NTÉ0RATI0>' DES KQIATIONS

162 CUM'ITHI-: VII

appli»iuc ,1 LL- >\.slùmcla nu-lliode île Muvcr ' , on bail «|iie 1 iiilcyralion est ramenée à icUe d'un système de r ci|ualioiis ililTéronlielIes ordinaires du premier ordre, ou, ce (jui revient au même, à l'intégralion d'une équation difTèrontiolle unique d'ordre r. Si on applique cette méthode aux systèmes linéaires qui déterminent les invariants d'une famille de caractéristiques, nous avons vu (|u'il ne peut se présenter «|ue trois cas. Si le premier système, qui n'est pas incompatible, admet une seule intégrale, on l'obtiendra par l'intégi-ation d'une équation différentielle du premier ordre. Le premier système après celui-là, (|ui admettra plus d'une intégrale distincte, en admettra deux, et comme on on connaît déjà une, la détermination de lu seconde intégrale exigera 1 intégration d'une nouvelle équation diiïérenlielle du premier ordre [h. l.a recherche des invariants exige donc l'ititéfjrnlion de deux équations di/féren(ie/h's ordinaires di>. premier ordre.

On voit de même que. lorsque le premier système c]ui n'est pas incomiiatible admet deux intégrales distinctes, la recherche des invariants est ramenée à Y intégration d'une équation différentielle ordinaire du second ordre.

Enfin, dans le cas où l'équation admet trois invariants distincts du second ordre pour une famille de caractéristiques, on aurait à intégrer une équation différentielle ordinaire du troisième ordre.

165. Lorsque les deux familles de caractéristiques d'une équation du second ordre sont distinctes, toute caractéristique d'ordre n appartient à une infinité de caractéristiques d'ordre n -j- 1, dépendant d'une constante arbitraire, dont ladétermination exige, en général, l'intégraiion d'une équation diiïérentielle ordinaire du premier ordre. Ces caractéristiques s'obtiennent sans aucune intégration, toutes les fois qr.e le système considéré admet un invariant d'ordre n -j- 1. Pour fixer les idées, supposons l'équation du second ordre proposée mise sous la forme

r + fi^.y, ^,p. q,s, Ij = o;

une caractéristique d'ordre n est complètement définie si on connaît, en fonction d'un paramètre variable'' a, les valeurs de

x, y, z. p't,o, Pi.\ Pi.n-i'i P<y I. 2'o, 2i •••' V<>,'i-

i'uiir trouver mie earactérisli(pie d'ordre n -f- 1 renferniaiit la précé-

(') Equations du premier ordre, p. 58 et suivantes. {-j Equations du premier ordre (n* 33).

dente, il .suffira de euniiailre les valeurs des dérivées p,„ etpo. ;i + i le long d<' eetle caractéristique; on a évidemment

dpo. n (1^ , ^ ^.'/

ci<i dx dx

De plus, si u est un invariant d'ordre /< -(- 1 de ce système, on doit avoir aussi

et les deux équations précédentes permettent de déterminer jo, „ et /Jq. n + i en fonction de a et de la constante arbitraire C. On peut remarquer en passant que cela suffirait pour établir qu'il ne peut y avoir plus d'un invariant distinct d'ordre n -)- 1, lorsque n est supérieur à l'unité (n" 161).

Plus généralement, si le système de caractéristiques considéré possède un invariant d'ordre n -|- 1 et un invariant d'ordre inférieur, on pourra en déduire de proche en proche, sans aucune intégration, toutes les caractéristi(|ues d'ordre n -\- \., d'ordre n -|- 2, etc., qui renferment une caractéristique donnée d'ordre n. Prenons, par exemple, l'écjuation rs — 1=0; elle admet une famille de caractéristiques du premier ordre, définie par les équations difTérentielles

dij := o, dz = pd.r, dpdq = dx'^,

dont l'intégrale générale est

y = î/o. ^t; — xfix) — z>'{x), p =9" (a), q - a Y (a) — 22^' (a) -f 2cp (a), - =J ^f (2) <?'" (2) ^«1

' o (a) étant une fonction arbitraire. D'autre part, on a, pour les caractéristiques du 2- ordre de la même famille, l'invariant du second ordre

on obtiendra donc les caractéristiques du second ordre, en ajoutant aux équations précédentes les deux relations

Oa Oa l'a

d'où on tire s = x, t = — On aura de même les caractéristique»

16i CHAPITRE VII

du troisième ordre en se servant de linvarianl ;; ;t- «m s'^p^^ -[" Po3' et ainsi de suite.

166. Nous allonls maintenant étudier dans ce paragraphe les équations du s(fcond ordre pour lesquelles les deux familles de oaractéristicpies ne sont pas distinctes. Une équation de cette espèce représente, quand on y considère x, y, 2, p, q, comme des constantes, et r, s, f, comme des cordonnées courantes, un plan parallèle à un plan tangent au cône T) ayant pour écpiation

ou une surface développable, enveloppe d'un plan mobile qui reste constamment parallèle à un plan tangent au cône (T) (I n° 78). Dans le premier cas, l'équation du second ordre est de la forme

(46) . Ah' + %\Bs 4- B»/ -h K = o.

A, B, K, étant des fonctions de x, y, z, p, q ; dans le second cas, l'équation du second ordre s'obtient en éliminant le paramètre m entre les deux équations

j r -\- 2sin 4- /??i» -f- ^ ix, y, ~, p, q; m) = 0,

Pour la question dont il s'agit, on peut se borner à ce second cas ; en effet, étant donnée une équation de la forme (46), on peut toujours lui appli(juer une transformation de contact convenable, de façon à la ramener à une équation ayant un terme en rt — s^ (n° 28). La nouvelle équation sera représentée par un système de la forme (47), où •]/ sera une fonction entière et du second degré de m.

Nous prendrons, par conséquent, l'équation du second ordre sous" la forme

la fonction /"ayant la valeur

(49, r = Irm -f tm- + 21 fr, y, z,p, 7; m), '

et m étant défini par la relation

(50 1 s -\- mt -f ;-i = o.

cm '

On d«diiit de là que, u désignant une des variables ce, ;/, ^, p, q, on a

^mi>K

ndis que

On a aussi

de sorte que m est la racine double de l'équation caractéristique.

Cherchons d'abord s'il peut y avoir des invariants du second ordre, c'est-à-dire si le système

peut admettre des intégrales renfermant 5 et t. On a déjà

de sorte que l'intégrale générale de l'équation A {z,) = o est une fonction arbitraire de a;, y, z, p, </, m. Prenons alors pour variables indépendantes

^, y, -, 2i^ q, m, t, et posons

? [x, y. -, P. î, s, t) =z¥ [x, rj, -, p, q, m, t) ;

le système (51) devient'

R,p, ^F , .>F :^F ,^ , , 2 , on , ^F , ^F/^m\

^ ^ dx ' o: ^ ^p ' ' ' ^'' ' :)<^ ' Dw \dx/

, \ ^F , ^F , :^F , ^F ) , ?F /clm\

166 C.HAIMTnE VII

La dernière équation peut encore s'écrire, en réduisant et tenant compte des relations précédentes,

B (F = — + 7» — + — i p + qin ) -f- r- >» T -2f — — -^

. DF \ /dm\ , /(hn\ , \(Ii/)