Exemple V. — Reprenons encore l'équation

(14) s — pzz=o,

qui a été intégrée au n" 47. Un de^ systèmes de caractéristiques admet, comme on l'a reconnu, deux cbmjjinaisons'intégrables du premier ordre,

dt/ = o, d (^q^ —^\ = o.

Les équations différentielles des caractéristiques du second système sont

dx = o, dz = q^dy, dq^^q^dy, dp^ = pyzdy, dp, = (jj^z + pj) dy, dp^ = (p^z + Sp^p.^) dy, ...

en posant

On a d'abord la combinaison intégrable dx = o, et, si l'on pousse jusqu'au troisième ordre, on trouve une nouvelle combinaison intégrable

'3pl - ^p,p 2pi

Les trois équations :

(15) S-p,. = 0, g,-Ç=^iy), ^tP^P'-M^^C^^

forment donc un système complètement intégrable, quelles que soient les fonctions arbitraires ç(//) eb 'l>{^)- Pour intégrer ce système, prenons comme inconnues auxiliaires p, et pi ; on déduit des équations (15 )

et on es. conduit à intégrer le système d'équations aux différentielles totales

l dz = p^dx + I Y + ? (y) I dy,

(16) ' dpf = p-^dx -\- PfZdy,

Pour cela, intégrons d'abord les trois équations (15') de la première ligne ou, ce qui revient au même, l'équation unique du troisième ordre

le premier membre de cette équation, qui se présente dans l'étude des équations différentielles linéaires du second ordre, ne change pas de forme quand on effectue sur z une substitution linéaife quelconque. Si donc - =: X est une intégrale particulière de l'équation (17), l'intégrale générale de cette équation est

a, ô, c, rf étant indépendantes de a-. Comme •]/ (x) est une fonction arbitraire de X, il est clair qu'on peut prendre aussi pour X une fonction arbitraire de x, et l'intégrale générale du système (16) est de la forme

136 CHAPITRE Vil

précédente, où a, b, c, rf, désignent des fonctions de la seule variable y. On jieut encore écrire cette intégrale

et si on substitue cette valeur de s dans r^ — 7-5 en écrivant que le

résultat est indépendant de X, on trouve les conditions

H (.V) - 6, (y) 6, {y) = o, 20:1 [y) + 6^ (y) = 0. Soit O3 (y) = Y ; on déduit des conditions précédentes qu'il faut

prendre 6^ (y; = — 2Y', 6, (y) = r^,i et on retrouve le résultat obtenu

plus haut (n* 47).

Exemple VI. — Soit h intégrer Téquation

rs — p = o,

à laquelle se ramène, par la transformation de Legendre, l'équation dAmpère étudiée précédemment (n" 100).

Four un des systèmes de caractéristiques, on a trois combinaisons intégrables du second ordre

pour le second système, on a une combinaison inlégrable du premier ordre dy =: o, et une combinaison intégrable du troisième ordre,

L'intégration de l'équation proposée est donc ramenée à celle du système

rs — p = o, - = <v[s — œ\ ?o3 + " P<î = '!'(y).

avec deux fonctions arbitraires o et !/. Si on prend pour inconnues au xiliaircs p, g, et (, ce système est équivalent au système complète-

ment intégrable d'équations aux tlifférenlielles totales

dz = pdx -}- ({dy.

dq = sdx -\- tdy,

dl =Pi:,dx4-pQ^dy,

où on suppose que s est remplacé par sa valeur tirée de l'équation

P\-2 ^^ Po3 s'obtiennent au moyen de la relation obtenue en difîérentiant la précédente par rapport à y et de la dernière équation

Po3 + -Pn = '^{y)'

L'intégration du système (A) présente une simplification, car s étant supposé remplacé par sa valeur, la seconde équation ne renferme plus que les variables x, ?/, p, et leurs diiTérentielles. Pour l'intégrer, posons

et remplaçons » par -^^ ; il vient s .= w;p (a), x = Uf (a) — a, et l'équation

dp = - dx -f- sdy

devient

j fwcp' (a) — 11 , , ,

On en déduit

l'équation dz = pdx -\- qdy devient alors :

dz = 11^ j (f (a) du -\- iCf' (a) doc. — du] -f- qdy ou encore

dz = 2»^ j urf' (a) — 1 t cZa 4- j u^-f (a) + q j dy.

138 CHAPITRE Vil

Par suite, l'expression générale de z est de la forme

i = 2j«»|Mf (a)-l!(/a + Y,

el inversement, quelle que soit la fonction Y de y, on obtient ainsi une intégrale de l'équation proposée. On peut ne laisser subsister qu'un

seul signe de quadrature en remplaçant :p' (a) par , .•

157. Supposons maintenant qu'un seul des systèmes de caractéristi(|ues, supposés distincts, de l'équation

(19) r + /-(or, y, z, p, (7, 5, 0 = 0

admette deux combinaisons intégrables distinctes

dv = 0, du =. 0,

l'une au moins des fonctions w, r, renfermant des dérivées d'ordre n, et aucune ne contenant de dérivée d'ordre supérieur à n. Pour fixer les idées, supposons que u et v soient deux intégrales distinctes du système d'équations

o\xm^, m^A-r^Y l—y (j-^^^^A ont le même sens que plus haut

(Chap. vi). L'équation proposée (19) admet une intégrale intermédiaire d'ordre n

avec une fonction arbitraire ■} ; et inversement, quelle que soit la fonction •]/, les deux équations

forment un système en involution.

Pour résoudre le problème de Cauchy par cette voie, supposons donnée une multiplicité M| d'éléments du premier ordre, c'est-à-dire

LA MÉTHODE DE M. DAJ\BOUX 139

une courbe (r) dont chaque point est associé à un plan tangent à (T) en ce point. Cette multiplicité M, détermine en général une surface intégrale admettant tous ces éléments, sauf dans le cas où elle appartiendrait à une caractéristique, cas que nous négligerons. Soit (S) la surface intégrale ainsi déterminée par la multiplicité M, ; on peut calculer, comme il a été expliqué (n" 16), les valeurs de toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue le long de la courbe (r). Si on substitue les valeurs obtenues dans u et y, ces deux fonctions ne dépendent plus que d'une seule variable, et la relation

détermine la fonction inconnue .{/. Cette fonction une fois obtenue, le problème revient à trouver l'intégrale du système en involution

qui passe par les oo * éléments du n"" ordre définis par la multiplicité M, et l'équation r -f /" = o. Nous savons que certte intégrale 'est le lieu des caractéristiques d'ordre n communes aux deux équations, issues des oo* éléments du n""» ordre dont il vient d'être question .

On obtient ces caractéristiques communes par l'intégration du système d'équations différentielles ordinaires

dy =■ m^dx, dz = Pio d^ -\- Po. i dy-,

dpi,o = P2,odx-\-p,,i dy, ..., rfpi,„2=pj,„2C?a;^-p,,„, dy, dpo, 1 =Pi,i dx -\- Po, 2 dy, ., . , rfpo, n - 1 = Pi:n - 1 dx -{- po,„ dy, (23) ( (d\u-'\.{v)]\ :> \u - ■} (y)] rfp,,.. ^ ^ 1 \ dx / *" i)p,, „i dx '

/d \u — ']> (?;)]\ :>[u~<\> {y)] dpo,n \ dy ). Pi,n-i dx ^ '

composé de 2n -}- 2 équations entre 2n -f- 3 variables a;, y, z, pio. Po.ii ... p,„i, po,n; les dérivées Pi, o,p.>,i, ••• Pi,„2 sont supposées remplacées par leurs valeurs.

Ainsi, lorsque l'un des systèmes de caractéristiques d'ordre n présente deux combinaisons intégrables distinctes du = o, dv = o, la solution du problème de Cauchy est ramenée à l'intégration de deux systèmes successifs d'équations différentielles ordinaires. Le premier de ces systèmes,

140 CIIAIMTRK VU

qui donne u vt v ne dépend pas des conditions initiales. Le second système à intégrer dépend^ au contraire, des conditions initiales (').

158. La méthode précédente s'applique encore au cas où les deux systèmes de caractéristiques seraient confondus-. Lorsque ces deux systèmes sont distincts, on peut la modifier un peu. On a vu en effet (n° 138) que le système d'écjuations dilTérentielles (23) peut être remplacé fmr le suivant

j dy = m^dx , dz = pio dx -\- po. i dy

\ dp,o = Pî,odx-\- piidy^ ..., dpi,n-i = Vi,n-idx-\-pun-idy^ (24) i dpo,i =Pi,idx -{- Po, idy^ . . . , dpo, n-\ = Pi, „ -i dx-{- po, „ dy,

auxquelles on ajoute réquation

Introduisons une nouvelle variable auxiliaire a en posant î? = a et, par suite, u = >{» (a). De ces équations, on peut tirer deux des variables ^1 y» -. Pio' ••• Po.n en fonction de x, <\i (a) et des 2n -}-' 1 vaiiables restantes. En substituant les valeurs de ces deux variables dans les équations (24), qui sont précisément les équations différentielles des caractéristiques de réipiation

n'admettant pas les combinaisons intégrables du = o, dv =: o, on est conduit à un système de 2n -|- 1 équations différentielles à 2n -j- 2 variables pour déterminer les caractéristiques communes aux deux équations

Ainsi présenté, le procédé apparaît comme une généralisation de la

(') Dans la note déjà citée des Comptes Hendua (1872), M. Maurice Lévy annonce qu'il possède une méthode générale pour intégrer toutes les équations aux dérivées parlielies du second ordre, dont lintégration se ramène à celle de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. D'après M. Sophus Lie, cette méthode serait identique, dans ses traits essentiels, à celle qui est développée dans le texte. M. J. KôniparamenéégaleinentlasolutionduproblèniedeCauchy à l'intégration d'équations différentielles ordinaires, dans le cas où nous nous plaçons. Sa méthode sera expliquée il la fin du chapitre.

LA MÉTHODE DE M. DARFIOUX Hl

méthode omployco par Ampère pour intégrer une équation

Ilr + 2K« -f U + M + N (rt — s») = o,

lorsque l'un des deux systèmes de caractéristiques du premier ordre présente deux combinaisons intégrables distinctes (*) (n° 54). On pcul, du reste, l'établir en généralisant le raisonnement même d'Ampère. Soit (S) une intégrale de l'équation

(25) r -f /- (,r, ij, z, p, q,s, t) =o;

(') Lorsque n = 2, Ampère avait déjà indiqué somuiairement celte méthode. Voiri le passage de sou Mémoire auquel il est fait allusion plus haut: « Cette réduction des équations qui doivent conduire à lintégrale primitive à des équations qu'on peut intégrer comme si elles étaient aux dilTérentielles ordinaires, dont le nombre n'est inférieur que d'une unité à celui des variables, n'a pas lieu seulement lorsque l'équation donnée est de la forme

ïlr + 2Ks + U + M + N (rt - s'^) = o,

mais elle a lieu de la même manière pour toutes les équations aux dilTérentielles partielles du second ordre susceptibles d'une intégrale intermédiaire. On trouve aussi dans ce cas, par le procédé expliqué dans un des paragraphes précédents, deux équations relatives à^et à «. qui parle changement du signe du radicalde la valeur de

• ■> donnent deux autres équations où ce sont x et ? qui sont considérés dx (a '

comme variables indépendantes ; la seule diflèrence est que, quand les dérivées du second ordre doivent être homogènes à l'intégrale, parce que l'équation donnée contient d'autres puissances ou d'autres produits de ces dérivées que W — s'', on a nécessairement dans le calcul dix quantités x, y, z, p, cj, r, s, t, a et ^. entre lesquelles, outre les quatre équations dont nous venons de parler, on a l'équation môme donnée et les trois suivantes

dz , (bi

diw=p-^'^iZ'^

dxyix ax{'x

ux[-x dxcL

Parmi ces huit équations, il y eh a une qui ne contient que les quantités mêmes X, y, î, p, q, i\ s, t, et cinq où il entre seulement de plus leurs dérivées relatives il X, prises en regardant x et a comme les deux variables indépendantes. Les deux autres seront relatives à .r et à fi ; mais on pourra les ramener n avoir x et a pour variables indépendantes, en y introduisant des dérivées relatives à ». S'il y a une intégrale intermédiaire, elles fourniront deux équatioQs de la forme

qui serviront, conjointement avec l'équation dr)unéc, à éliminer ;•, s, l et leurs dérivées relatives à x des cinq autres, en sorte qu'on aura dans ce cas cinq équations du premier ordre, entre les sept variables x. »/, :, p, q, a et ,5, qu'on pourra toujours intégrer comme si elles étaient aux dillcrcntiellcs ordinaires, parce (|u'elies ne contiendront point de dérivées relatives à a, ce qui réduira à six le nombre des cpatitités considérées comme variables dans cette intégration. » {Journal de l'Ecole polytechnique, .Wlll'' cahier, p. 10-71.)

dG'

rapportons celle surface à ses deux familles de caractéristiques comme courbes coordonnées, et soient x et 8 les paramètres de ces deux familles de courbes. Alors x, //, c, pi,o. Pi,i, •••, Pi.n-i, Po, i, •••, po d sont des fonctions des deux variables a et p qui satisfont aux 4n-|-2 équations simultanées

Oz l'x c'a t'a l'x

— — =;^ o-T" H-;-*l.l ^-••••' ^ = /)2,n-2T- -j-pln-i ^T»

Oa Ox t'a l'a Ox «.'a

^T" =Pl.l >- 4-P0.2T-' • • •' ^-— = Pi, „ - , T- + Po, n T-'

I t'y ^J7 i*£ ^ï' j^ iW/

I ^p,,fl ^j: i^y ^^1. ,.-2 ^J^ , t\y

^Po.i ^'P , ^.'/ i^Pu. « - I ^C , ^y

i^?^jl>?+ l>? +'«*-^-*^'

n?, et l'^jj sont les racines de l'équation caractéristique

et on su[)pose pï,o, pj,i, .-•, p.>,i, 2 remplacés par leurs valeurs en fonction de x, y, ^,pi 0. •••, Po, n- Nous savons a priori que ces 4n -j- équations à 2/i + 3 variables sont compatibles, puisque l'équation r 4" /"=-o admet des intégrales. Inversement, tout système de solutions des équations (56; et (27 . fournit une intégrale de lécpiation

Cela posé, considérons le cas où les équations (27) du second système de caractéristiques présentent deux combinaisons intégiables distinctes

du = 0, c/y = 0 ;

ceci prouve que le long dune caractéristique de ce système (a = C'*.) u et i; restent constants et ne varient que lorsqu'on passe d'une carac-

léristiqne à une autre du mèniu système. Par consécjuent, m et y sont des fonctions de la variable a seulement; on peut évidemment supposer tt = a, et on en déduit r = 'li (a), la fonction •]/ (a) étant indéterminée. On peut donc ajouter aux équations (26) les deux nouvelles relations

K = a, V = ^{ol) ;

si de celles-ci on lire deux des 2n + 3 variablesa;, .y, z, pi.o, •••, Po.n en fonction de a et des 2n -j- 1 variables restantes, puis qu'on substitue dans les équations 26)' on est conduit à un système de 'in -\- i équations différentielles ordinaires à 2?? -\- 2 variables, y compris a, que l'on peut reo'arder comme la variable indépendante. L'intégration de ce système d'équations différentielles ordinaires Yious fera connaître X, >/, z,p,o, •••, Po.n t*n fonction de a et des valeurs initiales, qui ne doivent dépendre que de la variable p seulement. 11 reste à choisir ces valeurs initiales de façon à obtenir une intégrale. En généralisant la méthode de Caucliy comme on l'a indiqué plus haut, on démontrera qu'il suffit que ces valeurs initiales vérifient les équations ?• -\- f = o, u = <\i (u), et les 2n premières équations (27).

On voit, d'après cela, ([ue le progrès essentiel à accomplir pour généraliser la méthode d'Ampère consistait à étendre la notion de caractéristiques, en ne se bornant plus aux dérivées du premier et du second ordre, mais en considérant la suite des valeurs prises par les dérivées d'ordre quelconque. C'est ce qu'a fait M. Darboux au début de son Mémoire.

159. Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont distincts, on ne peut, en général, intégrer les équations différentielles (23), tant que la fonction ■]>, qui figure dans ces équations, reste indéterminée. Il n'en est plus de même lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus; alors, en effet, du = o el dv — o sont aussi des combinaisons intégrables 'n° 138) des équations 23), et dans les deux dernières équations de ce système

on peut remplacer!/' (i^) par une constante C, puisque v = O" est une intégrale première. Le système d'équations différentielles à intégrer est

donc le suivant

CFiAPiTRE vu

dy = mdx, ds = pi, o <^ -f 7>m dy,

dpiX, 1 = Pi. 1 djO -^ Po,îdy, . . . , rfpo, n - 1 = Pi. n - 1 «'■^' + Po.n f/y,

dont on connaît déjà deux intégrales premières

et ce système ne renferme plus qu'une constante arbitraire C, au lieu d'une fonction arbitraire, comme dans le cas général. Soient

y — r , (a*, a*Q, y„, -Tjj, TT) 0, ^1. 1, •••, TTi,,, — 1 ; ~o, i, •••^ ^o, « î ^-'j,

^ ^ ** y l*^» "^o» ^0' ""O- '^l 0' • ; ''^0, ni v^j»

Po.n i* i H J (-^5 I t^j;

les formules qui représentent l'intégrale générale de ce système,

^0' .'^0> "^(1' "lOi ^1. I» "M TTi „ I ; TTo, I, ..., ~0, n

étant les valeurs initiales de x, y, z, pio, ..., po,„. D'après ce qui précède, pour que les formules f29) représentent une intégrale dol'équation r -|- /"-= o, il faut prendre pour ces valeurs initiales des fonctions d'une variable indépendante p satisfaisant aux conditions

Tfl.n — I

ifi.», 7t2,t, ... "j.n-j s'exprimant au moyen de tt),©, •••, 7ri,„i,ro, i, ...,

LA MÉTHODE DR M. DARBOUX Ho

■xo,n comme- p2.n •■■■, P2,n~i au moyen de pi,o, .-., Po.n- Reprenons, par exemple, le problème de Canchy; si on se donne une courbe (T) et une surface développable passant par celte courbe, on connaît par là même ^ci/o' -^0' ^1.0' ^0.1 ^^ fonction d'une variable auxiliaire p. Si la multiplicité précédente n'est pas une caractéristique, on en déduira, en général, par des calculs alfi^ébriques, comme on l'a déjà expliqué bien des fois, les valeurs de 7ri,i, ..., t:i,„i, tto.î, ... :to.„ en fonction de p. Quant à C, remarquons que .lorsqu'on remplace, dans u et u, x, y, z, Pi,o, ■•■iPo,n pai' •^''oiyo' ^0' ^'.0» ••• ^0.1 respectivement, u et v deviennent des fonctions d'une seule variable p. Soient u^ et v^ ces deux fonctions : la relation

détermine ^. On a aussi

et comme C est égal à <{/' (y), on a aussi

Il est facile de déduire de là des formules pour représenter l'intégrale générale de l'équation proposée, où figurent explicitement deux fonctions arbitraires d'un même argument et leurs dérivées en nombre fiai, sans aucun signe d'intégration ('). Supposons, en efTet, que \'6n prenne pour .'/;,, uae constante numérique, puis que l'on pose

.vo = ?. -0 = ?(?). ■^io = 'l(?);

on aura, par conséquent,

TTo.l = <p' (3), -Jro.2 = Cp" (3^, ..., 7To,„'= T;'"^ (8),

TT,,, = -y (p), TTi.o = f (3j. .,.,::,.„, = <],('-') (pV

et, si on porte ces valeurs de tto, i. ..., 7ri.„, dans C, puis dans les formules (29), on a bien, pour représenter les coordonnées a', //, z d'un point d'une surface intégrale, des formules où figurent explicitement les deux fonctions arbitraires !p (fi) et -i^ S), avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre n ^ \ an plus.

Je n'insisterai pas davantage sur cette remarque, parce que nous déterminerons un peu plus loin toutes les équations du second ordre,

C) Voir ma note : « Sur la inélhodc de M. Darboux \w\iy l'intégiatidii des éiin itions aiA dérivées partielles du second ordre. > [Comptes Rendus, l. CX.X, p. a42-o4S>.

INTÉGRATION DES ÉyLATIOXS. 10

ayant leurs deux systèmes de caractérisli([ues confondus, aux(iuelles s'applique la méthode de M. Darboux.

160. On voit donc (pi en définitive tout repose sur la délermination des invariants d'un des systèmes de caractéristiipu'S de l'éijuation du second ordre proposée, ou des deux systèmes. Il est toujours possible de reconnaître s'il existe des invariants dont l'ordre ne dépasse pas une limite assignée à l'avance, puis(jue cela revient à rechercher si un système de deux équations linéaires simultanées admet des intégrales. Mais, aussi loin que l'on aille dans la série des essais, il ne semble pas que l'on puisse toujours reconnailre l'existence ou l'absence d'invariants par des opérations dont la fin soit assurée. Nous ferons connaître, au sujet de ces invariants, un certain nombre de propositions qui peuvent en faciliter la recherche (').

Remarquons d'abord que le théorème du numéro loi admet une réciproque. Soit F = 0 une équation du second ordre ; si cette équation admet une intégrale intermédiaire cV ordre n, u — o {v>) = o, c'est-à-dire si toute intégrale de cett;e équation (sauf peut-être quelques intégrales exceptionnelles) satisfait à une relation de la forme m — o {v)= o, où u et V renferment .v, i/, z, et les dérivées partielles de^ jusqu'à l'ordre n, n et V sont des invariants de l'un des systèmes de caractéristiques de l'équation F = o. On pourrait l'établir par un calcul facile, mais il vaut mieux se servir de considérations analogues à celles qui nous ont déjà servi plusieurs fois, basées sur la théorie des caractéristiques, il suffit de montrer que, quelle que soit la fonction o, les deux équations

forment un système en involution. En effet, prenons une orientation d'éléments d'ordre r?, satisfaisant aux deux équations (30) et à celles qu'on déduit de F = o par des difTérenliations répétées. Celte orientation d'éléments d'ordre n appartient à une intégrale (S) de l'équation du second ordre F = o, intégrale qui, par hypothèse, satisfait aussi à une relation de la forme u — -i (r) = o. ]\Iais, pour un élément quelconque de l'orientation considérée, u et v sont des fonctions d'une seule variable indépendante qui satisfont à la fois aux deux relations î< = cp (y), u = <]/ (r). On a donc nécessairement •]/ = o, de sorte que (S) est une intégrale commune des deux équations

F = o, w = çp (u),

(') E. GoLBSAT. « Sur la thforie des équations aux dérivées partielles du second ordre » {Comptes Rendus, 2 novenjbre 1896).

et ceci suffit pour prouver que le système (30) est en involulion (n° 140). Il en est évidemment de même des deux équations

1^"' = 0, u — tp [v) = C,

pour une valeur arbitraire de la constante C. Donc « — o (r) doit être un invariant de l'un des systèmes de caractéristiques de l'équation F = o, ce qui ne peut avoir lieu, quelle que soit la fonction &,• que si u et V sont deux invariants distincts.

Cela posé, soient u et v deux invariants distincts de l'un des systèmes de caractéristiques de l'équation F = o. Toute intégrale satisfait à une relation de la forme

et par suite aux deux relations

d^i , . . dv du , , . dv

Tx = '^^'^Tx' d^ = '^^'^di/^

il suit de là que, quand on se déplace sur une caractéristique quel-

dv dv

1 < .-.',, dv dy ^

conque du système considère, -^ et -r- restent constants. Ce sont deux

dx dy nouveaux invariants pour ce système de caractéristiques, qui d'ailleurs se réduisent à un seul, car toute intégrale de l'équation F = o satisfait aussi à l'équation

du dv

dx dx

du dv

dy dy

nous désignerons par — ce nouvel invariant du même système dé caractéristiques que u et v. Par exemple, si l'équation du second ordre est résolue par rapport à r, on pourra supposer que dans — on ne laisse

que les dérivées p,,^, où l'indice i ne dépasse pas l'unité; si on a fait la môme opération pour u et u, l'expression

dv

dv chi

du du

dy

Ii8 ciiAriTni: vu

est ramenée à l'Clle forme sansaucuiu' Iransformaliuii nouvel le. Lorsque

u et r sont (lu même ordre n, -r- est en crént'ral d'ordre n 4- 1, mais il

ai( '

peul être d'ordre inférieur. Par exemple, nous avons vu n" l.>i) que

l'équation >• -f- /"(*) "^ o a trois invariants du second ordre correspon-

tlant à un mùme système de caractéristiques :

u = .«, , r — // — x/" [s). te = p -{- X ] f {s; — sf {s) j ;

on a deux nouveaux invariants :

fiv i — xf" (s) Pi. .> d>c s — xsf {s)pi j

du p,2 do ' l — x/'"{s)pi,2

dont un seul est du troisième ordre, tandis que — est identique à u.

Si u et V sont deux invariants distincts d'un même système de caraclé-

ristioues, -r' est un nouvel invariant distinct des premiers. ^ dit

Si on avait, en eiïet, une relation de la forme

toute intégrale de l'équation du second ordre proposée F — o, satisfaisant à l'équation

vérifierait aussi l'équalion

dv

du '

et on aurait, par conséquent,

^' {u) = f 'W, î. rM>],

ce qui est impossible, puisque la fonction z, [><j peut être choisie arbitrairement.

Plus généralement, supposons qu'on ait 'n + 1) invariants distincts u, r,, C2> •••' ^\i'i parmi les nouveaux invariants

de, do^ dv„ du du ■■■' du

il y eu aura au moins un (jui sera distinct des précédents. Supposons, en effet, que l'on ait

du

puisque toute intégrale de l'équation F — o satisfait à a relations de la forme

on aurait aussi

et, par suite,

(h. , . . dv„ , ,

ce qui est impossible, puisque l'une des fonctions o, {u) peut être prise arbitrairement.

On déduit de là qu'au moyen de deux invariants distincts d'un même système, on peut former une suite illimitée d'invariants, tous distincts les uns des autres.

161. Considérons maintenant en particulier le cas où les deux systèmes de caractéristiques de l'équation du second ordre proposée sont distincts. On a déjà remarqué que les écjuations simultanées auxquelles doit satisfaire un invariant d'ordre n admettent pour intégrales tous les invariants du même système d'ordre inférieur à n. En approfondissant cette remarque, nous arriverons aune proposition plus précise. Supposons (jue l'équation du second ordre ait été mise sous la forme

et soient w,, wij les deux racines de l'équation du second degré

Tout invariant d'ordre n doit satisfaire aux deux équations simultanées

l r-!^ nif r i = 0,

ou à celles qu'on obtient en permutant ?», et m-2. Lorsque n est plus grand que 2, cas que nous allons d'abord examiner, la première équation (33) montre que toute intégrale do- ce système doit être de la forme

u = r. (pi.„i + m,7)o.,.; ^. .V, -s", ••-, Pi,,.-2, Po,n-i)-

Admettons qu'il existe une intégrale ic de ce système renfermant efîectivement les dérivées d'ordre n, c'est-à-dire dépendant de

et des dérivées d'ordre inférieur à n ; on aura inversement

Pt.n-t + mipo,„ = -j/ {x, y, -, ;),.o, •■•, Pi,„-2, Po,„-., u). Cela posé, choisissons comme variables indépendantes

et posons «

^ = F ix, y, z, ..., /).,„2, ;3o,n-),iîo,„; w;.

La première équation du système (33) devient

^F quant à la seconde, elle ne contiendra pas de terme en r-j puisque, par

liypothèse, 0 = 11 est une intégrale du système (33). Pour calculer les coefticients des autres dérivées, remarquons que l'on a

^3F ^F Dm îy <)u c>M Dy

LA MÉTHODE DE M. DARBOLX. loi

r désignant Tune quelconque des variables a;, y, z, ..., }h,n-i > 2^oni et

^ïi iT

En substituant dans la seconde des équations (33) et négligeant les

termes en -r-> elle devient ou

?F ^F DF î)F

T: + ^ Pl,0 + ••• + T- P2,n-3 + Y Pxn-2

OX OZ '■^pi,n-3 '^pO,n~2

rOF ^F ?F ^F 1

I ^F i (tZl£\ 'V V \ , ^F

on n'a écrit dans les deux premières lignes que les termes qui ne renferment que les dérivées d'ordre inférieur à n. Les seuls term3S qui

renferment les dérivées d'ordre n sont, en remplaçant y par(w2, -\-m.^) et Y par w^mj,

Wo,n-l ^Pi,n-2/

Le système (33) devient donc, après ce changement de variables,

A^F)^f^=ro.

>>pOn

en posant

fdF\ ^F . ^F , , ;)F , :^F

/dF\ ^F , ?F , , ;)F , :^F

{~r) =T' -f-T~Pi.O + ••• -h ^^ P2.n-3 + T Pl.,,-2,

/rfF\ ^F , 3F , , ^F . , ^F

\~r =T" +T~ Po.i + ■•• "h  Pi. -1-2 + ^; ;3o,.i-i-

\dy/ OlJ ' ^Z ' ' ' Mm~3 3po,n-2

152 CHAPITRK VII

On peut encore écrire

Pi,n-l + "^iPon = ,'"j — "'l ' Pc, -r PKn -l + »',;>0.,.

et les variables'u etpo,» no figurent dans B \V) que dans lo coefficient de-r — w, T • Des deux équations

A (F) = 0, B (F) = 0, on tire

et, comme les deux racines m^, mj, sont supposées distinctes, on en conclut que F, considérée comme fonction de oc, y, r, ;3j.o, ... Po,n-i doit satisfaire au système de deux équations

où les coefficients ne contiennent pas la variable u. Les équations (34) sont précisément celles qui déterminent les invariants d'ordre n — 1 ou d'ordre inférieur. S'il ya k invariants distincts d'ordre égal ou inférieur an — 1, u^, u^, ...,"*, l'intégrale générale du système (34) et, par suite, du système (33) est donc

? (m, «,, u.^, ..., Ma).

Ainsi, lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes, il y a aujtlus dans chaque famille un invariant distinct d'ordre n,pour toute valeur de n supérieure à 2. 11 faut entendre parla que tous les invariants d'ordre n, s'il en existe, s'expriment au moyen de l'un d'entre eux et d'invariants d'ordre inférieur.

Le théorème n'est plus vrai, en général, pour les invariants du second ordre, comme on peut s'en convaincre par l'exemple de l'équation 3rl^ 4-1 = 0, étudiée plus haut (nM54j; il subsiste cependant lorsque l'équation du second ordre considérée est linéaire en >-, s, /, rt — «', On ne diminue pas la généralité en supposant que l'équation ne renferme pas de terme en rt —s', puisqu'on peut faire disparaître ce

terme par une Iransformation de contact convenable. Prenons donc l'équation sous la forme

(35) ,. -^ Ks -|- [ J -f M = 0,

K, L, M étant des fonctions de a?, y, z^ p, ç ; un invariant du second ordre doit satisfaire au système

Soit te un invariant du second ordre, qui est nécessairement de la forme u = •\> (.r, y, z, /), </, s-\-Wft). Si on prend comme tout à l'heure pour variables indépendantes

en posant a. = <I' [x, y, z, p, 5', /, u), la première des équations (36) se réduit à

tandis que la seconde devient, en remarquant que le coefficient de — sera nul,

ou, en remplaçant K par )n^ -\- m^, L par ra^m.^,

Lorsque les deux racines m^, m-^ de l'équation caractéristique sont distinctes, on en conclut, en raisonnant comme dans le cas précédent, que toute intégrale des deux équations A ('!>) = 0, B (•!')= o doit vérifier aussi les deux équations

T" "~ '"« YiT = "'

1 i)x ' ^ ^y ^ Tfz ^ ^ ' cp

151 CHAPITHi: VII

ce sont précisément les relations auxquelles doit satisfaire un invariant du premier ordre, et la C(»nclusion énoncée plus haut s'applique encore, dans ce cas, aux invariants du second ordre.

Voici encore une proposition analog-ue à la précédente, quoi qu'un peu différente. Lorsque les denu- familles de caractéristiques sont distinctes, s'il ejciste un invariant du premier ordre pour une famille de caractéristiques, il y a au plus un invariant distinct du second ordre pour la même famille. Lorsqu'un des systèmes de caractéristiques d'une équation du second ordre admet un invariant du premier ordre, on peut effectuer une transformation de contact de façon que cet invariant soit y ; l'équation est alors de la forme

et les invariants du second ordre correspondant à la famille de caractéristiques qui admet l'invariant y doivent satisfaire aux deux équations

:>x ^:>zP Ip' ^ ^q :>s \dy) ~

Supposons que ce système admette une intégrale m, contenant les dérivées du second ordre s eit\ en prenant comme tout à l'heure x, y, z, p, q, t el u pour variables indépendantes, le système (39) est remplacé par le suivant

où on suppose que s a été remplacé par sa valeur en fonction de x, y,z, p, q, t eiu déduite de la relation

Des équations (40) on déduit que 1> doit satisfaire aussi à l'équation

soit

C <t> J == r- — r^ — = o ; dq OS Op

on a de même :

A[C(*)]-C[AWl = -f|^ = „.

Ecartons le cas, qui vient d'être examiné, où ■—- serait nul ; les équa-

os- ^

lions (40) entraînent donc les suivantes

et l'intégrale générale du système (39) est© (^, m), o étant une fonction arbitraire.

En résumé, lorsqu'un des systèmes de caractéristiques admet un invariant d'ordre p, il ne peut y avoir plus d'un invariant distinct d'ordre q, pour toute valeur de q supérieure à p.

162. En supposant toujours les deux systèmes de caractérisques distincts, chacun de ces systèmes admet au plus deux invariants du premier ordre, et ce nombre maximum ne peut être atteint que si l'équation du second ordre proposée est une équation de Monge et d'Ampère. Il nous reste, pour être complet, à rechercher le nombre maximum des invariants distincts du second ordre pour une équation de forme quelconque. Ecrivons l'éijuation

nous avons à rechercher le nombre maximum d'intégrales que peut avoir le système

(41) I B (cp) = ^ + m, I + IP + ni,q) ^ + {m,s - /) ^

oq { oy 0:: ' i*p Oq \ Os

Toute intégrale de ce système doit satisfaire à l'équation

+ Lv"^ - "^< -^) + "^ - "' J ^ -t- - = « ;

1Ô6 (.HAl'ITRF. VII

pour que l«'s équations 41) forment un système complet, il faut que cette dernitTo équnlion se réduise à ur.e identité, ce (|ui exige que l'on ail m, = w,. 11 ne peut donc y a\o\r cinq invuiiants du second ordre, si les deux familles de caractéristiques sont distinctes.

(Cherchons s'il j)eut y avoir quatre invariants distincts. Supposons d'abord que

ne soit pas nul ; on lin* de la rt'lalion précédente

«•t, en n-mplaçant ^ + 9 ^ par la valeur précédente dans B (cp), il vient

Pour quil y ait (|ualre invariants distincts du second ordre, il faudrait que les trois équations

forment un syst»>nie jacobien ; or. dans la combinaison

le coefficient de ^ est B, (//) — Cfp), c'est-à-dire

LA MKTIIODI-: 1)K M. DAKROIX f 57

cl, par suite, ce coefficient ne piMit cire nul, lnrs(jue w, ..ol ??î^ sont inégaux.

Il nous reste à examiner le cas où on aurait

L'équation A [B (cp)] — B [A (:p)] = o donne alors ^ Oq on Os

K étant un coefficient dont il est inutile décrire l'expression développée. En supposant^ remplacé par cette valeur dans B (^p), on a trois équations, où L, M sont des coefTicients qu'il est inutile de calculer,

qui devraient former un système jacobien. Il faut pour cela que les

coefficients de ^ et de ^ dans la combinaison C 'B, (-p)! — B, [C (&!"!

01/ oz ' ^^^ ' '■ ^ ' ■*

soient nuls, c'est-à-dire que l'on ait

cl, par consé((uent, 7ni=--7n,. En dédnilive, lorsque les deux faniiUes de caraclérùifiques .sont distinctes, il e.risleau plus pour ch œune d'elles Iroi^ invariants distincts du premier ou du second ordre.

Il est facile de découvrir toutes les équations du second ordre, pour lesquelles un des systèmes de caractéristiques admet trois invariants du second ordre. Soient ii,v,ic ces trois invariants, et iS)une intégrale quelconque de l'équation proposée r -\- f =ro; celte intégrale satisfait à deux équations de la forme r = •]/ (u), îo = z (*^"i, et, d'après un théo-

ir,8 CHAFITKE VII

rt-me démontré antérieurement (n* I4i;, les Irt.is équations

r-\-f=o, r =•]/(» 1, fc=7t(M),

ayant une intégrale commune (S), en admettent une infinité, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Or u.r, jc, sont trois intégrales de l'équation

on a doue

et on peut éliminer les dérivées du second ordre s et t entre les deux équations

Soit

le résultat de l'élimination; l'équation F = o admettouteslesinlégrales da système ^43) : elle a donc une infinité dintégrales communes avec la proposée r +/"= Oi dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Ceci ne peut arriver 'n** 120 - que si F = o est une intégrale intermédiaire de l'équation du second ordre r-\-f=o. On voit donc que toute intégrale de l'équation du second ordre appartient à une intégrale intermédiaire du premier ordre ; il faut, pour cela, que l'équation du second ordre proposée admette une intégrale intermédiaire du premier ordre

dépendant de deux constantes essentiellement distinctes a et i (I, n° 90).

Inversement, lorsqu'une équation du second ordre F = o admet une

intégrale intermédiaire du premier ordre avec deux constantes arbitraires

l'application de la méthode de M. Darboux donne trois invariants du second ordre, pour un des systèmes de caractéristiques. En effet, toute intégrale de l'équation du second ordre F=:o satisfait à une énuation

LA MÉTIIODR DE M. DARBOUX l.'J9

(lu premier ordre obtenue en ('liniinanta et h entre les trois relations

on en déduit que les dérivées secondes r, s, t satisfont aussi aux deux relations

l'élimination de a et de b entre les relations (44) et (45) conduit précisément à ré(|uation du second ordre proposée ¥ = o et à celle-là seulement. De deux des trois équations (44 et 45), on peut donc tirer les valeurs de a et de h en fonction de o;, y, :r, p, 7, r, 5, /,

rt = M (^, ^, z, p, q, r, s, l], b=zv {.c, y, z, p, q, r, 5, t),

et on voit que toute intégrale de l'équation F = o satisfait aux deux autres é([uations

V = 'Jf [u), — -y^ = 10 (X, ?/, Z, p, q, r, s, /) — (J>' (m).

Quand on passe d"une intégrale à une autre, u, y, lo conservent les mêmes expressions et la fonction o seule vari c. L'équation proposée admet donc les deux intégrales intermédiaires du second ordre

V = o (u), W = "J [uj,

ce qui prouve que ?(, r, îc sont trois invariants d'un même système de caractéristiques (n" 100). Ces invariants sont distincts ; car, s'il existait entre eux une relation, telle que

on en conclurait que la fonction o (»<) doitsatisfaire aune équation différentielle du premier ordre

ce qui est impossible, puisque cette fonction est arbitraire.

ICO r.HAlMTIlK VII

Le m^mc raisonneiuenl prouve (juc 1 iavari;uU ic [)cul se déduire des invariants » etv,

du

liB.MAnQiii. — 11 peut se faire tjue IDn puisse former deux combinaisons des invariants w, u, ?r, qm ne renferment que les dérivées du premier ordre p et q. C'est ce qui arrivera pour une équation deMong'e- Ampère, pour lacjuelle un des deux systèmes de caractéristiques admet deux invariants du premier ordre u et v. Il est clair que cette équation peut être considérée comme un cas particulier des équations qui admettent une intégrale intermédiaire ^'=:o dépendant de deux constantes arbitraires. D'ailleurs, on voit directement qu'il y aura un seul

invariant distinct du second ordre — •

(tu

163. Lorsqu'il existe plus d'un invariant pour un des systèmes de caractéristiques, on a déjà fait observer qu'il y en avait une infinité. Des remarques précédentes, on déduit facilement que tous ces invariants peuvent se calculer par des dilTérentiations successives au moyen de deux d'entre eux. Imaginons, en effet, la suite des systèmes d'équations linéaires simultanées auxquelles doit satisfaire un invariantdu l"ordre, du 2° ordre.... etc. Supposons que le premier de ces systèmes qui admette des intégrales soit le /)""; il peut admettre une, deux, ou trois intégrales distinctes, ce qui fait trois eas à examiner.

Premier cas. — Le premier système (|ui n'est pas incompatible admet une seule intégrale distincte; il n'y a donc aucun invariant d'ordre inférieuràp, et un seul invariant", d'ordre/). Tous lessystèmesd'équations liné-aires que l'on a à considérer, à partir dup'"*, admettent u pour intégrale. Nous supposons qu'en allant assez loi non trouve un autre système, le (p-j-^i** par exemple, qui admet une intégrale distincte de n; soit v celte intégrale. Alors tous les invariants d'ordre ;î-|-(/ s'expriment au

moven des deux invariants if et v(n° 161 1; u, = -— estun invariant d'ordre

fCU

P -{- <i -{- i, et tous les invariants d'ordre p -{- q -\- i s'expriment au

moxen de w, v, v. . De même v-, = -—■ est d'ordre p + '/ + 2, et tous les

invariants d'ordre p -\~ q -\--l s'expriment au moyen de h, y, u,, r^- En continuant ainsi, on démontrera de proche en proche que tous les invarianl-s s'expriment au moyen de ceux qui sont compris dans la suite

r/v de. dv„

Deuxième cas. — Le premier système qui n'est pas incompatible admet deux intégrales distinctes (on a nécessairement p=: 1, ou p =2).

Soient u et v ces deux invariants distincts d'ordre p; v, = — est un

du

nouvel invariant distinct des premiers, et, par suite, u, est d'ordre p + 1 .

Tout invariant d'ordre p -\- l esl une fonction de u, v, v^ ; de même

tout invariant d'ordre p -f- 2 s'exprime au moyen de m, u , u,, -r^ et le

raisonnement s'achève comme dans le premier cas .

Troisième cas. — Si le premier système qui n>st pas incompatible admet trois intégrales distinctes, on a nécessairement p = 2, et il y a trois invariants distincts du second ordre. D'après ce qui a été démontré tout à l'heure 'n° 163), on peut prendre pour m et u deux invariants

du second ordre, tels que u, = — soit aussi du second ordre. Alors

dv. , . , ... , ,-1 , ■ 1, ,

--• sera nécessairement du trDisieme ordre, car, s il était d ordre 2,

du '

dv il s'exprimerait au moyen de m, u, — ' ce qui est impossible (n° 160);

tous les invariants du troisième ordre s'exprimeront au moyen de

M, V, v^, —T^' Le raisonnement s'achève comme plus haut.

En résumé, lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes, s'il existe pour l'une d'elles une infinité d'invariants, on peut en trouve)^ deux., u et v, tels que tous les iavavianti s'expriment au moyen de ceu.v de la suite

do do, dv„-.

On en déduit, comme corollaire, que le nombre des invariants distincts d'ordre égal ou inférieur à n est au plus égal à n -f- L; pour que celte limite soit atteinte, il faut et il suffit que l'équation dii second ordre proposée admette une intégrale intermédiaire du premier ordre, ave.deux constantes arbitraires. Il y a alors trois invariants distincts du second ordre ou deux du premier ordre et un du second ordre), un di troisième ordre, un du quatrième ordre, etc.

164. Tout système d'équations linéaires et homogènes du premior ordre, à n variables indépendantes et à une seule fonction inconiir.r, qui admet r intégrales distinctes seulement, se ramène, par des opérations élémentaires, à un système jacobien de r» — • r équalions. Si on