Zj + pi+fZi + f -\- ... + P

pour être ramené à ce cas, en choisissant convenablement les constantes a, + ,, p, + ^ ... Pour ne pas multiplier les notations, nous supposerons les équations (7) ramenées à cette forme.

La caractéristique considérée provenant d'une racine d'ordre n — i de A (u) = 0, le déterminant A doit être divisible par d.v"-' et ne doit pas être divisible par dx"-' + '. Or, à l'origine, ce déterminant se réduit à

dy + p-dx,^dx ^dx

p-dx,p-dx, . . . d>/ + p- dx, ^^ dx, . . . p-djc ^q, <>qi ' ^qi ^q,^, ^q,,

-'-^dx, ^^ay-'^dx, ....

i^Fh , «^F„ i)F„

— r dx -r — dlJ r — dx.

Oqi ^p„ ' <>'/-,

D'autre part, quand on fait dans ce déterminant dy =1, dx = o, tous les mineurs à î -j- 1 lignes doivent être nuls, ce qui exige que l'on

ait

= O, ... - ri o-

Le coefficient de dy'dx"-' est alors

et, comme nous supposons ipie la racine dx = oest d'ordre n — i seulement, on voit qu'on pourra résoudre les n — i dernières éqtiations par rapporta <7/ + ,, .... 7,,. Finalement, le système proposé (5) peut être ramené à la forme

Pi = fi (■'^> y» -1' •••! ^" ; P' + n •••' ^'"î <7n 92' "M (?/),

Pi = A (•ï''.'/, -<- --M 2„; j), n, ...', iî„; 'z,, ryj, ..., (7,), 9«>i = fn I (^.y- ^n ■■.,z„; ;), + ,, ..., p„ ; ^p^^^ •■•' 9/)»

les fonctions /", ,/'2, ..., /"„ étant holomorplies dans le domaine de l'origine, et les dérivées partielles de ces n fonctions par rapport à p, + ,, ..., j)„ étant toutes nulles à l'origine.

On peut appliquer à ce système le théorème démontré au début ; mais nous remarquerons d'abord que, pour que ce système admette pour multiplicité caractéristique la multiplicité

x = o, Zi = Pi = qi = 0, (i = 1, 2, ..., n),

il faut que les développements en série des fonctions Z",, f^., ..., fn ne renferment aucun terme en y"\ ni de terme constant, et que les fonctions fi T t ••-, fn ne renferment pas de terme en x. Cela posé, faisons dans le théorème général cp, (3/) — Og (y) =... = 0/ (y) = o, et prenons pour if/+ , (a;), "f/ + 2 (x), ..., (j/„ (x) des fonctions holomorphes de œ dont le développement commence par un terme en x^. On démontrera, de proche en proche, que les développements de 3'<,-î2i •••i^n contiendront tous a;'* en facteur, quels que soient les autres coefficients de •]/,• + ,, ..., •]>„. Tous les éléments de la multiplicité considérée appartiennent donc à ce système d'intégrales.