' et A'C'A de la fig. 84.
Fig. 84.
Cette intégrale exprime la perte par cycle et par cm^ du noyau.
206 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQIE.
Le travail dépensé, égal et de signe contraire au travail restitué par le noyau, est représenté par
176. — Self-induction dans un circuit de conducteurs linéaires. Cas d'une force électromotrice constante. Constante de temps. —
Lorsqu'on ferme un circuit comprenant une pile de force électromotrice constante, Tintensité n'atteint pas instantanément sa valeur normale, surtout si le circuit contient un électro-aimant.
De même, lorsqu'on rompt le circuit, le courant ne cesse pas brusquement, mais il se prolonge par l'extra-courant qui apparaît dans l'étincelle produite au point d'interruption. Faraday avait déjà fait ressortir l'analogie existant entre ces phénomènes et ceux causés par l'inertie des fluides. Un courant liquide ne peut ni s'établir ni cesser brusquement dans une conduite, et, lors de l'arrêt, on observe un coup de bélier dû à la force vive du fluide en mouvement. Mais il y a, entre les deux cas, des divergences profondes.
Alors que le coup de bélier est diminué par les coudes d'une conduite, l'extra-courant est beaucoup plus accentué dans une bobine que dans un fil droit d'égale longueur. On verra qu'on explique cette différence en plaçant le siège de l'énergie du courant dans le milieu qui environne les conducteurs.
Il existe toutefois, dans l'expression même des phénomènes, des analogies qu'il n'est pas inutile de faire ressortir.
Ainsi, lorsqu'on sollicite un fluide à se mouvoir dans une conduite, la force dépensée est utilisée, d'une part, à vaincre les frottements contre les parois, de l'autre, à accroître la quantité de mouvement de la masse mobile. Si la vitesse v est faible , les frottements peuvent s'exprimer par Av, où A est une constante.
L'accroissement de la quantité de mouvement de la masse m
dv est en Tunité de temps m -r-, La force totale est donc
F = Av + m^. (I) Revenons au cas d'un circuit de résistance r, dont le coefficient
APPLICATIONS DES LOIS t)E L INDUCTION. 20/
de self-induction £ est constant , § 170, et qui comprend une pile de force électromotrice E.
Au moment de la fermeture du circuit, il naît une force électro-
motrice d'induction — ii - . en sorte que le courant est donné par
l'équation
E-£^* dt
On déduit de là
expression analogue à [i]\ ri représente aussi la fraction de force électromotrice utilisée pour vaincre les frottements du conducteur
et£-.- =: e, la fraction destinée à accroître Ténergie intrinsèque du
circuit, car on a, en multipliant e par /,
di . d /£.P
ç,di . d /X|-3\ dt dt\ 2 /
On admet implicitement dans la formule (2) que la répartition du courant est uniforme dans la section du conducteur et que la résistance opposée par celui-ci à un courant variable est la même que pour un courant permanent. On verra plus loin qu'il n'en est ainsi que pour les conducteurs linéaires, c'est à dire ceux dont la section est très petite.
Au bout d'un temps f , le courant atteindra une valeur / donnée par l'intégration de l'équation différentielle (2). On a
I E — ir'^l ii 1/ 0 tJ o
d'où
et enfin
équation dans laquelle e représente la base des logarithmes népériens.
208 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
Théoriquement, le courant n'atteint son intensité normale —
rt qu'après un temps infini, mais comme la valeur de e £ décroît rapidement, ce terme est négligeable devant Tuniié après un temps assez court.
Le rapport — , qui est homogène à un temps, s'appelle la constante
de temps du circuit ; nous le désignerons par t.
Soit , par exemple , une bobine annulaire de section égale à 100 cm^, présentant 20 spires par centimètre suivant l'axe et dont la longueur développée est 100 cm. La résistance de la bobine étant I ohm ou 10* unités C. G. S., le facteur exponentiel prend la valeur
10^/ io3/
g 4 7: X 20 X 2000 X loo ^~ g j 6 TU
On voit que, pour une valeur de t assez faible, ce terme peut être négligé.
La variation du courant en fonction du temps est représentée par une courbe qui s'élève rapidement à partir de l'origine, puis tend vers une asymptote parallèle à l'axe des temps. La première partie de la courbe, correspondant aux petites valeurs du temps , peut être remplacée par la droite
Et
Cette équation montre que, pendant les premiers instants, le courant est gouverné non par la résistance du circuit, mais par sa self-induction.
La quantité d'électricité qui passe dans le circuit pendant la période variable du courant est
APPLICATIONS DES LOIS DE L*1NDUCTI0N. iO^
A partir d'une certaine valeur de f, le second terme devient négligeable et Ton a simplement
— t est la quantité d'électricité qui aurait passé pendant le temps f, si le courant avait pris instantanément son régime permanent. Le terme — t représente la quantité d'électricité due à Textra-courant
inverse ou de fermeture.
Arrivons à Textra-courant d'ouverture et, pour simplifier le calcul, supposons que la résistance du circuit soit maintenue constante par la substitution à la pile d'un fil ayant la même résistance que celle-ci.
L'extra-courant d'ouverture est donné par l'équation
p ai dt
En intégrant entre — et /, on trouve
Il est facile de voir que ce courant décroît rapidement. La quantité d'électricité transportée par l'extra-courant est
q'=z I idt===r le ^ dt^^-ci i^e
pour une valeur de t suffisante
On voit que la quantité d'électricité due à l'extra-courant d'ouverture est la môme que celle transportée par l'extra-courant de fermeture.
210 , INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
La quantité totale d'électricité développée par la pile est, du reste, la même que s'il n'y avait pas eu d'effets d'induction, car
On trouverait directement l'expression de la quantité d'électricité induite en appliquant l'équation
et en remarquant que X est ici le produit de l'intensité du courant -permanent par le coefficient de self-induction.
On voit que les phénomènes d'induction qui s'accomplissent dans un circuit pendam la période variable du courant ont pour effet de provoquer un accroissement apparent de la résistance des conducteurs. La quantité totale d'électricité mise en mouvement est toutefois la môme, quel que soit le coefficient de self-induction, car Textra-courant direct restitue la quantité d'électricité fournie en moins lors de l'établissement du courant.
177. — Travail accompli pendant la période variable. Energie intrinsèque du courant. — En vertu de la loi de Joule, le travail accompli pendant la périodje variable de fermeture a pour expression
W^= I i^rdt=r %.' 0
Ea 3 E^ — t
Si t est assez grand, on a simplement
