DF„ , DF„ Î)F„ ^F

r — ay — ;r — ax ... - — a?/ — r — ax ^Pi ^9^ ^Pu ^9n

où dy = iLdx, est de 7'a)if/ r lorsque cette valeur de ~ annule tous les

mineurs à n — r -\- l lignes de A, sans annuler tous les mineurs à n — r lignes ; ce rang est au plus égal à l'ordre de multiplicité de la racine. Pour une racine simple, on a r r= 1.

Nous allons établir que toute caractéristique du système, provenant d'une racine dont le rang r est égal à l'ordre de multiplicité, appartient à une infinité de systèmes d'intégrales, dépendant de r fonctions arbitraires. En particulier, toute caractéristique provenant dune racine simple appartient à une infinité de systèmes d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire.

Etant donnée une caractéristique provenant d'une racine de l'équation A(|x) = o, dont nous désignerons l'ordre et le rang par n — î, imaginons que l'on effectue une transformation ponctuelle de façon que les équations finies de cette caractéristique soient

a; = o, Zi=pi = qi = o, (^■ = 1, 2, ..., w).

Dans le déterminant A, faisons dx = o, dy =: i ; le déterminant ainsi obtenu

^...^ ^Pt ^P-

DFj,

doit »''lre nul, ainsi que tous ses mineurs à ? -|- 1 lignes, sans que tous les minonrs à i lignes soient nuls.

Nous pouvons supposer, par exemple, que le mineur

D(PnP2^ -mP/)

n'est pas nul pour a: = y = z, = /), = y, = o, et résoudre les i pre-

SUR LES CARAC/rÉRISTIQUES DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES 341 mières équations par rapport à p,, pj, ..., p/ :

Pi = fi [oc, y, z^, ..., z„; pi + ,, /;„ ; q^, ..., q„).

Les fonctions /",, ..,/", étant supposées régulières dans le voisinage des valeurs x = y = z^ = p^ = qi = o, on peut admettre, sans diminuer la généralité, que les dérivées partielles

sont nulles pour ces valeurs. Il sufrirait,enefîet, de remplacer^,, Zj, ..•, Zi par de nouvelles inconnues, en posant

z^ ^= L^ -j- a, + jZj + ) -j- ••■ -r '^H^m