AI•^M,IC.\TIO^S UIVKHSKS 12Î
situc''< Hur (ies «^pluTos ayjtil leur cenlf sur \\\\>' ih'< c. La •••^hliun
<r — f)x — fji/ — ('.
proiîvo qiio le pl;in lan;jetit le U>n^^ d'une oai-arlt'iisliquo reiu'onh»; l'axe «lf»s z »»n un poiiil tixo; la dovt'loppable oirconsorite se réduit doue à un cène. Knfin, laspliére proc<'nl<«n(e (.(Mipc la surlace orlliot::onalpniont, <'ar les oiismus din'flt'urs de la normale a ia splu'TO sont propui lionuels H X, y, : — C, l'I «eux de la normale à la sniTace sont propuiiioniieis « 7>, '/. - l. Le* <'araetèristif]ues du second syslrnie sont donc aussi les lig-m's de courbure du second sy^lènu"* d»'s sinlaces intégrales.
Pour ramener l'équation ^1) à la l'orme canonique .v -;^ o, on p-^ul d'abord eonnncnccr par ranicnt-r l't'qu.iliou à une autre ne renfermant que S' connue dérivée du second ordi-e; il sullit pour cela iv M Hr
trouver une troisième fonction foi'iniiut av«'C *- t>l ^ — p.i' — <^c/ un sys-
tcuu' en in\\)lution. Kn [noccdanl »-oninie plus haut, on trouve que
^r -f- 7". satisfait a cette condition ; po^^cns
y = 3- - po- - 7.V. V' —\^- r .Zip -\~ ç
et déterminons p ot </' |.wr la condilitm que lot» ail :
f^jr' — p'cfrr' — '/dp' =^ -^{dsT - ftffx - qdy
il vitM»! :
Si inversement on nsout ci>s r<luli«'ns par rapport a r. tj, .-, j). «/, on a une Iranfornialion de contact dcfinic piti les formule*'
(S) T .--: — -. y -z, —^^ 7 .r — ~ ' p ^ f —qy , i — '{
r.«»s équations (U) du second sy'^tème Av e-iriictei-istiques peuvent s'écrire
dit — pcr - - ./»/) ,0. (/ 1 jr^ L yS ; (^x ( çy;* j =■ •>:
iK IV on A nom OKs i'qiatiom» û
130 cHAFirnF. m
après la transrorni«tii>n dp coalaf t, rll«^s deviennent :
I.a ii.iiivellr équation aux dériv(^es partielles est, par conséquent,
{* + .v'* -h -'*) s' - VV' - P'q'^ - o ; si on prend pour inconnue nouvelle
cl c se réduit à
L'intégrale générale estdonr représentée par la formule
X dfisigimnt une fonction arbitraire de a:', et Y une fonction arliilraire d • y ; on en tire
X^Y' - (1 + y'') 2 XY
et les formules ,8) donnent alors l'intégrale générale de l'éc^uation pn»posée, pourvu qu'on y remplace ^ par la valeur précédente, p' par —,
et (f par — • On a ainsi les coordonnées d'un point de la surface intégrale exprimées on fonction, des deux variables indépendantes x' et y', qui sont les paramètres des hgnee do courbure.
61. KxHMPLE 11. — Surfaces de Monge. — (Cherchons les surfaces d«tnt les lignes de courbure de 1 un des systèmes sont situées sur des sphfires concPntriques. Le centre des sphères étani pris pour origine de? Coordonnées, on a, puui une ligne de cuurbure sphérique, les trois relations
dx -{-pda <^ + 2^-?
rf/x -f- sdy ads; -|- tdy^ dz := fid/c 4- qdy^ xdx -j- ydy -f- ^dz = o ;
APPI.KUTIONS UIVKRSES 131
en remplaçant (iz par savaU'ui- »il éliminant lo rapport--' *>\\ parvient à i'éq^ualion aux dérivées purtielles des surfaces clierchées
(9) Hr 4- -iKs -f U = o,
les coefPuMJMils II, 2K, L ayiuit les valeurs suivantes :
H ^ p,f [y -f y^; - (i -f q\ {co ■\-pz] [y f qz;,
2K= (1 4- r/) (x+pr)-» ~ (i + vh (y + qzf,
X = (I -f p>) (a; + pz) (y -f r/^) — pq {.r- -f- pj)*.
Les caradéristiques sont données pur les deux équations (n" 25)
Wdif — 2K dxdy -j- L<ir» = o, Wdpdy -\- Ldqdar = o ;
remplaçons H. K, L, par leurs expressions, et résolvons la première équation ; nous en lirons deux valeurs pour -jr »
Km portant ces deux valeurs dans la seconde relation, un trouve les équations diïïérentielies des deux systèmes de caractéristiques
ctï — pdx — qdy = o,
(A; j (^ -h P^) dœ -\- [y-^- qz) dy — o.
\ dz — pdsc — qdy = o.
(b; ! iy-\- ?-) ^p — ("^ 4- p2) dq -iiy
' \pqy—3c{i-^q^)—pz\dy—\pqx—y[{ -j-p-*)- <73-}</xf^ 0.
Les systèmes d'équations linéaires correspondantes sont respectivelnent
l-^5 CJiAPiTKr. rrr
-f // ■/'•'' 4- 7ff — =) -- // (^ -f /J' -f 7"-':j(^5^+ «7 T; ) ="•
(lonsidcidiis daliorcl lo SYsIrrit- (l^^); lu ilpi-riicrf' éf{uaf''oii de ce sYslùme s'intégre sans diflinilté, pI l'inle^Tale géné;ale osJ une l'onclion arbitraire de p, q. px -f- '/.'/ — -.-. •'■'■ +- i/* -f" ^~- Clioisissons pour variables indépendantes
p. C, p': -\- (JiJ — ,--=:<'. rr- -p y- -|- ;- rt y, i 4-^,3^ ^2 -^ ,^ .
If sy>li'nie (lU dt-vifut, en posant V - K(", r. «/;. />, A.
py — 1^ ^p <^« c'K
l,a pr«f!!iiHrp f^quatinn montre que F ne doit pas dépendre de z. et,.
coin m»' If cocfticient dn — conlifut 2 p\plici{«^m»'nt, quand ou roxpiinipau moyen «les variables >', r. w. /). c, il l'aut que l'on ail sépar»'nienl
c»7< du;
l.a fonction I'' ne dépend donc que de ?/, t», <c et son expression générale est, d'après la dernière relation,
•!• désiji'nani une foncli'in ai'bitraire. Le sysièinc (10) ailmel clone deux intégrales distinctes
p.r -f qy — c;2
f'.n traitant de la même manière le système '[H), on trouve qu il admet
APPLICATIONS DIVF.HSKS 133
les deux inléffcalf": distinctes
P h (r\ 'IX - - PV.
,1C V pZ X -\- p3^
l'pquotion consiflnree est donc intégrable pnr lamefliDdc d« Mon^'e.
L«js rpsnitats ol)lenub s'irtMi-prètent g-éoinétriquemenl couime i] suit. Le svslèmn fA) decjuatinnij dilTerenlir'IIes admet les deux intégrales
dont la premi«*re exprime que les cararléristiques du ptnruiler sysfinrie sont situées sur des sphères courentriques, tandis que la seconde exprime que le plan tang-ent à la surface le lonj^r de celle caractéristique fait un angle conslant avec le rayon de la sphère, Er) s'appuyaut sur cette propriett connue des lignes de cuurhure sphériqu*^s. on aurait pu ^cr\re inimtdiatement 1 intégrale iulermédiairP
■px 4- Qy — ^
Vl + i.2 4. ,^t y[^l ^ yïj^ .i
de l'équation aux dénvéfs partielles considérée. Le second sysfèine fB) adinel les deux intégrales
x-^- pz '" X ^ pz
on en tire d'abord la relation
y — Cjc -j- Ci = o,
qui prouve que les caractéristiques du second système sont des courbes planes, dont le plan passe constamnr>ent par l'onginc. On a ensuite
q — Cp ~ C ~ o.
relation qui montre qu»' I*" plan prcccdent est normal 0 la surface «m» tous les points de la rarartiM-istiqne située dans ce plan. C»^s raract*'ristiques sont par conséquent les lignes de courbure du si-cond syst»"me.
IT est aisé de déduire dr* la le modf» de génération indiqu'» par
ISi CttAPITRR III
Mongo. Lcfi plans de? lignes de conrbMro <lu second système enveloppent évidemment un c^no nyanl son sommet à l'orif^ine ; comme chacun de ces plans coupe la surface à angle droit, celle surface s'ol'tieaLen associant les trajecforires orthc^gonales de ces plans. Or, on sait que. lorsqu'un plam mobile T«>ul9 sans «glisser sut un Cf>Tie, un point de ce plan décrit une trajectoire orthogonale. Les surfaces cherchées s'oblionnent tlonc en prenant ie-t positUinn successn-rs d'une courbe plane nrbilraire cU/ttt le plan rnub' sans glisser s</r un cmi» arbUraire.
Pour appliquer la mélhwde générale (n» 41), nousTamcnerons irabiïTd l'équation (0) à iine aulre équiUion ne renfermant qu'une dérivée du second ordre. \\ suffit pour ct^lu de trouver uue foncliou.Z en involutiou
avec a- -j- v* + -* et '' ; . Toute fonction qui satisfait à la relation
est do la l'omie
Posons, pour abréger, u = -j^ ; on aJ'égalité
ou
OF
: l'a- -!- pj] ^ . ^ ( ps gT (g -i- pz) ) __
(y + U^y ly^ èz\ t/ + qz~ (y -f qz)^ j " "
y~hqzix {y + U-^y ly èz\y~\-qz [y -\- q^f
Ce qu'on pL-ut encore écrire
Comme Fiiedoit i-enfermer quea;, y, z, w, on doit avoir séparément:
dF W aF
o: dx ày
et F est de la forme
F (m, 2/ + ttx).
On a donc un système de Uois fonctions en iiivnJuUo-n en prenant
an moyen del'idfmliLé
dZ — PrfX: - Qc^Y = f (c^^ — pcfo; - qdt/), on trouve ensuiU qu'il faut prendre
Inversement. les formules
a:=:Q, y:=Z-QY, ^ = y/X - Q' - (Z - QYi=».
op V op
P = u. ^. .^ ^^Ao^' ^
v/x: - Q« - (Z - QY)^ v/X - Q2 - (Z - QY)'
définissent une transformation de contact.
Appliquons cette transformation à léquation (9). Les équations du second système de caractéi'isliques peuvent s écrÎTe
après la transformation elles devieiment
et la nouvelle équation est. toutes réductions failes.
(l3)-l^__ZzA pn XY 14- Y- ^ YZ
<^X3y~X+KY^ Z' -^"^X+XY^-Z' ^^ 2(X+ X Y^-Z'; ^ ' 2 PC-I- XY'-Zi)
Cette équation rentre dans le type du n" 43 (p. 88). On. pourrait appliquer la melhode générale, mais on arrive plus vite en remarquant que cette équation admet 1 intégrale inlermédiarre
Vx - Q' - (Z - qyf
nfi
CHAPITRK III
qui pput ? ci-rire. en résolvant par rapport h Q et rhangeant un peu Ifts nnlafinns.
^ -^ Y^; «'Innt <'ncore un<' fonction arbitraire de Y. Le pjeniier meniltre de celte équation n'est autre chose (pie:
arc sin
l'intégrale génc-ralc de IVqnation '13} est. par conséquent, donnée par la r<)r:nult'
2^ =^ y/xirry^) nn {0 (X) -f- 6. (Y)(,
fi el 0, désijjnant des fondions arbitraires. Les formule? (l^i donnent ensuite r, y. z, exprimées au moyen des deux variables indépendantes XetY.
62. Pm-mple m. — S^ur/'aces à ligncx <Jf f:cnirrhure plnnes. — Quand ime surface a un syslème de iiffnes de rourbure planes, on sait que les courbfes sphériques correspondantes, dans le mod»» de représeuiation de Causs. sont aussi des courbes planes, cV«il-à-dire des cordes, et récipntqnement. Si une surface a ses lignes de courbure planes dans les deux syst''mes, la re{)résenlatioM sphérique devra donc se composer de dfny lainilles de cercles oilhogonales, c'est-à-dire, comme la démontic NI. « ). Bonnet, de deux familles de cercles dont les plans passent respect ivemcnl par deux droites fixes, conjuguées l'une de l'autre pai* rapporta la splière. Le problème esl donc celui-ci: Trouver /a^s surfaces dont la ri'pr^soi'fotion sphérique d'n^i des systèmes de lignes de courbure secoiupose de (crcffs pns^iuif pnr dcurr 'point'! /î.res de /a spfièn'.
lùrivons l'équation du plan tangent a la sucla«e cherchée sous la furme
'i (K - »Y} + ^ (X + tY) — (1 — x[j) Z = ti,
a el {J «'tant les païamélres des génératrices de la sphère (*).
L érpiation dill'erentielle dps lignes de courbure est, dans (!e système
(') î)AftBoi;x, Théorid dits sur fac's. 1 I, p 'i;6.
de variables.
si 011 a pris pour point do vue l'un df^s points fixe? dp la spliero par ou passent Ions les cercloR qui sont, les imag»^s dt\s lignes de oourbur« d'un système, les ptispectives de ces cercles sont dcb droites pnssanl par un point fixe {a, h) ; ces petits cercles seront représentés avec les variables (a, <i\ par l'équation
^ ^ ^' y. — (a + i6) ?A"qnation (l-i) doit dom* admettre toutes les solutions de léqualion
ce qni exigée que l'on ait
on
Pour employer les notations otdinaircs, remplaçons
X — (a 4- ib), p — (rt — î6), «
par 07. y. 2" respectivement, Vequalion a intégrer s'écrit
(16) x'-r — yH = o .
Les équations différentielles des caractéristiques sont respeclivernenl
idz — fïdx — qd.r - o, ( d/Z — prUc — qdnf = o,
l'A) \ xihj — ydc ^= », (Bj < X(hj -J- yd-x — o,
\ ,T(lp — yd<( — o ;. ( xdp r y<i<i = o:
il est inutile de recourir h la méthode «générale, car on aperçoit aisément
138 cnAPiTRE m
dfux c«>nibinaisun:> jntëgrables pour chacun des systèmes
pour Ip premier système^ et
d (»y) = o, d (j - px -^ (fy) z= 0
pour le second système. L'équation (16) peu* donr. être ri^menée à U foroie canonique s = o. Pour effectuer' cette tran&foiniahonj prenuas d'abord deux iiouvelle& variables
y -^ ' xy - X, ■z. — y'^
on a
^ ~ ïx' ^ ~ dy x*' ^ "■ 3j;' ^ ' V *
par c% changement de variables, l'équation (16) devient
h.v'èy' dy'
ou, en posant j = Z n/x ,
dx'ày' L'intégrale générale de i ëqualion (<6) est donc
^ =V?W(*')+ t(y')i ou, en rerenanl aux variables x, y, et modifiaTït un pew les notations,
T^EMAAQUP I. — Lopsqu une équation ^sLJineaire. par rupp«»rt à z et à ses derrivées fi, ç, r. x, /, il est évidi-nt que la somme de deux raté-
APPLICATTOT^S DIVERSES 139
graJ»*s esl aussi une intégrale. Celte remarque permet d'écnre immedifltemenl l'inlt'grale générale de l'equatio-n MB). On sait, en oITet. qu'elle admet toutes les integraiea des deux équations du prnniier ordre
/)/* — 7// -- o, e — "prc — 7V := (»
qui sont Tespeclivemenl ^ = :p {xy)^ z = jc'| (- j; l'inlégrale gémérale
s'obtient «n faisant la somme de ces deux ijitégrales particulières, qui dépendent chacune d'une l'onrfiun arbitraire,
Remar«ju£ Jl. — Si les deux droites conjuguées par rapport à la spheie se réduisent a deux, droites recta agui aires tangentes à la sphère en un même point, les» perspectives despetits cercles qui sont les images des lignes de courburo se réduisent à des droites parallèles On peu! supposer qu'on a pris les axes de telle fa«;on que ces droites aient pour équalion
l'équation à intégrer est alor^
r = t, et l'intégrale générale est
63. Exemple IV. — La recherctie des surfaces adiiiettanl une rejn-ésentation sphérique donnée se ramène, d'après ce qui précède, à VinJbegration d une équation de la forme
(48) r = X2 (aj, y) «;'
nous allons chercher, comme exercice, a quelles conditions doit satisfaire la fonction X (r, y) pour queJ'équation (18) soit integrable par la méthode do Monge. I^es équations différentielles des. caraclcrisliques sont respect ivement
idy — Xdcr = o, / dp -\- Xdx =■ Oj
dp — ydq — o, B j djD -I- \dq = o.
di - pdx- — (jdy — o. ^ dz — pdx — qdy = o.
et les systèmes d'équations linéaires correspondants sont
av . ^V 3V , ?V , ÎV cW
c- :i: A — = 0, — 4- p — - qr / - :r / 7 — -^ ^ o,
I^f* r.HAIMTH]; 11 T
le-j sigiios dr ^^^ corrcspnnHanl Haiif^ les doux équatinns. Prenons par ^x»*inplH le sig'iie — : nous avons a rechercher ilans «piels cas los doux tfr|iiation<:
éx dz ày iz
a<imp|f^iif deux inlegralts or»mrfiuriHs dislincles. L'intégrale générale <|p la premirre étfuution es!
V —- V ix, y. ^, p -f- '^ç)-
Pfnon'i yiuiw variables indépondantes a*. »/, î', q. v. =: p -f X7 ; la première équation dovioni
et la cecmde devient
^F . , al- , , . , èV ii? . . ,})V] , ^F
ai -^ ^' » Tu +• ^" - '-^^ âl - '1 ay -^ ^^^ X; 1 - ^"^ % -■ " '•
fomnif F ne doit pas dépendre de 7. il faut que Von âil séparément
àV , iV . aF
' èx 6Z d'if
iV aF
Linleirrale génorale de la dernière équation est
F = «l> fv, y. 'iÀ" A- (>.; — )Ày'! 2 ; prenons comme variables indépendanle.< x. //. * et 0 - 2Xf^ -]- ,X:r — ^K) «'• L'équation ,J2j se réduit a
APPLICATIONS blVEItSKS *'*'*
et la premiorf drvÏMnt
pour que ce sri^lùmc <ï'équiilions ["l'.i) el (:1'4) ndmctln deux intpyralt^s
distiiicfos, il faut et il suffit une le l'nellicienl de -- unisse sexpiiimM-
au moyen de x, y, v. c"est-ii-diiv soit proporlioiincl à y, puii^quil ciMilieiit n liMéaireinent, ainsi cpie r. Lu l'onction À [x, y] doit donc -^aLislaire à l'cquation
pour quil existe doux intéirralps inl^rmédiaire«i, apparleiiynt à «les caraoteri^^tiqups dijïprcntcs. et renfermant chacune une foMciimi arbitraire, il faul, en outre, que X vprifie l'équation obtenue en changeant X eu — X dans la relation précédente.
64. Remplaçons dans l'équation (25^ X par ^ pour cons<"rver les notations habituelles ; ell^^ devient, en simplifiant,
(2ti^ 3..r — Ac'h l- 2<r^l 4- ipq^ — '/'s- — 'ip- ■- o;
elle admel un seul système de raracterisiiques (|ui er,t delini par les équations différentielles
( dz — pc/.i; — f/dn/ = o ,
i - 'l^dp 4- 2c'Vy -\- {q-^- -^ -V" — ip/Z") dv rr o
Pour savoir si ces équations admettent des combinaisons intégrables il faut rechercher (n" 31) si les équations linéaires correspondantes
admettent des intégrales commun^'S. I.n prenant pour variables indépendantes a, .V, 5', y etp — 5'-* ■= u, ces eipiations deviennent
2c :- - 'h/'- -- , "izu — 4- .{'u"— - — o: dOi- ÙM ùK ca
us t:HA^iTRE m
U demicry équation ne rcnfermajM pa» la variable y, on voit que cos équations admctient ti-ois iniagrales (v^mmunes dnitinrips et, par suit«. V^Hiualion [iB] appartient à la classe étudiée au n* 34. Pour former ces *roi& intégrales a^mmunes, noas oonsidérons le système d'équations ihfftrenlielles ordinaires
ctr Jjf di '/m
Ti ~ ~27' ~ §77* ~ 3^
dont TintecraJe générale qui s'obuenl sans difHcult^ esl donnée par les forwulds
conformément à la mélhode gérverale ^n' 34). éliminons i» entre ces trois relations. Of qaii nous conduit aux equaUOns d un complexe àe courbes
[y — Cj {x — 5> — 4fl —. o:
qn on déduira 1 intégrale générale en étublis«iant deux relations arbitraires entre les trois paramètres a. b. i . Prenons, par exemple,
Dooa arrivons alors à la. conclusion suivante : ïmtégrale pénérafe df féquation i25) s'obtient en cfiminavl Le paratnttre variable s entre les deux ét^uaiiom
^~ l Ti/ — » » «^ — w a X -|- » =: o,
f (a) et y (a) elaiil deux fondions ^rriti aires.
L«* résultat obtenu peut s inierpreter comme il suit. Coa&idérons la famille de courber représentées par 1 équation
xy — * fi^ y — *)' (°) ^ ~r » = o, ou a désigne on paramètre arbitraire ; poui avoir l'equation difTerentiella
AITUCATIONS DIVERSES H3
de cette famille de courbes, il faut éliminer a entre cette équation et sa dérivée
Otj cette dernière relation devient idenliqueàlapreraière des relations (27; si on chanjjn // en — X [x^ i/). Donc fa condition ';i5) exprime q"e VirUêfircUc gé/uïTale de l équation
est représentée par une équation de In fonne
29, xy-\- \y -\- ^x •\- C = o;
A, B. C étant des f*mcl>iuns quelconques dune constante arbitraire. Or, d après ce «jue l'on a vu plus lutul in" 62;, l'équation (28j est ieqiialion ditTérentielle des ima^s spliéi-iques de l'un des systèmes de lignes de courbure de la surface cherchée ; x, y étant les paramètres des génératrices de la sphère, une équaiion de la forme (29) représente un cercle, et le résultat obtenu peut s énoncer comme il suit:
Pour qtte Véquation aux déricées partielles dr„s surfaces, qui admettent xjne représentât icm sphérique d/jnnée pour Leurx lignes de courbure, possède une intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction arbilraire, il faut et il suffît que les images apkériques des lignes da courbure de L'un des systèmes soient des cercles, c est à-dire que la surface ait un système de lignes de courbure planes (*).
Pour que l'équation (18) dont dépend le problème de la rppp'sentation sphérique soit réductible à la forme s — 0, il faut, d'après cela, que les images des deux systèmes de hgnrs de courbure soient des cercles. Gest le CHS que nous avons traité au n" 62.
RxMARVL'E. — Toute équation de la forme
r = À» (a:, y) t peut être ramenée par un changement de variables à la fomie (n** H
s -{- ap -\- hq = o,
où a et 5 sont de8 fonctions des variables indépetidu/ites seulement; il ('; Ce théurèiue est du à 0. Uoiinel.
141 (iiviMiRi: m
suflil de ppf lidre p"iir nouvelles variables une intégrale de l'^'qualinn
l't une intéj^-ale de l'étjua«ion
rr^ ^ ,. f- = O.
èx 01/
Si It-quation r =:: À*/ possède une intégrale iutermédiairo avec une fonction arbilraire, il en sera de même de lêquation transformé^'
elle rentre donc dans la classe signalée au n* 4B. L'intégrale générale conlient explicitement une fonction arbitraire, et l'aulre fonolion arbi-
^rairw est engagée sous le signe /•
Pour pouvoir efîerlner la transformation précédente, il suifit d'avoir inlégré les deux é(juations
c'est-à-dire d^ connaître les deux familles de courLes'ortliogonales qui forment les images sphériques des lignes de courbure.
65. On pouvait prévoir par des considérations géométriques une partie des résultais [jrécédents. Quand on se donne les images sphériqnes deP deux systèmes de lignes de courbure, les surfaces sont déterminées par une éijuatinn de la fi>rme M S) dont les caractéristiques correspondent aux lignes de courbure. Irnagiiuuis (ju'on forme l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces en coordonnée.* cartésiennes, ce qui revient à effectuer une transfunnatton de contact ; les caractéristiques de la nouvelle é(ju;*tion stront les lij.'ncs de i-,,urbure elles-mêmes ues surfaces intégrales. Or, il est fa<n«' de prouver (pie. lors(jue les i/uages spliérh|ues de l'un des systèmeî» ^^out des cercle ^, les équations dilTéieutielles des caractéristiques correspondautes iidniettenl deux combinaisons miégrables. Soit c un «le ces cercles, C la ligne de courbure plane dont cJle est l'image sphérique, ff) le cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour directrice le cercle c, x, {J, y Tes cosinus «lireclt-urscle l'axe de ce cône de révolution, u> le demi-angle au sonun*'t ; x. Ji, y, <i> sont des fouclious d'un paramètre b, doni lu variation <lonne tous le»
AHPl-fCATIONS DIVERSES 145
pctils cercles qui sont les imaji^es splién^^ocs de <;o système de hgne^ de Cùurbure. On sait que le plan do la liofne de courbure C oRt parallèle au plan du cercle c et que ia normalp h li< surface en un point de C est parallèle a une gcuératricc du cône (T). f)n a donc
