I.MÉGHVTili.N UtS K<U: ATIH.NS. l
2 CHAPITRR I
OU a désigne tm paramètre varialde, la lonclion î, (rt^ rostiin* arbitraire. En lungnge géométrique, ou peut dire (|ue l'iutégralo géui-ralc d'une équation linéaire s'oblieut eu prenant une stiilo simplement infinie de courbes d'une l'OTigrueuce. tandis <|ue l'intégrale j^'nerale d'une e(pial ion non linéaire est furniée par leuvcloppe d'une suite simplemoul iutiuio de surfaces dépendant de deiix [)aramélres, quand on établit enire ces deux paramètres une relation arbitraire. On sait, d'ailleurs, que cette distinction n est pas absolument essentielle, en ce sens que l'intégrale générale d'une éiiuatiou linéaire peut aussi être représentée, et d'une infinité de manières, par des formules de la forme (2).
U"ne généralisntion, qui s'offre d'elle même, consiste à augmenter le nombre des paramètres {'); par exem|»le, si on considère dts courbes ou des surfaces dépendant de /roi.s paramètres, on est conduit à des éijuations aux dérivées partielles du second ordre, dont la théorie oITrc la plus grande analogie avec celle des équations du premier ordre. C^s eqiiatinns ne forment," il est vrai, qu'un groupe tout particulier, parmi les équations générales du second ordre, mais elles oflrent un ensemble de propriétés cilrHClé^i^til|ues, qui les distinguent nettement. Aussi nous commencerons par les étudier en délai!.
2. Considérons un ay/npleœe de courbes, c'est-à-dire une famille de courbes C, dépendant de trois paramètres a, b, c,
( ^K y. z, a, 6, Cj = o;
si on établit entre les trois paramètres a, b, c, deux relations quelconques, de façon à ne laisser dans les équations (3) qu'un paramètre variable, la courbe (' engendre une surface, appelée surface du complexe^ dont on obtiendrait l'équation en éliminant a. A, n entre les équations (3; ei les relations
établies entre les paramètres. Toutes les surfaces du complexe satisfont à une mt''me équation aux dérivées partielles du second ordre, que nous allons former.
Soient : C.une courbe du complexe, correspondant aux valeurs a, i, c, des paramètres; m, un point de cette courbe; S, une surface passant par celle courbe, ayant pour équation :
C) Voir HERMiTr, Cour» d'analyse Je l'École poLytechiiiqttc.
ÉTUDB DîîNK CLASSF PAHTTCULIÉRb: I)>.0Ï^ATrOMS 3
<l^sign(tns par les leUn-s p, 7, r. .v, t, les dérivées prerAiéres et secondes de c. par rapport à x et à y,
^ '^ . ^ ÈIL — ^.'J.
fia lettre S «'appliquant aux différentielles relatives à un déplacement le long de la courbe C, on a, puisque cette courbe est située sur la .surface S,
on lire d'ailleurs des équations (3)
ce qui nous donne
en désignant par 0 une variable auxiliaire el en posant, pour abréger,
A!liZLî), ii-I^^^f\ c~^^^^-
La première des équations (A) dcvioot alors
(6) A = Ap + B, - <: = 5^1 P + ?fi; , - e.'/:-^ = o; ^ ' *- I T D'y,*) D(^,a;} D(a'.y)
celte relation exprime simplemeiiL que la tangente, à la courbe C est située dans le plan langent ù la surface S. Pour calculer oV, 5-y, 0-^, imaginons qu'on ait pris 0 pour la variable indépendante, on a alors
Vx ^ 5A56 = W^ (^ A + ^-^ B 4- ^ C).
4 (HAPITHE I
en roinpiavaiil o.v, ov. 5i, Z-x, ô-v. 5'; par leurs valeurs dans la seconde des équations '41 «'l divisnnl par r,')'^. il reste :
(7) AV-+- 2AB*-r R»/ - H:
en désijfMHfil par II lexpression suivante qvii ne contient pas /•, .<?, f,
„=A'^-+l.^<>c^-,(.4Vl4V(■.^')-./(A^+l^^!?+r.'^')
Si maintenant nous éliminons a, 0, c, entre les quatre ('qnatiofis (3). (t>) et (7\ nous sommes coiiduitsà une relation entre a;, y, z,p, q r, s,l, qui est veriliée par toutes les surfaces du complexe, puisqu'en clia<pie point d une pareille surface il passe une courbe du couiplexe. située sur la surface. Pour ctlecluer celle élimination, on peut imag-iner qu on ait tire a, b, c des équations i'.V- et ^O), en fonction de x, y, -% p, 7, et qu'on les remplace par leurs expressions dans léqualion (7). 1/équalion obtenue est donc de la forme
(8) \?r -f -2LM.S- 4- ^V-t -f N = o,
L, M, N étant des forictions de jc, //, 2, p, q seulement. Ce résultat donne lieu ù plusieurs remuniues.
Hemaik^ck 1. — La nlaliun ^7) a une signilication géom<;triquc qui j>ermetlrait de l'écrire immédiatement. Imaginons que, par le point «*, ou mené la iiormale jnn à la surface S, et <jue, par le centre de courbure O' do C, on élève une ptMpendiculaire au plan osculaleur en m à celle courbe. Ces deux ligiuîs droites se coupent en un j)oint () qui, d'a[irès le théorème de Mensnier, est le cetjtre de courbure de la section normale, passant par la tan;;^ente en n à !a courbe C. Kn écrivant celte propriété, ou voit, Sans peine, qu'on retrouve préciseinent la relalioui7i.
l{K>iAHot'i% 11. — lui effeclunnt directement l'élimination de fr. à, c entre les équations ';{), 't'») et (7\ on n obtiendra pas nécessairement une cipialion mise sous la forme simple (H). Si, par exemple, les é(jualious .'Ji et (rt) déterminent h systèmes de valeurs distinctes pour a, b, c, on aura, après rélimiiialion, une équation «le deJ^'•ré h eu r, a-, l, <\u\ se déconqjosera en h éiptations linéaires de la forme iHj.
KtMAHgcB m. — Toute e<]ualion de la forme ''8], où L, M, N sont des fonctions quelconi]ues de x, y. z, p, «y, n'est pas susceptible d'être
ÉTUDE d'une (.lasse rvKrir.Li.tî- ni: u fou ai ions 5
intc^réo <lo celte façon. Les fonctions L, M, N doivent satislairc a certaines conditions, qui seront rl.ablies plus tard.
3. Proposons-nous maintenant de trouver toutes les intc^grales de rt'(|ii;ition 'H). Pour oÎjtLMiir cotte équation, nous nous soinnu's servis unifjuetnrnt <les ndatious (3) et (4), qui sont équivalentes aux relations (.'i), lO^ cl (7). Or, c^s équations (4) expriment que la courbe C du complexe et la surface S ont un conta<;t du second ordre. L'équation (8) exprime donc la propriété suivante des surfaces inte<^raleb : par tout point de l'une de ces surfaces, il passe une courbe du complexe qui lui est osculatrire, c'est-à-dire qui a un contact du second ordre avec la surface. 11 est clair que les surfaces du complexe jouissent bien de cette proprict'», mais rien ne prouve jusqu'ici qu'il n'en existe pas d'autres.
En clia(]ue point m d'une surface intégrale S, il passe une courbe (' du complexe osculalrice à la surface; soit mt la langeiitc à cette (;ourbc. Nous appellerons lignes d'oscula lion les courbes situées sur S, qui sont tangentes, en chacun de leur?, points, à la courbe C correspondante, ou à la droite ml. Imap-inons que l'on se déplace sur une de ces lignes d'osculafion; les paramètres d, h, c de la courbe osculalrice devionnenf des fonctions dune seule vaïiable, dont noiis allons calculer l«-s diflorentielles, la. Ib, oc. Ces paramètres «, A, c sont déterminés par les équations i'3) et ((») ; on en tire :
'^ ,^a ^ \ru ^ Yu- + Y Sa- -{-^hy-h y^ oz = o,
^la -\- -{ U -]- -X ÔC + r^ Lv -I- -- 5.V -f ;,-^ 8^ — o, en cb dr- \r ' ôp cz
la lettre S indiquant les différentielles relatives à un déplacement le long de la ligne d'osculation. Mais on a
tV' iV ^r
-L ?,u: -\- ^ h^j + ^ iz = o, dx ^V '^■^
dcc i\v i^
puisque la ligne d'osculatiim est tangente à la courbe C. On n aussi
r- S.r 4- r- ^v + ^ û2 -f Ao;) -j- lio^ = o,
car opltf êqualion dewIoppHP donne
