DF

dey— dans B '^F> n'est pas indépendant de /, quand on l'expriniff^^au

DF moyen des variables./',//, -, p. </, w, /,on doit avoir ^; — =0, et, par suite,

il ne peut exister d'invariant du second ordre. Au contraire, si le coefticient de ^ — dans B (F; est indépendant demies deux équations A (F)^ o,

B (F) = o forment un système jacobien ; il en est, par suite, de même des équations (51), et on a cinq invariants distincts du premier ou du second ordre.

Nous allons chercber la condition pour qu'il en soit ainsi. On a, en posant, pour abréger,

\dx J omo.r ^m^z DmDp 1 t/ 1 ;^Tnoq

LA mkthodf: 1)1-: m. dahiioux 167

M/ ce qu'on peul encore écrire, en rcmpl.-jr.iiil v par — :— ^ ml,

Le coefficient de ;;^ — est donc, on remplaçant s par — r itit^ r»}di

sant et multipliant par H,

Ce coefficient est donc une fraction rationnelle et du premier degré en t ; pour qu'il ne dépende pas de t, il faut et il suffit que l'on ait

La relation ainsi obtenue s'est déjà présentée dans une autre question ; elle est identique à celle qui exprime que les équations, auxquelles doit satisfaire une intégrale intermédiaire de l'équation du second '^rùre (i8) forment un système en involution (') (t. L n° 93). Nous avons vu que l'intégrale générale d'une équation de cette espèce est représentée par un système de formules où figuraient explicitement deux fonctions arbitraires, sans aucun signe d'intégration ; ce qui est bien d'accord avec la proposition du n" 159.

Cherchons encore s'il peut exister des invariants d'ordre n > -I,

o [Jr, y, :, p,., ?)i.„i; Po.u ••- Pu.,,',

pour une équation de la forme (48). Un tel invariant doit satisfaire aux

{') L'équation (51) de la page 201 (t. I;, qui est iilealiquc en réalit»} à notre équation (52), a été écrite inexactement. (»n doit lire, sur la première li^rne,

au lieu de — ii

et le terme « r-^ r— r — de la seconde ligne doit être supprimé.

deux équations simultanées

L'intégrale générale de la première est une fonction arbitraire de

^» î/i -^.Pl.Oi "M Pi.n-îl Po.U --M Po,n-l, i^l.n-l + >»R n ', Cecl nOUS COD-

duit à prendre pour variables indépendantes

^> y? -1 Pl.O. ..-, Pl.n-î', Po,l, ..•, Po,r,-l ; Po,n, ",

en posant u = p, „^ -f ^Pcn- La première équation du système (53) devient, F désignant la nouvelle expression de ç,

'■Pon

quant à la seconde, elle se change en une équation B F) = o, renfermant, en général, toutes les autres dérivées. Nous remarquerons sur cette équation que les coefficients des dérivées

:\x cV/ cV ^po,i ■"' Dpo,n-2 ^;>i,o ■■ ' ^;)i,„3

ne renferment pas les dérivées d'ordre n ; les seuls coefficients qui puissent contenir les variables u et po,„, sont donc les coefficients de