KxBMPLE V. — Soit à intégrer Téqual ion
(30) \pt -j- rf — 5^ r- o,
X étant une fonction (juelcontjue de a- ('). Il y a un seul système de caractéristiques dont les équations différentielles sont in" 23)
IrfJ — pdx — qdjt/ — : D, r^V = O, dp -(- Xpdx =; O ;
on ^'oit tout de suite deux combinaisons intégrablc^ .
do =0, — 4- X.dx -zz O.
et, comme les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, il doit
C) Celte equ;ilioii se i»rf>5<*ntt? quand on chfiche s il est possible (Je (iéforrnpr mit? surfucf «le telle laçwii qu une sciie Aè st-ctions (ilunes. «ilm-?^ dans ries [ti.ifis parai lèles, se ehangciil en une nuuvellp série de sections planps. sili.iées dans dfts plans parullt'ies. V«»ir mon Mémoire ^ar un probl^m'i rclalif à In clvfotmalion des miffacea [American Journal of Mnl/iemalics, vol. XIV).
IKfKf.K.*IION UES ÉOUAIIOHS, 10
li^i r.MAi'miK (Il
) en avi'ir mie lroisi«m<: jr 'M\ . On lire eu elli-l des di'iiv pitMinrros
(j iz: //, p-l .r; zz A,
en fwsant ^ ,a' =; « ; si on porte ce> valeur^ «le p et de 7 tlaiis- la pelalion
<h — ptLr — <;o'// — o, elle lievi^ni
aJ — —r . — ^'</'/ = O
e\ donne
r — 6/ ^aA — ay :=^ <\
en
pusunt /■ [x] :^ I -r-, — • ( >n a donc, en définitive. Irois iiitéjrrales p(nir
los équalions dilTércntieJle^ des ciiraclonscjnes
•j — a, pif .r) — 1.. ^ ~ iif [x) '\ ..r — 7// -- c.
»loMfurn»»3nienl à la méthode générale ^i" .T*). si nous éliminons p et q •cntn* ces trois équaîiOr.s nous sommes uOnduTts n l'ét|iiatiim dune 5url'ncc dependaiii de iroi'? pjirarnèUes a. h. c.
z — ni, ^/ {'') — ^ ~ *'.
et. Iintci^iale yOiitiinle df: l'<(pialloii (:{(• rsi icprirseMlé»' pai- li; sT5l(*;mtJ des dciiX relntiruib
où & et 1 «ont deux fimctioris arhitraiieîî, et où on po>,e
t'y. iCvKMl'T.F. VI. — Soit a irtté;^r-ci' Vcqualion (')
C3;i^ qr -\ {Zq — p) s — ftil . r. .
'■") «".ciLs e.,uâti.-.ri se piestn-t.* q\idn^ ort cfteicho a l-rrruM ÀCs ù.(U.ili.iii' fjTfteteri ticllc>; du |.rt'miC;r ordir \nlP;»i ahles /« 1^ fucoi, dr ! iquriiion de l'ifiiiaiil. "Voii rna not*: S'u'" '//î^ C:/j»<'. A'cqt.'jVons arLaJo^ut<! .> i'r^quatirjn de Claif-anl liuUcLi'i île la.
AF'PLFCAIIONS l)\yER>F.l 147
les yfjujilions •lifTéreiitielles d'js «I-mix syst«Mii<'s de -ir.'i';topi«tiqijes sont rospcoliveinent
dz — pfJx — '/c^y :-:-- •>, i d? — pdy: — ifdi/ = d
pd.r -i- cjdi/ -- o, (|{) / rdr, — df/ - o, ( (fp ~\- Z'i'l r— <»: f 90^/» - i^tdq ■-- n.
ro'pi'eniij^r systOnio adin»^1 les «Jeux comhinuisons inlej^raf)I«.'S :
d: = o, d {p -\- qz) = o;
on .1 doiic l'iiij^rale ii\f»irmodiaiio :
P -f Y- =- ? fs-.,
dont 1 irilé^iJ'tion se rainj^nij a eelln du système d'érfnaMons différentielles ordinaires
, d.r dif dz
Comme 2. ^^' est une fon<lion arbitraire île s, on pi'iii posiM*
v*t l'intc^^ralt' j^t''n«'rdle du systeni»- 'M) o^t donnée par le;; loinmies: x - y U) = C, y — 2'V (:) -f 'l ,» r= C.
et l'inléti^raie générale de l'equatirm {li'i} est represcnt»*!' par une <»<|italion de la fornit;
ffl j/ étant deux foncti«)ns' arliitrainjs.
68. Nous allons .Undier maintenant l'^s ♦'M|uations aux dérivées parlielles «lout les caractôristi<|ue:< jouissent de «^ueltpiH pTopnoLc lumarquHhU.', relative à la courhnrH. (ilieroinjui d'abor»! les équations dont les caractéristiques de l'un des systèmes sont d<»s li^'-nes asyiii|»totiques des surfaces intégrales. Soient
/ d^ — pd:i' — qdy r= .».
cri) ' \djc -f B</v -f Cdp -I- \hj', ^ o.
l A 'dx ^- li oi*/ 4- C V7/ -h I ) d.f — o .
IW f.IlAlMTItF ni
les équations diiïérentiolles do ce SYSti-mc ilo «\irai'téristit|no.'s ; la rolulion
{'MV i^].'f.c 4- dtidy .- . o,
qui rlt-nnil les hgnos asyiuplotiqiic.^. doit clro uck^ « orisr(|iienco dts éqwatii»ns i3")). Or. si l'on n^parde d.i\ dv, dp, dq comme les coordonnées lioinogèncs d'un point, la i*elaliou (ItB repivsente une surface du second degré, les doux dornièros t'quations i'.\Ti] rcpresenlont une lif^no droite: il faut donc «|ue cette li^■ne droite soit u))e ^énoratrioe do la surfaoi" du second degré. Par ronséquent, les équations diiïfrentiollos des caractéristiques peuvont être mises sous l'une dos formes suivantes :
. dz — pdx — qdy - o, ' d^ — pd.i' — qdi/ ■■-. .»,
(A, •] djj '-- /.dy. (B) j dp — Idq.
\ dij = — )dx ; * \ dy -. — t.dx.
Dans le premier cas, l'équalion aux dérivées partielles e.st de la forme
les deux syst»'mes de caractéristiques sont distincts (sauf si À ;:r oi, et, comme le second système se déduit du premier en changeanl X en — À, un voit que les caractéristiques du second système sont aussi des lignes asymptoliqnes.
Dajis le second cas, l'équation aux dérivées partielles est dn la forme
les deux système» de caractéristiques sont confondus.
69. Ktudions d'abord les ocjuations de la forme {M : f.n poul en d<mner la signification géométri(|ue suivante. Considérf»n=i une surface inteçjrale a'Imetlant ''''lément .t, y, z, p, q) : les lan;;entes aux deux lignes a'iymptotiques de la surface issues de cet elémenl sont données par l'équation du second degré
r -j- 2i/// -j- Im^ .— L),
m étant le coeflicient angulaire de la j rojt.ction de l'une de ces tangentes sur le plan des vy l'équation ;>«-!; muJilre (jne l'une des racines de cette équation en m est égale a — À. Par conséquent, toutes les sur-
faces inlegralpsqiiiopl! élément (r, jy, ^. p. ^lont une lan<,'onle asymplotique commune en ccl élénicnf Par cxt^mple. si X no dé(tenfl que 'les variables r et y, l'équation (;J8^ exprime que les lignes asj-niplotiques dfi l'un des s;ystt'mes se projet «enf sur le plan des xy suivant des courbes données qui S'.:;'. l'^s courb'»'^ intégrales de l'équation dilTêren tielle
Pour que léquation puisse éire intégrée complètement par la méthode de IMoiige, il faut que les équations dilTéremielles des oaractéristi(|ues présenlenl tiois combinaisons intégraVdes. ou <|ue le système
àq dp hx èz ^y <?^
soi! un système complet. Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont
O'i ûf, ^x dz dtj i^z
Suppt»sons X défini pur une relation
la l'onction ■i» doit satisfaire aux deux conditions
dq ip dx ôz ôy oz
qui deviennent, en prenant pour variaTdes indépendantes ce. y, *,X. 7,
dq d.T oz 01/
L'intégration se fait d'elle-même, et on voit que X doit satisfaire à une reiftiioi» «l*» U tonne
«1> [y -f X.r. X, /) — Xf/. .V ip — hf) — z] — o.
On pourrait poursuivre le calcul, ruais on a. rive plus siniplemenl au résultat au moyen des remarquer suivantes. Si les équations ditferen-
i'C CHAriTui: iir
liojlei) Jes caracl«nsli(jues «l'une -iqujiion de 1h (oimp (38) j.»i(iscnleiit tmis cniiibtnni.sons inlégr.«l»les. on >ail (n" '\'i) .|Ut» l'tntCijiMU; ^'ciicrule se conipose des iurt.icos eagcndrées par les courbas d'un complexe, <:l ]e> v'ourbes de ce «•ninpIe'XP sont des cauicteTisliques Oi'. il esL facile de nïûnli-ti- que les cnruclérisliques sont dos lignes droites, loisque le"* ivlalions (-lO) sont. veri4ipcs On tire, en yflet. des relui iuu.s
rie — i^Hx — <jdif = o. dp — hlii. dy ■\- hfx .:— o,
en ditlei enliant !a deniieic,
?X iV à) »^> ^/
d-u -4- \d-x i- ■— d.v* -f- - tf.rifu -*- — d.rdz ■\- ~- dpdo; 4- - dqdx ^=«», OJi ?fl * -v ^P ^^
ou en ixMhplav.int ctij. dz. dp par Nmips vahiuts.
Si le?. cr.nditi«»ns '^,i\), sont vriifiées, '»n a d<»nc
si oïl u. plis X puur Ta variable indépendonLe, on a (/^.t =:o»;t. par Suite, d'-y =: o. On a cnsuile
d'^z — /■/li-.t' -j- qd?y z= o :
y *ii ? sont dc$ fonctions linéaires de jc. On voit par conséquent (pie, pour ubifciiir Unîtes l»'s équations de la forme (.'ià) qui sont intégrables par la métbode de Mong'e, il suf^f de prenAn un cotnplecre de dt'cnJ>:^ que 1er, au lie el de former réunaf.ioii atuc dérivées partielles das swf'uoes ré^léci fToiitlHit yéiiCTatrices nppaT't-icn»erLt à en corûplejce
Il est aisç d expliquer ce résultat par la géo'.n'Hiic. Etant donaé un eomplexi; de courhes C. quand on associe ce"* courtes de façon à former une >»urf;tceS. le plan tatiifi^rt à la =iiirl'ac« St.'unn point d une courLo C varie en geDerail avec la loi suivant laquelle on associe ces courbes. Pojir que Iri courbe soit toujours une ligue a&'^inpiotique de la surface «.'n'^endréc, il faut donc que le plan osculaleurà cette couii>esoiL rndcternnnc. c'esl-à-dire qu'elle se rédui.se aune lig-nc droite.
Comme oa* particulier, seppoeons que > ne renferme que les vaj'ial»les x hi y\ > doit «satisfaire à une équation de la forme
réquiilion difFiTonliclIf // -\-y =- (, «les prujeclioiis «les ]ii:!;iie^ as.ym[ifotiques peut alors sécrite
<!• // — y'js, — //'; rr ,1.
(l'esl une <''<)iiali.»n do Clairanf dtMit l'intégral'^ générale se conipos»» dos tanuft^nlos à une oonrlie C; le coroplexe pré«î('denl est formé par les tuii|L;onles au rylindro projetant la courbe C parallèlement à oz.
Lorsque ). ue renferme que p et q, on doit avoir une relation do la form»'
4> 0, ;) - Àr/' = o.
Ci! cas peut se déduire du précédent par la transformation de Legendre. i.e complexe hsI formé des droites parallèles aux génératrices d'un ctMie.
70. En delitirs du cas qup nous venons d'<.'xamiiier, les équations différentielles des caractéristiques de réquation (38} ne peuvMil admetlri' plus d'une combinaison inlfgrable. S'il eji existe un»^, ou j>ourra *>'en servir pour ramener l'équ'atiou à la forme ^^iiiiple
r + r'-v, y. z, p, fj; = o.
Ainsi, supposons qti'on cherche les surfaces dont les lignes asymptoiiques de l'un des systèmes se projettent sur le plan den xy suivant les courbes
l'équation aux dérivées partielles correspondante est
' \oy.i dxoi/ ' \o.vJ
et les équations différentielles des caractéristiques
d: — pdt. — qdi/ = u, ^./.-f^-^^y^o,
admettent la combinaison intégrable
i.'iS CHAPITMF. III
Si on proiiH pour variables indi.>}..emluiilPS r et f .c, »/) (n" 51), l'équalion prend la funne
r -|- np -}- }(i =• o,
n pl l ne ronfennani que l«*s \anabl''s iiulépendanlcs. Pour développer les cuK'uls, posons
X = .r, .y' = / ^a^ y) ; oïl a sucressivemont
^X c>.3 ' 3;/ dx
l'équalion f40" devient, toutes réductions faites,
On voit qu'elle est de la forme sinip^ ('^
(*-)Ji"»ine manière gt'TK^role. loul' 'quation lin- ;<ire de Informe
/• — 2/4- -L A*' ^ np -i- btf ^ cz -j- d=- f»,
où >, ff. i. c. </ ne renferment que -i et y. peu! 'Hre ramenée d'une infiniU' de manières .1 la fornip simple
II su:tii de pren'lre p. air nnjuelles viriables un»' intégrale df l'équalion
^ — ) ^ =^. 0 et une int/yrale de l'équalion
r — i')à -i- )-/ + fl'/) + l>q = 0. Toute solution de lequation f 10) perniet donc de la ramenf;r à la forme simple
r H- hn = 0 La. solution évidente z= t donne la iransformali"» du texte.
APf'LlCAMONS D1VI:HSES 153
pour que lo ^ooffinV-nl b sp rédnise à une <',onsfante, il faut que la Iotiption f{r^ y ) vérifie l'équation «lu second ordro,
où K pst uno constanio. l'ette «quation n'ost pas inléj^rable par la mélhode do Mongo, mais il est facile d'oMonir des solutions particu- 'i(;rf&. p.M- exemple
f -- A.r -fB/f.v - C). /■ = Ay -j- Ba-.
