DF ^F

Les coefficients de r-^^ > r-^^ sont respectivement

P2, n-t-\- mpi,, , , p^^^J^ tnpo, „ ;

or Pi,„i -1" mpo,„ = «, et en difTérentiant n — 2 fois l'équation proposée par rapport à y, on trouve que Pi.n-i -f- mpi,„i s'exprime au moyen de ar, y, z, m, et des dérivées d'ordre inférieur à n.

^F ^F Les coefficients de r et de —- ne renferment donc pas po „, et

^Pt,n.-i OPo,n-l

^F celte variable ne peut entrer que dans le coefficient de -r— En raison-

nant comme plus haut, on en déduit que la combinaison

conduira à l'équation

à moins que le coefficient de — dans B (F) ne soit indépendant de pon-

S'il n'en est pas ainsi, il n'y^ura pas d'invariant d'ordre n; si la condition est satisfaite, les équations (o3j forment un système complet.

Le coefficient de r- dans B (F) est eu ^ '

i dm , dm i /rf"-*/"

dx * dy ) \dy où -T- et — désignent les dérivées complètes

dm ^m , ^m , yra , '^m , ^m , '^rn

dy ^y ^z ^ op cq ' Os ' i>t

Remplaçons les dérivées partielles de m par leurs valeurs, il vient \dx dy\ L'm^x omôy ' onioz ^ ' omi>p\ cm ^/

De la relation

on tire, en différentiant par rapport à y,

p,. + 2/rîP, . + ^%3 + 2|g + gî 4-^:5^4- 5^^ ' = 0,

de sorte que — — |- m — — s exprime au moyen de x, y, z, p, q, m, t.

/d"~Y\ 11 nous faut calculer maintenant les termes de | „, I qui contiennent

470 (.UMMTIU-: MI

les dérivées d'ordre ;j. Après une première diiïérenliation, on a fy - 2>.,;., .. -f m -p„. , + i . ;^^ + - V + ^ ^ -h ^ ' i ,

si on dilTérenlie ensuite 2mpi,2 + m'^po.3, par rapport à ij, (n — 2) fois, le résiiltat est. en né;2:lij?oaiil les termes qui contiennent les dérivées d'ordre n -\- \ .

+ ••• + 2(« — 2i ■^P'"-' + '" ~'^~dji^^""

et les dérivées ;5|.„i et pu.,. ne peuvent provenir que des deux premiers termes et des deux derniers. Les termes renfermant les dérivées d'ordre n sont, en délinilive, '

2 [Pli + rnpoi) (^— p,.,., -f- -^ /3o,„j + -2 (n — 2) — ) ;),.„, + mpo„ 1 ;

, dm i>w ^771 11, , ,

SI on remplace -7-j -r— » — - parles valeurs obtenues plus haut, on trouve •^ f/y ^s ;)^ '^ r '

finalement que les dérivées d'ordre n ne figurent que dans la combinaison p]„i -|- mpo,„ = îi. En dilTérenliant de même (n — 2) fois par

rapport à y la somme dos autres termes de — > c'est-à-dire

- ( cv ^ ^^ ^^^p ^ cV/ ^ r

on trouve que les termes qui renferment les dérivées d'ordre n sont les suivants

On voit donc (|iic. si on prend pour variables

^-\ !/• -I /Jl). ■■■,Pl.n-2; Pn. ,P0,H-1 ; Po,,n "1

le seul terme de ( „ , ) ' qui renferme po«i proviendra de