Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes

Louvrage dont je publie aujourd'hui la première partie forme une suite ualujelle dts Leçons sur rintét/raCior) des équalions aux dérivées /lartitllea du premier ordre, qui ont paru il y a quelques années. Ce premier volume coTitienl la Lhéori*^ des caracléristiques, l'exposition détaillée des Tnéthodes d'intégration de Kfonge et d'Ampère, et la recherche des intégrales intermédiaires, pour des équations de forme quelconque. La seconde partie, qui paraîtra bientôt, je l'espère, reolermera la transformation de Laplace, la méthode de M. Darljoux et Vinlégration par quadratures partielles.

La théorie des équalions aux dérivées partielles forme un sujet de recherches si étendu, que je crois devoir indiquer en quelques mots dans quel esprit cet ouvrage est conçu. A la recherche, le plus souvent impraticable, de l'intégrale géTiérale d'une équation aux dérivées parli^'lleSj s'est substituée peu à peu. principalemenl sous l'intluence des travaux de Fourier. de Ca uchy, de Himann et de leurs disciples, Tétude des propriétés des inté^ales particulières, satisfaisant à des condi tiens aux 11 mites données, et

VI rnÉFACF.

la recherche de ces inlégralcs. On pourniil évidé-mment varier k l'infini les conditions aux limites; mais la pl-uparl d*'S }ii<»blf»mes (lue I on a traités jusqu'ici se rameneiil à deux t\pes dislinc(i>. Vme intégrale est. en gémirai, déte^min^''e. comme l'a nionlré Cau chy, si on se donne une courbe située sur cette surface intégrale et le plan tauj^enl en clia«|uo point de cette courhe. pourvu qu'on suppose cette iutéjrrale représentée par un développement en .série culiève; c'est la reciierche de celle intégrale particulière qui constitue le Pmblt'me de Caucliff. On peut aussi, en se 1). .ruant aux variables réelles, définir une inirgralu par la suilc continue des valeurs qu'elle prend le long d'un contour fermé, celle intégrale devant, en oulie, rester coTilinue. ainsi que ses dénTées, à l'iatérieur du contour. Tel est le célèure Problème de iJirichlet pour 1 équation dei-apluce; on sait (pic de.s travaux récents, parmi lesquels je dois cjter ceux de Nf. Picard, ont permis de traiter le même problème pour des équations beauccmp plus générales. Je m'occupe exclusivement dans ce premier volume du problème de Cauchv et je ne coubidere. par- conséquent, que des soluli(ms analytiques.

L'étude de ce problème pour les équations linéaires en r, 4, L ri — s* conduit immédiatemcnl à une notion fondamentale, celle de.s multiplicités caractérisliquos, qî."i esl la Lase même des travaux de Plonge et d'Ampère. Lorsque les équations des curax:téristiqiie> de l'un des systèmes admettent deux combinaisons intégrabies. la méthode de Monge ramené lu solution du problème de Ouchy à linlégration d'un système d'équations ditl'éreulielles ordinaires. La méthode d'Ampère est plus élastique, (juûiqu elle conduise aux mêmes calculs que celle de Monge

lorsque C'^IIf' ci psI, applicable : m.'ji?i ollp h l'îivHJilage de s'appliquer è de:s équalioiis que la ini'lhndp do Monge ne pcnnctlrnit pas d'inlégivr. Dans la troi^iiMiM' cl la quulriOmf. |)ailii' de son m«hiioirc. Ampère nionlrc que, lor?;(|ue les (^(jualions do l'un ou doTaiiIro des systèmes des caractéristiques, ou dos deux à la fois, préstMitent un« seule combinaison intégrable, on peut ramoner l'équation proposée à une autre où ne ligurent qu'une ou deux dérivées du second ordre. On n'a pas assez remarqué, il me semble, ces profondes recherches du grand jréomètre, où sont employées des transforniaiions de contact tout à tait générales, un demi-siècle avant les travaux de M. Sophus Lie.

Dans le dernier chapitre, jéteiids la notion de caraciénstiques à des équations de foi-me quelconque, et je démon.tre en toute rigueur que tous les élémeats dune caractéristique appartiennent, en général, k une infinité d'intégrales, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. J'insiste assez longuement sur une distinction essentielle entre les deux- espèces de caractéristiques, du premier ordre et du second ordre, distinction qu'Ampère avait déjà faite, en partant de considérations apriori sur la l'orme des intégrales. A la théorie des caractéristiques du premier ordre se rattache la recherche des intégrales intermédiaires. L'étude du cas où les équations; qui déterminent ces intégrales intermédiaires forment un système en involution m'a conduit à une classe nouvelle et assez étendue d'équations intégrables, pour lesquelles Ihs deux systèmes de caractéristiques sont confondus.

On trouvera, cites, dans le courant do ces le(;ons, tous les travaux de quelque importance, qui m'étaient connus, relatifs au sujet traité. Pour la rédaction, j'ai utilisé plus particulièrement

\nii PEdiPAjCE

los mémoires He MoTige,, de M. Barboux. de M. Sophus Lie. Je traité dMmscheaGlsky. el surtout L'admirable Tnémoire d'Ampère dont les notations trop compli(| nées rendent malkeiireusement la lecture un peu difficile.

.1 "adresse tous mes remerciements à M. Bourlet. qui a bien voulu m'aider dans la correctioTi des épreuves, et à Tnon éditeur. M. Hermann, qui adonné tous ses soins à l'exécution malérielle de r^i livre.

19 janvier 1896

E. GOURSAT

LEÇONS

AUX i)KiavKi:s paktimlks nu sixonu okoui:

GHAriTUE PREMIER

ÉTIIDK DUNK CLASSR I^AUTICUIJfeUE DKQUAÏIONS. PROBI.KMR DE CAUCHY fM

Kqu;iii<ius iiux «IcrivOos puilit^llcs des surfaces eiiiçendives par Ia> (.imbes d im coinitl»-xi', on Hii\>;loppços par Ips siirf;i(;»'S .rnii compl«'xr. - hil<'gralion do ci'S efi|uatioi)s. — Inléjirales sin^dlièiPs du pîiniifr oidrc. — l>é(initioii de l'iiiiégralc griiôralt'. — l'ioMèm^* de «-.lucliy. — Kfiiia)!|ins .sur la mi'lliude de la vaiialioii il«'s (•onslaiite-..

1. Les équations aux dérivées partielles (.lu pr.niicr ordre admetteiiL deux formes dislincfes pour l'intégrale générale. Si une équation est lirnaire, l'intégrale générale est représentée par une équation dt la forme

où « et V désignent des fonctions déterminées de .r, y, z, et (p une fcnction arbitraire; pour une tcpialion non linéaire, Tinlt^grale générale est donnée par un système de deux équations

V [x, //, j, <7, qp a i] = o (2' dV , M'

\} . Auteurs îi consulter ; I>Aitii.)i)x. « >(riiii<>iri.' .sur \v^ sulsilions singulières t'es équations aux "lérivOcs partielles du pr»Mni«;r i»rtlro ". FV" partie {Mémoires présentés pur dirent savants, etc., t. xxvii;: Sonius Lik. •• L'ehor Cninplccn. insh«'sonilerp Linien und Kiii,'ol-('oinp!exe, mil .Viiwendun^f auf die Tliforie p.irlieilcr Dittfrnulitlgli'ichiiiii^fn » MufheinnliscUe Annalen, t. V; I'. Ki.ki.n, « UrliT frfwi.sso in der Linieiiijcuiiiolric rtuftrrlonde Diir<Meulialglcicliuagen > ^Mu'Jieindtische Annalen, t. V;.