I -idz .--■ irdf. -j- )r'd<j

Ccb Iruis relalion? sont «-(tnipatihles. car le déterminant

'IjC u u'

dy V v'

dz w w'

est nul, puisriue les tanj^entesà la courbe C et aux deux courbes inconnues 'Y) et (r') sont p«,raJlcles à un même plan On déduira donc dv et t7f des relalionsj (76», et on aura ensuite X, Y. Z par des quadratures. On pouvail prévoira priori qu'on ne pourrait ol»tenirune solution plu» simplt», puisque la surface (^) ne clianjre pas quand on fait subira ta courbe (l'y une fertaiiie translation, pourvu qu'on fasse subir à la courbe (V) une t^an^'latiun éirale à la première et de sens contraire. ËxLMi'LE 1. — Kt'prenons le Droblènie de t'.autîhy pour l'équation

IFS ÉOUATIONS DE MONGE KT d'aMI^ÈFIE <21

j» =: o ; snionl

les fornrmlfis qui déliiiissciit In conihe donnée i\ el la lutrmale à la surface le long de ceLLe courbe, ces fonctions /",, /*^, /",. ■},, •{,,, vérilianL la relation

(77) n ^^0 = '\^ '0) /•; : 0^ + -fj Ci) /-i ro).

Les cônes (T) et fT') se réduisent, ici res[>ectivementau plan des jrz et au plan des ijz. Je sorte qu'on poul prendre

U — . O, p = 1, VJ r- •1;.^ (0), /<' r= 1, u' X-: O, w' = •!/, ,0j,

elles formules générales (76) deviennent

2/-; (f)) /yo -— rf(T, tf!i (0) tzo = f/o. 2/-;, (o) r/o = f^ <'^\ 4 -f |, (»*) dn.

On en lire

rfX — — <ir, r^Y - dif. H7. = -2-J/, (0) fj f)) '/*» — /":; {'<) <f'> : OH "peut donc prendre pour équations de la courl^e fl")

z, = : 4-'/.^ if^, ('♦) /'i (0) dh:

la courbe (F') aura de mr^ni*" pour éqtialions. en désignant par une lettre différente r le paramétre variabl»^.

[Vf)

z., = z-Z^ "if.U) - '>j*'i, H /-^ (t) rfr.

La t'ormuln qui donne z ^ peut encore s'écrire, en lenuni compte de la relation 77^,.

'•.. = 2/4'.HA;(t)c/T.

1Î2 CHAIMTRE II

ei la surfnoe chorcliûe csl rpprês«»nl«»t' p.tr les equalions

.- = -■ii.'j = j';, :t) /■, (T. rfT +f}, («) /i {«) rf«.

L»» résiiltiit est identique à celui que nous avons obtenu plus haut (n« :«).

ExKMPLE fî. — PropoPons-noMS encore Ue traiter le problème fleCanohy pour les surlaces minima. Swent c. //• <■ IfS coordonnées d'un point d'une courbe donnée C, a. B, f^c9, cosinus directeurs de la normale à ia surface chercliée le lon^r de la courbe C : t, y, 2, x, p, y sont six-fonctitins dune variable 9. satisfaisant aux relations

» tZ,ic -j- p dj/ -\- yfii =^ o.

Le plan x.v-\-^f/ -j- y-? — 0 coupe le cône ^T) qui a ici pour équation

snivant deux géncralrices dont les paramétres directeurs sont respectivement

u = f^- -\- v'. r = — T|i -J- 17. if ~ — av — /p,

i/' =: {J- -j- v', r' rr — 2f5 — 'Y- '0 = — »y H" '(!•

Les formules (7('»} deviennent

^dv = [f- -f f} {dr> -I- di),

2dij = — iH ic/p -f do) -|- »•' (f/p — </«),

iic/:: .=r ^ av (t/p -\- do • - i'i [dz — di] ;

on en tire

u(/f. = (^- -f- Y^'f^,' — o'i H- ' K* — Y^'.V,e». par suite,

Les valeurs de Y et de Z s'oblieiment aussi sans difliculle, mais on

LES ÉQUATIONS DIÎ MONGE ET O AMPÈRR 123

peut les déduire de la val*iur de X par des permulationH circulaires

y :^ i I ydr — xdz.

Z rr- ■/' I xdfi - PMrr:

les courbes minima \V), (P'), dont on pouf drduire la siirface minima cherchéo, sont doue lopréseulees respectivement parles équations

/ x^ —x-x-ij ^ds — 'fdy,. i x.. = x — ij^dz — -[dy,

(r) ( j/^ = y -f i I fdx — %dz.. 'I") / .y, ^= // ~ ^ f Y<^-^ — *^--

' 3y-=. z •\- i l %d>f — 'idx\ I <?2 = -^ — ' / "^^y — ^<i-''-

N(»ns retrouvons ainsi les lorrnales de M. Schwarz ^'). (') Miscellev aits dem G-:hieLe der MinimaLfidchen (Journal de Crelle, t. I^XXXX. 181î>).

APPLICATIONS T>IVKHSES

Surfaces de loachiinsijl. — Surfaces de "Nonye. — Surfaces à lignes de courbure plane^ dttUs les »lciiv systèmes. — Le firoMèmc de la repréier ati<ta <phénque. -- Intégiation des équatioiii Xpt -f- rt — s- — jO, qr -f- (zq — /»)s — p;i .^ o — Equations dont l<i> carH.-téi'istiques sont dus li^'nes as>'nipu>tique3. ou des lignes de courbure, ou des lignes rcnjuiiuccs. — Inlecration de I équation (r — pt)* i= q^rt

60. J'ai réuni dans ro chapitre un ociiain nomhre d exemples empruntes, jKJur la plupart, à la théorie des snrJatPS. En traitant ce.-? exemples, j'ai •voulu seulement montrer l'application des procédés gréncraux d'inté^i'ation, sans m occuper de mn^lre le résultat sous la form** la plus simple pos>ibie.

Enumplr I. — Surfeues de Jotichimxlal. — Proposons-nous de déterminer les surfaces dont lès ligrles de. courl)urc de l'un des systèm.^s soT^t des courbes planes dont les plains passent par une druitP tixe.

Prenons cette di-oite fixe pour axe des z. L'cqnation difTérentielle des projections sur le plan des ay des.lij;nes de courbure est .

dr{i r- ft'} -\- P'jc^v pqdx-t- df/ (1 f- y-). ro'v -j- <rf(/ "~ sdx -^ ttly

cette équation doit être sati-'faite lorsque cLc et «/'/ sont proportionnels a X et à V Tespectivement. L'cquation aux dcriToes partielles des surfaccis cherchée» f-*;!. par iOnscqucRt.

(I) Ht + 2Kv-|- \.i - ,..

APPLICATIONS JJIVKHSES les coeflicionts II. 2K, L av;inl ios valeurs Muivajite^:

L = — (1 -\-p^) .ry - pff}/*.

Om a, |)oiir Uîs l'îiniatiuiis dilîci'enlielles rj«!s caraclcrisliq^iirs (n" -2,"») \\</pt/i/ -{- \.ffqdT - o,

<Ih la depiiit!rr on lire, en Tomplaçant II. K. L |) n- Io'ms oxprcssions

cl en resolvant, les deux vu leurs suivanles de — •-»

tix

d.0 r, lLx pq.r -f- |l -f- q'^) >/

t|ui' r<(ii |)«irh' efisuile.diins la pjeniièro lolatinn, cl, linalcrncnt. U.'S deux systvmes do caracteiTslit^ues sonl délinis ]»ar les equalion.-» siiivaiiloâ

I(U — prix - qdy = o.

.rdff — ydx, '- o.

( fis — yCrûix' — ÇÛ^;'/ - o,

.'Av/.r 4- //i/.v f- [})V -f <///) (/»r/a: j- qdy) -- o.

On ajteirtdl inirnédialemeut une conibinaisoa iiilégrablr dans cliacun de ces deux syslèiiies, à .savoir :

d{2 — px- — qt/) =^ O ;

pour savoir s'il é*i existe d'autres, ap|di(|Uons la uiélhode gtMK'raJij. Conforinninent à ctîtte méthode, nous avons à chercher les intéj^rîilf'S des deux systènieb d'é<îuali(U»s linéaires [H) et (4)

/^V , èX\ f?\ ^\■■^

1% GiiAFiiHi: m

Considérons d'abord lo système .'{) ; Tinlégrale générale de la proinière équation de co systrine csl

en posant, pour abrép»r, u ^^ pr -\- qy. Cherchons A déterminer la fonction F, de fugon à satisfaire aussi ii la seconde des é(jualions (3); cette équation devient, avfc ks variables r, y, 2", m,

^F , . , àF , , . / W , ^1'

àx ^ ' ' ' ài/

, « — qt/

OU, en remplaçant p par — ; — ^'

^F. . > aF, „ . „ , . /^F . 3F \

et, comme la fonction F ne doit dépendre que de .i-, y, ^, w, le coefficient de (/ et le terme indépendant de q doivent être nuls séparément. La fonction F doit donc vérifier les deux équations simultanées

àF ,3F ,-'3F , /'3F , 9F v -^ 3a: 3y 3/; ' ^ \du ^ dz /

l'élimination do - -\- y '"onduit à une équation plus simple

qui peut remplacer lu dernière des équations (6).

Appliquons le même procédé au nouveau système; l'intégrale générale de l'équation (7) est

et, en portant cette expression de F dans la première des équations (6), elle devient

2l< T- — — — -— rrr 0,

3/» du ^e '

APPLICATIONS DIVEKSRS 127

dont l'intégrale générale ost

En revenant au Système (3). on en conclut que ce système admet deux intégrales dislincles

s — px — qj/, et x"^ -j- y'^ -\~ (;).r -f qi/)-.

Traitons de la même façon !<; système (-4); toute intégrale de la première équation de ce système est de la forme

on posant u =^ - > a =^ px -\- qy — s ; prenons pour variables indépendantes

la seconde équation du système (i) devient

i/>-| 7M^' ^ »^> ' p-f-f/i«^i'j ' |j9-f-5'U ^ ' '\ihi ' p-\-qu i>yl

Comme la fonction F ne doit pas contenir ?, le coeHicient de z'* doit être nul, ainsi que le coefficient de 4 et le terme indépendant. II faut

donc (lue l'on ait -— = o. c'est-à-dire que la fonction F ne renferme

que les variables p. q, m; par la suppression du facteur t? -f- -. d reste une seule équation de condition

dont l'intégration se ramène à celle de l'équalion dilîerentielle

vdp — dq + (7) -f" qu\ iqdp — pdq) = o,

qui rentre dans un type classique, en prenant pour nouvelle inconnue le rapport '• On trouve ainsi que l'intcgralc générale de celte équation

«28 cii\PiTRK m

(lilTrrenlicllp est donii»^»; pnr ht rclttlion

"Vi 4 P- +7'

l,os ••(juatiuns (4, aJinettenl donc *W\\\ intéprales communes distinctes

Kn résnnift, l'i-qualion du second ordre proposée admet deux intégrales intermédiaires appartenanf à doux systèmes de caractéristi<|ues ditîé'rcnts, et dépendant «hacune d'une l'cmclion arbitraire,

•^'- -f y- + [?^ -f- V.V»- <P [2 — Poc — qy), nv — 7>' . /.V\ .

on peut d(»nc rajnener cetic équation à la forme canonique j := o par une transformation de conlact; mais, avant dViïectuer cette réduction, nous remanjuerons que les résultats obtenus jusqu'ici peuvent être interprétés géométriquement. Les équations (A) admettent, d'après ce qui précède, les deux intégrales premières

y ^ c^ mjzijir. ^. c,

«lont la première montre i|U<' les caractéristiques de ce système sont de» cour!)es planes, dont le plan passe par l'axe des z\ ce sont, donc les lignes de courbure des surfaces intégrales. La seconde équation exprime, il est aisé de son assurer, que le plan y = Cx coupe la surlace sous un angle constant.

Le .système (13 admet de même les deux intégrales premières

2 — px — (jy — C. ' X' -f ,y3 -f (p.y 4- qyf = (/,

doù on liie aussi

x'-{-y' + (2 - rj2 = c.

équation qui montre que les caractéristiques du second système sont