LA DEFINITION DE L INTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN

valles (3V p)^ ( 5 "^ P' 5 "^ 3^0' ^^"^ ^^^ points intérieurs aux intervalles (3^, 3^3), (^^ + ^' ft + la)^ (3 ^ P' I + 3')' ( ^ "^ P + ^ ' I + '3T + ^ ) ' ■ • • * On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l'on enlève la partie du jmilieu. Après n de ces opérations, il reste 2'^ intervalles; ces 2^ intervalles peuvent servir à enfermer ( ^ ) les points de Z ;

or, ils ont une longueur totale —^ Z est donc un groupe mté-

grable. Cette construction de Z montre de plus qu'il est parfait, donc il a la puissance du continu (-).

Il est évident que l'ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.

Voici maintenant l'énoncé de du Bois-Reymond :

Pour qiiinie fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit s > o, les points où l'oscillation est supérieure à ^ forment un groupe intégrable.

Supposons / intégrable, alors on peut diviser (a, b) en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l'oscillation est supérieure à £ aient une longueur totale inférieure à 'r\. Un point où l'oscillation est supérieure à s ne peut être contenu dans un intervalle où l'oscillation n'est pas supérieure à s, donc un tel point est nécessairement l'un des points qui ont servi à la division de (a, Z?), ou bien il est dans les intervalles de longueur t]. Les points de divisions étant en nombre fini, les points où l'oscillation est supérieure à £ peuvent être enfermés dans un nombre fini d'intervalles de longueur totale 2 7|, et, comme ri est quelconcjue, ils forment un groupe intégrable.

Réciproquement, nous supposons que les points d'oscillation plus grande que s forment un groupe intégrable. On peut donc les enfermer dans un nombre fini d'intervalles de longueur totale Tj. Employons ces intervalles I à la division de (a, b) et soient T les

(^) Enfermer est pris ici au sens large.

(^) On peut dire aussi que Z a la puissance du continu parce qu'il dépend d'une infinité dénombrable de constantes entières a^ a^, ....

autres intervalles. Dans chaque F, il n'y a plus de points d'oscillation plus grande que s, chacun de ces intervalles peut donc être divisé en intervalles partiels F dans chacun desquels l'oscillation est au plus 2 s. Les seuls intervalles, à oscillation plus grande que 2£, sont donc certains des intervalles I; leur longueur totale est au plus '/] et cela suffit, d'après le critérium de Riemann, pour affirmer que/ est intégrable.

Dans l'énoncé précédent, on peut remplacer l'ensemble G(£) des points où l'oscillation est supérieure à e par l'ensemble Gi (s)

des points où l'oscillation n'est pas inférieure à s, car G ( tient G| (s) qui contient lui-même G (s).

L'ensemble Gi (s) jouit d'une propriété qui va nous permettre une dernière transformation de la condition d'intégrabilité : Gi (e) est fermé. En effet, si A est un point limite de Gi (s), tout intervalle contenant A. contient des points de Gi (e) et/" a une oscillation au moins égale à s dans cet intervalle.

Pour le nouvel énoncé de la condition d'intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénorabrable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l'on veut.

Un point, un groupe intégrable sont des exemples d'ensembles de mesure nulle. L'ensemble E formé par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles E,^ de mesure nulle est évidemment aussi de mesure nulle (^ ); tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la différence qu'il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe intégrable : le premier peut être partout dense, le second est toujours non dense.

Soity(^) une fonction intégrable, ses points de discontinuité sont ceux de l'ensemble obtenu par la réunion des groupes inté-

(^) Car on peut enfermer E,^ dans une infinité dénombrable d'intervalles a,^ de longueur totale —^^ et l'ensemble E, somme des E„, peut être enfermé dans l'infinité dénombrable d'intervalles a, -h a^H-. . . de longueur totale 7 = £.

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LA DÉFINITION DE l'iNTÉGRALE DOMSÉE PAR RIEMANx\. 29

grables Gr(i), G(-]? G(^)j» •••; ils forment donc un ensemble

de mesure nulle.

Soit maintenant une fonction bornée f{x) dont les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. G^ (s) faisant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé; nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que Gi (s) est un groupe intégrable (^ ). ,/est intégrable.

Pour qu! une fonction bornée f[x) soit intégrable^ il faut et il suffit que V ensemble de ses points de discontinuité soit de mesure nulle.

Comme exemple de fonction discontinue intégrable, Riemann cite la fonction

Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de discontinuité, étant de la forme x = ~^ -> forment un ensemble dénom-

' in

brable, donc de mesure nulle; ou encore, du fait que, roscillation étant ^ — ^ pour ^ = ~ ? les points en lesquels l'oscillation est

supérieure à e sont en nombre fini.

Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénombrable de points de discontinuité, reprenons l'ensemble Z qui a été défini précédemment (p. 26). La fonction f{x) admettant la période i, qui entre o et i est nulle pour tous les points, sauf pour les points de Z où elle est égale à i, est intégrable. Ses points de discontinuité forment en effet le groupe intégrable Z ; Z étant parfait a la puissance du continu [-),

Si l'on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d'appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra

(1) Voiî^ p. 109.

(^) Les deux fonctions qui précèdent ne sont pas intégrables par le procédé de Gauchy-Dirichlet, puisque l'ensemble de leurs points de discontinuité n'est pas réductible.

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considérer, par exemple, la fonction

Ses seuls points de discontinuité sont, d'après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux des fonctions /{^), ,/x'

• ; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et '.p est intégrable.