LA DEFINITION DE L INTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN
est Ij pour Ayo Soient S^, S2, . . .; 2^ ^2, • • •? les nombres analogues à S et correspondant à ces divisions.
Comparons S/ et Hj. Partageons les intervalles de Ay en deux espèces, comme il a été dit dans l'étude de l'oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles d fournissent, dans Sy, une contribution au plus égale à n^jh^ où L est le maximum àe f{x) dans (a, b). Les intervalles d' figurent tous dans A'- à laquelle correspond S^; donc, la contribution des intervalles d' dans Sy est au plus égale à S' . Mais A' s'obtient en morcelant les intervalles de D/; il est évident, dans ces conditions, que Sy est au plus égale à S/. De tout cela on tire
Sy i Si -}- ^LXy.
De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que S/ et Sy ont la même limite et même qu'ils tendent uniformément vers cette limite.
La propriété est démontrée poury'-f-/:, donc elle est vraie pour /, car, en passant de / à /-{-A-, on augmente toutes les sommes S de A* (6 — a).
Il est important, pour la suite, de remarqtier que nous avons démontré l'existence d'une limite pour S sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée y'(^). La condition que /(x) est à oscillation moyenne nulle est intervenue setilement lorsque, de l'existence d'une limite pour S, nous avons déduit l'existence d'une limite pour S.
On peut transformer la condition d'intégrabilité obteiiLie : il faut et il suffit que la somme SS^co/ tende vers zéro. Gela revient à dire que les intervalles S/, dans lesquels co/ est SLipérieure à un nombre positif s arbitrairement choisi, ont pour i assez grand Line longueur totale À aussi petite que l'on veut, car on a :
ù étant l'oscillation de f{x) dans (a, b). On a ainsi l'énoncé donné par Riemann :
Pour qu^ une fonction bornée soit intégrable dans (a, 6), il faut et il suffit qu'on puisse diviser (a, b) en intervalles
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26 CHAPITUE II.
partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dans lescfuels l^ oscillation est plus grande que s, quel que soit s > o, soit aussi petite que l^ on veut.
Si une telle division est possible, il s'en trouve une dans toute suite de divisions telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, puisque, quelle que soit cette suite, Yiùiiùi tend toujours vers le même nombre.
De cette propriété de SS/co/ résulte aussi que, si à une suite de divisions delà nature considérée correspondent des nombres S etjS ayant la même limite, nous pouvons affirmer l'intégrabilité de la fonction considérée.
La forme donnée par Riemann à la condition d'intégrabilité montre bien que les fonctions continues sont intégrables, mais elles ne met pas en évidence le rôle des points de discontinuité de la fonction. Paul du Bois-Reymond a mis ce rôle en évidence par une transformation de la condition d'intégrabilité. L'énoncé de du Bois-Reymond suppose connue la définition des groupes intégrables.
Un ensemble de points d'une droite constitue un groupe intégrable, si les points de l'ensemble peuvent être enfermés dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que l'on veut (^ ).
Un nombre fini de points constitue un groupe intégrable, mais la réciproque n'est pas vraie.
Considérons l'ensemble Z des points dont les abscisses sont données par la formule
ai <^2 <^3
dans laquelle tous les a sont égaux à o ou 2. Cet ensemble s'obtient en retranchant de l'intervalle (o, i) d'abord les points intérieurs à l'intervalle (-7 -\i puis les points intérieurs aux inter-
(^) On peut, à volonté, considérer qu'un point est enfermé dans un intervalle, soit s'il est intérieur à cet intervalle ou confondu avec ses extrémités; soit, s'il est intérieur à l'intervalle, les extrémités exclues. Les deux définitions correspondantes des groupes intégrables sont évidemment identiques.
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