ES
Or, la pile produit, pendant la période variable, une quantité .d'énergie totale
APPLICATIONS DES LOIS DE L^INDICTION. 211
Celle quantité surpasse Teffct Joule de
en désignant par I le courant de régime. Cette différence représente l'énergie intrinsèque du circuit parcouru par le flux électrique.
On voit donc que, lors de la naissance d'un courant dans un circuit, l'énergie fournie par la pile se compose de deux parties, Tune transformée immédiatement en chaleur par Teffet Joule, Tauire emmagasinée à Tétat potentiel.
Ceiifc énergie intrinsèque se transforme à son tour en chaleur pendant Textra-courant de rupture, car à cette période correspond un effet Joule représenté par
W2= I i-2ri/=— - f e ' dt = ^^^
%Jo %J o
L'énergie potentielle du courant réside suivant les idées actuelles dans un état spécial de tension ou de mouvement du champ magnétique.
Elle correspond, comme on Ta vu , à la force vive d'une masse en mouvement, § 176.
Autre démonstration. L'expression de l'énergie intrinsèque d'un circuit, mesurée par la différence entre l'énergie fournie par la pile et celle absorbée par l'effet Joule durant la période variable, peut se déduire directement de la loi générale de l'induction
car pn peut écrire cette équation sous la forme
c c r xp
I Eidt- I iirdt= j Zidir=±J^. J o J o J o
. 178. — Application au cas des courants dérivés. — Considérons deux conducteurs en dérivation, le coefficient de self-induction
212 INDUCTIO^f ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
du premier étant J£, celui du second ayant une valeur négligeable. Supposons de plus que les deux branches dérivées n'exercent aucune induction mutuelle Tune sur Tautre. Lorsqu'on envoie le courant d'une pile dans les deux conducteurs, dont les résistances sont r^ et r^, le partage de l'électricité est influencé par la réaction de selfinduction dans l'un d'eux. Soient £4 le courant dans celui-ci à un moment quelconque de la période variable, et fj l'intensité dans l'autre conducteur au môme instant.
Le premier est le siège d'une force électromotrice — ^ '77"* ^^
sorte qu'en appliquant la seconde loi de Kirchhofif au circuit fermé comprenant r^ et Tj, on obtient
'< n "~ '2 '"2 — — *" ~Jf > d'où
r^ I ii dt — r^ / 12 dt = — L I di^y
l'intégration étant comprise entre des limites de temps et de courant correspondantes.
Si l'on ferme le circuit de la pile en l'ouvrant ensuite, les intensités initiale et finale sont nulles dans la branche r^, par suite, le second membre
— Z j di^ = o,
et
q^ et q^ désignant les quantités d'électricité qui ont traversé les deux branches.
Ces quantités sont exactement les mêmes que s'il n'y avait eu aucun effet d'induction dans les branches dérivées.
Le môme effet se produirait si l'on déchargeait un condensateur à travers les branches. La répartition se ferait comme s'il n'y avait pas de courants de self-induction dans Tune d'elles.
Il est bien entendu que ces déductions supposent aux conducteurs une section assez faible pour que la répartition du courant
APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 21 3
soit uniforme dans toute Tétendue de la section pendant la période variable*
179. — Décharge d'un condensateur dans un galvanomètre pourvu d'un shunt. — On ne peut appliquer sans réserve le calcul précédent au cas d'une décharge de condensateur dans un galvanomètre pourvu d'un shunt. Si Taiguille du galvanomètre reste immobile pendant toute la durée de la décharge, le partage des quantités d'électricité se fait suivant la loi simple ci-dessus. Mais il arrive fréquemment que l'aiguille commence déjà à se déplacer avant la fin de la décharge. Alors elle détermine, dans le cadre du galvanomètre, un courant induit qui, en vertu de la loi de Lenz, est de sens contraire à celui du courant capable de déterminer le mouvement. Il en résulte que la quantité totale d'électricité qui traverse le cadre est diminuée.
Pour estimer cette diminution, on peut admettre, avec M. L. Clark, que le flux de force magnétique produit par l'aiguille à travers le multiplicateur du galvanomètre est proportionnel au sinus de l'angle décrit.
Appelons /«, 5"? «^^ l'intensité du courant dans le galvanomètre, la résistance et le coefficient de self-induction de celui-ci; /2i ^j l'intensité dans le shunt et la résistance de ce dernier que nous supposons formé d'un fil droit ou d'une bobine à double enroulement. La seconde loi de Kirchhoff montre que
o dit , -. d. sina
d'où
hàt — gj iidt^ZJ dii +K j d. O J O J O J 0
sma.
Le courant dans le galvanomètre est nul au commencement et à la fin de la décharge de durée t et la limite supérieure de a est Télongation 8 de Taiguilie.
Soit
Jù àt = q^ j h àt = ^2»
214 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
on aura
s q2 — ^ ^i ^= ^ sin 5.
Mais, d'après la ihcorie du galvanomètre balistique, § iSg, si Tare d'impulsion est assez petit
a étant une constante.
Par suite,
En appelant Q la décharge totale égale à q^ + ^2,
^(Q — îi) —gqi — aKqi = o, d'où
r. ^W^ + 5 4- g Ki
180. — Self-induction dans un circuit de conducteurs linéaires où agit une force électromotrice périodique ou ondulatoire. — Un
cas d'induction très important, au point de vue des applications, se manifeste lorsqu'on fait tourner une ou plusieurs spires de fil conducteur dans un champ magnétique.
Supposons, pour plus de simplicité , qu'une spire a b c d tourne autour de l'axe bd en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre, fig. 85, dans un champ uniforme dont la direction est normale au plan de la spire dans sa position actuelle. Pendant une demi-révolution, la partie b c d deldi spire coupera les lignes de force dans un sens, et la partie b a d en sens contraire. Les forces électromotrices produites s'ajouteront dans la spire pour y déterminer un courant d'induction. Pendant la demi-révolution suivante, le sens du déplacement des deux moitiés de la spire sera renversé, et par suite le courant induit changera de direction dans celle-ci.
En une révolution complète, le courant est donc renversé deux fois dans la spire. Il est facile de voir que la force électromotrice est maxima au moment où les lignes de force sont coupées nor malement, c'est à dire lorsque le plan de la spire est parallèle à la direction du champ.
i DES LOIS Dli: L INDUCTION.
Appliquons à ce cas la loi giinérale de l'induciion. Soient 3C rîmensiii; du champ, S la surface de la spii
e angulaire supposée constante. L'angle décrit en un temps
Lorsque le plan de la spire fait un angle a avec la directi normale au champ, le flux qui traverse la boucle est
S X cosi = X.
La force éleciromotrice due au champ a pour expression
E=:— ^^Saesina^^^ S .TC n sini — S X lï sïn Jl.
dl
dt '
Soient T la période, c'est à dire la durée d'une révolution complète de la spire correspondant à un angle 2 tc , et « \n fréquence ou le nombre de périodes par seconde. Le nombre d'alternances est double du nombre de périodes. On pourra écrire indifféremment
E ^ S 3C j sin Pour les valeurs
/ :-. S .TC a
2l6 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
on a
sin -?p- / z= -|- I, — I, + I.
La force électromotrice passe successivement par des maxima
et des minima
— E«o = — S jC o»
L'expression représentant la variation de la force électromotrice en fonction du temps peut donc se mettre sous la forme
E = Eq sin a/. (i)
Le courant dans la spire est dû à la combinaison de la force électromotrice due au champ et de la force électromotrice produite par la self-induction, £, de la spire dont la résistance est r ; on a, par suite, si £ est constant^
d^OÙ
di-h^- idt= ^ sin atdt. (3)
Si Ton pose i = wv, w et v étant des variables arbitraires, on obtient
u (dv + -g- V dt\ + V du =--^ sin at dt, (4)
Établissons Tcquation de condition
et posons pour simplifier -^ z=z b/\\ viendra
logo V = — / b dt -\^ logo K, loge K étant une constante d'intégration ; d'où
-Jbdt V = K e . (5)
APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 21 7
D'autre part , Téquation (4) , réduite à
donne
E V du := -^ sin at dt ,
I fbdtEQ. .
du = -^e*^ -^sinatdty
d'où
u = K' + ±Je
~ sin at dt
et en posant
KK'r=G,
— bt
î=zuv = e { le -^ sin atdt + C
i^ / e^^ smatdt
En intégrant par parties , on a
bt
e sina/^f= .. . .^(^sin<3/ — acosat)^
d'où
i = ^.^\^^.Abs\nat — acosat) -\-Ce
On peut remplacer la différence
sin at . ces at
yja^ + b^ V^2 + ^^
par sin [at — <p), la valeur de cp étant déterminée par la condition que l'égalité
sin at ==^ cosûf/ = sin (at — ç)
yjd^^-b^ yja^ + b'^
soit vérifiée pour toutes les valeurs de t. Or , pour
/ = o, on a sin ç =
sjà^ + b^
2l8 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
pour
/z=z , COS(p =
donc
a aZ ç = arc tang -j = arc tang
— bt Le terme Ce de Téquation (6) exprime Taccroissement du
courant pendant les premiers moments de l'action de la force électromotrice. Après quelques instants, ce terme devient négligeable et l'intensité est donnée par
En remplaçant a et ^ par leurs valeurs , on obtient définitivement
Eq , {27Zt \ j.
Ta
avec la condition
? = arc tang -pjT-. (9)
On peut encore donner à Téquation (8) la forme Ej) . / 2 r, t \ Eo cos 9
. / 2r, t \ Ea cos o . /2K t \ , ,
sin I -Tf: 9 I — -^ sm I -rt^ 9 ). (10)
ry/i +tang2? ^ T ^/ r Vf ^/
L'équation (10) montre que l'intensité maxima du courant est
Eq cos ? t r
On voit que la force électromotrice de self-induction réduit le
courant maximum , qui serait --" si £ était nul.
E(, cos cp représente la force électromotrice maxima effective, résultant de la combinaison de la force électromotrice E^, et de la réaction de self-induction. Le terme soustractif 9 qui n'existe pas dans Téquaiion de la force électromotrice ( i ) apprend qu'il existe un retard de phase entre les valeurs maxima du courant et de la
APPLICATIONS DES LOIS DE L INDUCTION. 219
force éleciromoirice due au champ. La durée du retard a pour
T expression — «p.
Remarques. — I. Ces divers résultats sont applicables à une bobine constituée par plusieurs spires et, pour les calculs approchés, à une bobine renfermant un noyau de fer doux, à la condition que Taimantation soit assez faible pour que la perméabilité puisse, sans grande erreur, être considérée comme constante.
