Considérons mainfenaiU les équations de la forme

M) ri — s' -f ,:- =: o^

que l'on peut aussi écrire

lo premier mcnribrf de ciMte équation représente la courbure lolale, de sorte que lr>ute priuation de la fbrme»(41^ établit une relation enJre les coordonnées [x, y, z. /). q) d'un élément d'une surface intégrale, et la «'ourbure totale en cet élérrienl. I 'équation aux dérivées partielles des surfaces ù courbure totale constante rentre evidemnient dans celle catefri)rie: il suit di> là que les caractéristiques de cette équation sont les lignes dsympîotiques. On peut aussi en déduire un lliéorénif dû à Enneper : 'es Uyiie-i f'syniploiiquex d'une ^LO^face ù courO'jie constante sont des ligties à lorxion f.onslanie. Représentons par — a- la courbure totale constante: réqualion aux dérivées f<artielle3 est

vi — s'^ -i-o- a -t- /)- + </'^)- — o.

et les équations difTérentielles d«îS caractéristiques sont

/y* — pda- - rjcfy = 0. dp ^= ± u [\ 4- p'^ -f~ Y** <^y«

dq =- ^: a l -j- /)■ -j- 7*) dx.

les signes supérieurs ou iiiieneurs étant pns en même lomps

Pri'uons, par excm{)le, la première combinaison de signes ; les cosinus directeurs de l.'t binormale sont

'' IK — V — l

Vi + V' + q^ v'MVTv' n^- p' + v'

154 C.IIAPITIIK III

puisque l.j plan iisculftl»'ur •oinci<lt nvec lo j»l;m langoii». On déduit Ui> la

*ju. eu reniplai,unl t//y «M t/'y pi<r leurs valeurs.

un a de iiiênit-

il 4- p' i ffxjj-jhftOi

rfh — — û

\'i + p^ -V 7' et, par suite,

cf qui établit la proposition d'Kuneper. 72. L'équaliDn

que Ion rencontre dans la théorie mttcauique dt' li« chaleur, rippartient à Ifl catégorie précédente. Les équations dilïcroiitielles îles caiaftéris»tisques sont respectivement

iih — ihKc — >{f1y — o, ( (h — p{f' — Y"^// - O,

dp -f- odfj r:= o, iB^ < f/p — fidif = «>.

rff/ — adx ~ iK ' d(^ -\- nd.T = o;

les deux ileruières équaiiou> de chacun de ces s\slème.s sont dcS différei'tielle? exHct«,'S, de sorte que 1 équation [42, admet «leux iutygrales intermédiaires dépendant eliac-une d unt fonction aibilruire.

q — (lu: — 5 (p -j- rt.y,, '/ -^- «.< - / (/y — uy)

On anivt' aibenienl à 1 inle^^iale générale -^in^ aucun»- trausf«ui nation de contact. Posons

p -f ^'.v ^=2- p — "// "^ fi.

'y -- t/./- - ■^ (i). .y -j-- (IX — V ;|i;;

APri^lCAllONS DIVKH.:5l£S

on firc de Ik

~ 'la

„ Vlli

ol (»ii p'irUuil cos y;»1c.u-> (\*^ >', v, />, 7 «hiiis l;t i-'''a(i')'i

ol!t; d(;vifnl

dU -=: ^ ('ii - cl.) -1- ^-ti (./y. - ./f,)

On dédiiif de ià. en iiilégranl,

, ^ (t '^) fl ».n^: J)i .1- A,- f,, rf, ^ i- Ai (p; .«;

(.11 peut débarrasser celle J'oiinule de tout sif^iie de quadrature en remplaçant tp(7.) et •} (;'i) par des dérhvds ;p'(/.i et y' ^fl). L'nité^Tale générale est aloi's représentée par l'i^? l'orniides

•y rii) - - o {y^

(- r ^) î Vf^) - o-(a)(-^f(.)-^M^)

Je sigMalerai encore rOiy.jjition sui\'nnt/î(')

qiii admet deux itile^rale-i iiilermidiaires de|ietidant d'une toiiction arLUraire

f -^- y "(yro—q)

(I) f;ct «<finpli; est dir a M Sophus Lie H-'lfrùye luv nlliifm^inKnfr.Tisforinalio/tt

156 CHAJ'llHb III

ol que l'ou p«?ul, par roiTsequein, ramener a la forme v i:r o par une traiisforuiatioi) (le cont«n"l.

73. On «ibtionl dr nu^nie lc«> equaliims <U>nt lo-: raractéristinues de l'un des syslemes spnt des ]ig-ae<i de courbure des surfaces inlé^ralcs. L équation différentielle dos lignes île courbure

Il -f- )>'< ffx 4- p</(tf/ __ PU'' c -\- \ f 7"! (/i/ du dq

doit être une conséquence des équations linéaires tn t/,r, ^/v. •'/>, c/ç qui Uelinissenl les earav-ierisliqui-s. l*ar suite, les equalionsdes eara«.t*»risii((ues s«int de la furnio

dp — - /. i i, I 4~ P* ^^ ~r P'i^nl' dtf. z^ À [i<qdx -^ {\ -^ q'^ dp], d: = pdx -f qdy.

ou dtr I;ï lornie

dq -= Mp, pqax -f- 1 + •/' f/?/ =r X [(1 4 r'^ '^J" -h 7>9''»/).

Dans le premier cas, icquation est de là forme

,• y (1 4-.p>)) f/ — À .1 -^. 7'^] — (s — ^.ry ,= - „ ou. en développant.

les deux systènn's de earacténsiiques sont confondus, et lequalion expriuie une relation entre les coordonnées dun élenieîit [x. y. ■?• P- q) el le ravun d un»^ des sphei-es o>cuiatHceia la surface «-n cet élenienl. Dans le second cas, l'é<|uation aux dérivées partielles est

i4i) X»^;)^r-^i-|-|,«:ij-|->4fI4-«)'«/— (l-hyV.c 4-;jî;1-)-9«; -P^'l -•»;

les deux sjrstèmcs de caraclérislique»; sont distincts, et le second •système se' déduit du premier en remplac-ant l par

;1 r y') — Ipg />7 — ' ( l -f p* '

ce qui prouve que les caraclenstiques du second système sont aussi

APPLICATIONS DIVKHSKS 157

des lioiies de rourbijrc. Lesériiialiori'; élwliéesaux n^'Ho.fil soni des cas

p;ji'fi''u!iei"s d»' Toqualion g-piiérale '44\ Si f)n reiiiphic*;. dans celte

jvjfis -r 'I -r v-i c/v 1. . ,• I , . • -

canaJioM, /, n.ir -— — r~7 — r^ — r' I oquation obtenue est prc(;ise-

' il -f- 7'" ''•■'■ -^ P^'^'.i

menl Icquation dilTér<'nticHo <|iii donne les projections des ligne<^ de Cunrlujrc sur le plan des xy, de sorte que l'intégration de l'équatian ^44^ est. au fond, é(piiva!<'nte au problème suivant : A chaque «'iémenf {a\ y, -,/). q), on /'ai f correspondre d'u}K' fa<;o)i arhilraire fleur directions reclangu/nivps issues du point [x. y. -z^. et. situées dani /r plan de coei'Hrients angulaire^ p, q: irouKor les surf'a':i's qui, en chacun de leurs éiéments, ont pour tangentes a"w iigni':» de rourhure /en deux directions prérédenles.

Les équations (43) et (44) se déduisent respectivement des équations (381 et (41) parla Iransfonualion de M. ÎJequi chanj^^o les lin^ncs droites en spbores et les lip-nes asymptoliques en liji^nes de courlDure. On en déduit également toutes les ét|ualions, de la form»* '43). integrables par la métliodo de Mon^e. On les obtient en formant réqualion aux dérivt'es partielles i\cs surfaces enveloppes d'mi eopnplexe de spher^^s quelconques (n'*44). Dans un iin|>orlan1 Mémoire ('). déjà cité plusieurs fois. M. Soplius l.ic s'est proposé de résoudre le même problème poulies équations fil) ou, ce (jui revient au même, pour les t'»qnalions '44;.

l. étude de ce problème n<»us entraînerait trop loin ; nous énoncerons Seulement le rt^sultat suivant, relatif aux équations de la foime ^44;. Il es! rlair qu'une sphère «pielconcpu? est Miie intégrale de (^etle expiation ; sur cliafpi'.' spliére nous avons donc deux familb^s de courbes orlhoy^onales qui correspondent aux caractéristique.-^. J^oui' que les éouations diffen-ntielles de i un des systèmes de cararlérislinues admettent deux combinaisons integrables, il faut que, sur une splii're quefcoiiqne, le-i carncf''ns(iq>4rs r/o' ccKe fumdle so/e)il des cercle". Pour <]ue l'équation i44' admette Meux mtej^rales intermédiaires distir^ies. renfermant clia<,une une fonction arbitraire, d faut, par <ons»-quen«, que, sur une sphère qut^lcfMupie, les deux familles de <'aractéristiques soient composées de cercles, ou. ce qui revient au même, (pie les caractéristiques de l'une des familles soient des cercles passant par deux points lixeg. On vérilie aisément qu** ces conditions sont véritiées pour les t-qualions qui ont été inlé^'rées plus haut iii"* 00. 01 et f>^).

.\ppliquons encore ce résulta* aux équations de la forme (44: où X est une fonction des variables x et v Sf'ulenn-nt. \.f nroblème est alors

(MLcie/' complexe, im.hfsouùi'it Lin>.rn und Ku^ei-comph-Xf. mil ittiiui'ndung /tuf die Théorie pnrlifller fh/JerenlialqltuhungPfi [MnUierhuliiche Inn/den. I.V. p. I ibV Voir, en [)articulitT, i^i o- partie du mccnciirf . p. 18 '2?.3.

i:iH CII.M'I riîF MJ

é«|nivi«loi)t h colni-ri : HclofriiiinM' 1rs muIhc'^ (IdjiI I(\s li^nos de riMirbnro i\c lun des systrni» s s»' projellPiif sur Ir pion «Ins ry suivant iiiu" famille do rnurhos doniu'O. Sur iinr >pli. lo (pn'loonfpif, l»^*; lig^nes do courbure do l'un dr»; syslt-nn-s »;onl i\ rintrrsorlicn do colle spliôre m| dos l'ylindros dont los <,'oncral rires «'nt parollolos a (>/, «'f «pii ont pi)nr <lirootrii"es los conrl>os planes do la faniillo ionsid('Ti'M'. Pour <pio cos liefnes de oourlmro soient «l»'s cercles, ipn-llo ipi»- sciit la spfière donnée, il faut ovideinnienf que ees cylindres se ro<liiisent à des plans, et on est ramené à chercher les snrfaees dont les lijrn'^s de eoiirhnre de l'un dos systèmes sont situées dans les plans taiip^nts d'un cylindre. Des Considérât ions tout à fait pareilles à celles du n" <m prouvent bien que, dans cr cas. Ic^ étpiations de ce sysl«Tne de caractérisliqyes aduieltenl doux condtinait-ftns intégrables. Pour que le second système de caractéristiques donni; aussi une inté-oivdo intermédiaire avec une fonction arbili'aire. il faudrait «pio los caraclérist,i«pies du pr<Mnier systén)e situées sur une sphère passent par deux points tixes, c est-adire que Itr cylindre ?e réduise à une llffno droite. ( )ii retombe sur les surfaces d<' .l.i.icliisuitah

D'uTic manien' trcuorale, si on»'lierclic les surfaces, diuit le«î ligues de courbure do I un des systèmes si»ut situées «ians les jdans tangents d'une sin^ace developpyble. l'équation '44^ correspiunhuite admet une inlé{Ti'!de intermédiaire du ])reniior ordre, avec une fon( imu arbitraire, et une seub:. satif dans le cas qui vient d'être rappelé.