V-x / àa ^ ày • ^''^ ^ ••• ^- y't) (a

Représentons, poui- ahr»'fj^or, par la lettre v la valeur (!•• q ; on a

7=1/, P == e - ^' TT*

cl, par hypoLlièse, ces valeurs do /) »'t do y ne renfexnient f|iie 3. (a) et ses dérivées jusqu'à l'urdre h. On a ensnifc

^ ' ô^ 3jc àr ' ?ir 7)0. àœ

et on en. tire

bv /^\ /— \

les dérivées -^' r- ;r^ sont ovideniniont lutrnoîrmes a I inleoralt; ?x èx ^-t- '^ '^

, réiativpment à a. el la nouvelle dérivée (|ui s introduit :p'''+ '^;a) ne peut apparaître que dn-ns le terme — : -f-^w portant ces valeurs de r, *, f dans l'équation du second ordre proposée, elle s'écrit:

P. Q. R ne renformanf quea;.y< ^, p. g, -r-' n ' r'^ r^' Comme la dérivée 5. f* • '> (a) ne fitjure (juc dans le quolieiit — : '- ' il faudra donc que

iiU OHAHITRK IV

l'on ait séparëmoni :

et ces équations, jointe» aux deux relations

3ï "2^ èz iy

'àx ~ ^'^ ^ dx 'b^ ^ ^ ^'

détermineront, si elles sont compatibles, j/ et s en ftmclion de .rel de x. Il est aisf de vérilier que le calcul précédent est identique à celui que l'un devrait faire pour obtenir les conditions auxqnelie^ doit satisfaire une caractéristique du premier ordre. En effet, si on considère, dans les équations (68), r, *, t comme des coonJonnées courantes, et

— ■ -r- comme un paramètre variable, ces équations représentent une

droite ; léquation 60 est cçlle qui donnerait les valeurs du paramètre •«.'orrespondant aux points d inl^rsection de cette droite avec la surface ropré<ienléc par l'equalion du second ordre. Les équations (70) expriment donc que la droite

"Jr , au "àç , dy

est située tout entière sur la surface représentée par l'équation du second ordre; les équations (70^ sont, par conséquent. les équations différeniieljps des cararleristiques du premier ordre.

100. Prenons, par exemple, l'équalion considérée par Ampère (') (71) si -^ X {)•/ — *«)» = o.

En éliminant r et s entre celte équation et les suivantes

2x ^ zx ^x ~ ix

on est conduit a l'équation :

\^x) ^ \ :'X Kbx) YôX ^iX x) )

^ ' P \dx ' 2x bx) ^- I (1) Journal de l'École Polytechnique. XVII» cahier, p. f.4

THÉORIE GÉNÉRAT-F. DES CAMACTERISTIQUES 221

qui se réduit à une identité pourvu que l'on ait :

l/équation proposoe admet donc une laniille de carnclerisliques du premier ordre. Pour savoir s'il existe des intégrales intermédiaires du premier ordre, nous avons à n?rhercher les int<yrales cointnunes aux dcu.\ équations

en prenant pour variables ind*^pendantes x, y, /), 9 et v — z — qy. elles deviennent