BF (W , ^F\2 ^F/'<)F :^F
La première montre que F iuî doit pas dépendre de y : on a ensuite W ,^F\2 ^K -àF
et on en tire l'acilement une intégrale intermédiaire avec deux constantes arbitraires u et /y,
p z^la \l'x — a'^q 4- b.
Toute autre intégrale intermédiaire est de la forme Vh\ p, q) r^ o. et s'intègre par quadratures; la solution du problème de Cauchy est donc ramenée à une quadrature.
On peut aussi ol>tenir des formules pour représenter l'intégrale générale. Une intégrale intermédiaire s'obtient en éliminanl a entre les deux équations
\fx ^ aq -\ f \a] ~ 0 :
pour intégrer celle équation du premier ordre, im.tginons quon prenne pour variables indépendantes x -— q, et une autre variable p délinie par la relation :
SX = 4 — ^' lfj)i
*îiz «.ILVflTRi: IV
oe qui iluniio
()ii a jiiibi cr, p. ç on function clo x el «Ji i ; ]n>\iv délenniner v, il suffit <l rx[»rimei qun
esl une differoiitifll»' cxacle; Ce «jui Honne,
et. par siiil«, 1/ sobtienl par une quadrature. On a ensuite ^ par une nouvelle quadrature el finalement x, y, z. 7), q s'expiinient au moyen des variables a, p par Jes formules BuivaaLeS
J.es valeurs dii r, .s, / se ealcuKroiil ensuite au moyer» tle^j trois relations
Comme on devait s'y attendre, ces dérivres secondes sont hétérogènes à l'inft'giale [»ar rapport h a pt homngpnes s l'intégrale par rapport à p. Ou peut "intcgreT de la même façon les équations de ia forme
où X est une fonction quelconque de la variable x.
riltOlUE GFiNÉluLK DES CARACTFfaSïlOUES 223
ExEncici.s
I" Les seules équation*!;, dont les cnractérisliques des deux systèmes supposés HisUiiots sonld«'s lignes asymplolinuos, sont de la forine :
rt'-s^ -f /■ r^, y, z,p, q) = o:
2" Les équations dont les deux systèmes de caractéristiques sont confoadus. et pour lesquelles ces caractéristiques sont des lij^iies asymptotiqueS, sont de la forme :
X étant une fonction de x, j/, z, p, q; .']• Taiite équation fîe la, forme
P [ X.y. t, p,q; rt — .?V J = o
a un syslèTne de caraciéristiques du premier ordre, formé de lignes asymplotjqucs. Heciproque :
4"" Tiouver les équations les plus généralps pour lesquelles les caracléi'istiqups d'un seul des syslemes sont des li;^es asymntotiquos;
5° Tiailer les Tnémes questions en remplaçajtt les lignes asymptotiques par les lignes de «"ourbure ;
6" Si les caracléristiques forment sur cliaque surface ititégrale un réseau Ct>njug-ué, l'équation est homogène en r, *•, / ;
7** Si les caractérisiiques forment sur chaque surface intégrale deux familles de courbes ortbogonab'S, l'cqualiou est de la forine :
F P». !/, ', p, 7 ; pg>' — f • -f p^)i, pqi — (* -f- ?')*] = <> ;
H° Si une équation du second ordre admet des caracléristiques du premier ordre, définies par trois équations homogènes enrfrtr, dy, dp, dq,
"H» (û-', y, r,P, q: dr, dy, dp, dq) ~ o, Hg z^ o, II, = o.
les intégrales de cette équation sur lesquelles existe une famille de caractéristiques du premitT ordre vcrilient deux équations simultanées du second ordre linéaires en r, j-, i :
224 CHAIMTKF IV
Erempie: ri — ^«'x-/' -}- pi/ — qs .- o Ampère) : 9" Les surfaces eiiveli»ppées par la famille de surfaces
* -f- ac 4- yn (a) -I- ^ h i («' = o,
ou n esl un i>ar.<mflrc variable, rt [a] et ^ (^^ doux fonctions arl)ilraires, vérifient une même éqiiahun aux dérivées parliolles du second ordre; 10' Intégrer jpqiiation
TABLE DES MAilÈUES
CHAPITKE I»KEMU:H
Étude d'une clasao particulière d'équations — Problème de Cauchy
Équations auK dénvéé'S par|i«IJes fies surfaces «iit;endi>îiis par les couibos dua complexe, «ta emeloppées itar les surfaces d'un complexe. - inlégrarion de ces fiquations. — inlégraies sirii^'ulières du premier ordre. — liéfiiiilion de Imlégiale générale. — Pioblciu»' de Caucliy. — Hcniarques sur la méthode de la v;»riation des constantes . . 1 -3B
CHAfimi; Il
Les èquaiiona de Monge et d'Ampère
F.tude du prohlèmft de Caiichv pour les <''(|u;Uion« lînéarrcs eu r, s, t. ri "i-. — Denniri.)!. <ie> multiplieilf.> <.aiacLéri>liques. Généralisation de la notion d intégrale. — .'\p|)lit:ali<ins à divers exemples. — .Meihode d'intéj^ralion de'Mongo. — Solution du problème de CaUi'Ky puur l'équation s — o. — Recliercho gwnerale des intégrales interincdiaires. - - Fxamen des didérents cas où il existe des )ntéjiral»î>^ intr»méJiair*v>. — Mctho-le de tPansfcTmation d.\rnpere. — Remarque d'InischeneKkv. — Integrati'Tn de lequaLiiin aux déiivées partielles des surfaces ininima d'apiès Ampèie. GéncialisaLion do cette inétiiode. — Solution du prcbieme de Caurh) poui 1rs «>ui faces de translation 3y-i2;i
UTTr-aPATIOS DE*. CyrATIHNS. H
