II. — Champ de force. — Supposons que des quantités d'agent
jr», m', m" soient concentrées en des points physiques, occupant
des positions définies dans l'espace. Si dans le voisinage on
amène une masse d'agent égale à l'unité , celle-ci est sollicitée par
des forces émanant de m, m\ m\ et se composant suivant une
résultante ayant une direction et une intensité déterminées. En
déplaçant le point chargé de l'unité de masse, on pourra évaluer
en chaque point de l'espace la force résultante en grandeur et
en signe.
Un espace dans lequel se manifestent des forces semblables s'appelle champ de force ^ et la force résultante, telle que nous venons de la définir, est V intensité du champ au point où se trouve l'unité de masse. La direction de la résultante se nomme direction du champ.
La valeur de Tintensîté d'un champ se déduit directement de l'application de la loi élémentaire , mais les calculs auxquels conduit ce procédé deviennent extrêmement compliqués dans le cts d'un certain nombre de masses agissantes, attendu que les éléments à combiner sont des vecteurs^ c'est à dire des quantités ayant des grandeurs et des directions déterminées et qui se composent suivant le parallélogramme des forces. Ce procédé est surtout très long lorsqu'on emploie la voie analytique.
On réduit la solution du problème à une simple addition algébrique suivie d'une dérivation, en considérant une fonction nouvelle, définie par Laplacc et étudiée par Green et Gauss sous le nom de potentiel.
12. PotentieL — Imaginons que l'unité de masse se déplace dans le champ d'une longueur infiniment faible, sous l'aciion des masses qui la sollicitent. ( Fig. i . j
Fîg. I.
km
n.YFà
Soit oo' = dl le déplacement, La force due à la masse m est -^ et le travail accompli sous Faction de cette force
km .. km .
—^dl cosa =z —^dr.
De môme le travail produit par m' est
km' . , — TT dr ;
par m'\
km' , r •*
Ces travaux élémentaires s'ajoutent puisqu'ils sont comptés dans une même direction ; le travail total est donc exprimé par
Celle somme est la diffcrentielle de la fonction
— /^ S ~ + Cie.
L'expression + A S — , dont la différentielle, prise en signe contraire, représente le travail élémentaire des forces du champ, a reçu de Gauss le nom de potentiel. Nous la désignerons par la lettre V
Pour un point de l'espace^ le potentiel est donc proportionnel à la somme des rapports des masses agissantes à leurs distances à ce point.
Le potentiel permet de définir aisément un travail fini des forces du champ.
Si, en effet, on intègre l'expression
entre deux positions 0|, Oj, occupées par Tunité de masse, on a
/•Oj /»02
kUm I ^ = 1 — iV = V4 - V^.
Oi J o<
Le travail accompli par les forces du champ^ entre les points Om et O2 » <^st égal à la différence des valeurs que prend la fonction V, dans laquelle on introduit successivement les coordonnées des points d'indices i et 2,
Le travail dépend uniquement de la position des points extrêmes , et non du chemin suivi par Tunité de masse entre ces deux points.
Si Tuniié de masse passait du point O^ à une distance infinie des masses agissantes, on aurait
A-S m / —=^l — dV = V^.
Comme on le voit, le potentiel en un point est mesure' par le travail effectue par les forces du champ pour déplacer l'unité de masse du point considéré à une distance infinie des masses agissantes ^ c*est à dire à la limite du champ.
La fonction potentielle fournit une expression simple de Tintensiié du champ.
Soit H la composante de Tintensité dans une direction /. Le travail élémentaire H dl a également pour expression la différentielle, prise en signe contraire, du potentiel dans cette direction
dV
Hdl=- -jy dl
al
d^où
^-^ df'
La composante de l'intensité du champ dans une direction déterminée est exprimée par la dérivée, prise en signe contraire, du potentiel dans cette direction.
•Pour déterminer le sens de la force, il suffit de remarquer que celle-ci est dirigée vers les points où le potentiel décroît.
