III. — Propriétés de V intégrale

Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que :

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.

En effet les points de discontinuité de la fonction somme sont compris dans l'ensemble E formé des points de discontinuité des différents termes. Les points singuliers d'un terme forment un ensemble de mesure nulle, donc E est de mesure nulle et la série représente une fonction intégrable.

En particulier la somme de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. De même le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable, car les points de discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l'un au moins des facteurs.

De même aussi, si f est intégrable et que -p soit bornée^ ~x est

intégrable; si f est intégrable^ la racine m^^me arithmétique de f^ si elle existe, est intégrable ; si f est positive et intégrable et (D intégrable, f^ est intégrable ; etc.

L'opération /('f ), appliquée à des fonctions intégrables, peut au contraire donner des fonctions non intégrables.

Prenons pour y une fonction partout égale à i , sauf pour ^ =: o, où elle est nulle, f n'ayant qu'un point de discontinuité est intégrable. cp sera nulle pour ^ irrationnel et égale à - pour x rationnel

LA DEFmiTION DE L INTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN. OT

et égal k — (p et q premiers entre eux), cp est intégrable puisque

ses points de discontinuité, étant ceux d'abscisses rationnelles, forment un ensemble dénombrable.

La fonction y(cp) est ici la fonction ;^(.r) de Dirichlet (p. i5), fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de discontinuité.

On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d'être obtenus. Soient / et cp deux fonctions intégrables; partageons l'intervalle où elles sont données en parties 8^, 82, . . ., 8,^ dans lesquelles nous choisissons des valeurs ,Xi^ Xo^ . . ., ^'/^. On a

or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs approchées des intégrales de /-f- cp, /, cp ; donc l'intégrale de /-f- cp est la somme des intégrales de / et de cp ( ^ ) .

L'intégrale d^ une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'une véritable somme, c'està-dire de la somme d'un nombre fini de termes et non pas d'une série.

Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.

Soit/(.r) une fonction comprise entre / etL dans (a, h). L'intégrale de / est, on le sait, la limite de la somme S = S8//(.2'/), mais on a

Donc S, et par suite sa limite, Tintégrale, est comprise entre {b — a) l et [b — a)h\ elle est donc de la forme [b — a)u., où ui est compris entre / et L, c'est le théorème de la moyenne.

Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, démontré pour les fonctions continues, c'est qu'il nous est impossible d'affirmer que [jl est l'une des valeurs que prend/ dans (a, b).

( 1 ) 11 suffit de modifier légèremenl la rédaction pour démontrer en même temps rintégrabilité de /-h- 9, laquelle est supposée antérieurement démontrée dans le texte.

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De ce théorème il résulte que, si le module de f est inférieur à £, l'intégrale de /est en module inférieure à \h — aie.

Ceci posé, soit une fonction /somme d'une série uniformément convergente de fonctions intégrables

Soient 5/^ la somme des n premiers termes, Va le reste correspondant, F, U/i, S/^, R/2 les intégrales de/*. Uns ^n-, i^i- ^n est la somme des n premiers termes de la série

d'après le théorème sur l'intégration d'une somme. Ce même théorème montre que

Or, dès que n est plus grand que n^ , r,i est en module inférieur à £, donc R/^ est en module inférieur k\b — a| e. Dès que n est plus grand que /z, , | F ^ — 8,^ | est inférieur à \b — a | s. La série SU/^ est donc convergente et de somme F.

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est intégrable terme à terme.

Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où l'intervalle (a, b) est un intervalle positif (b > a), puisque l'intégrale n'a été définie que dans ce cas. On complète la définition comme précédemment.

L'intégrale dans (a, b) se notant toujours / f{x)dx^ la définition complémentaire s'exprime par l'égalité

' f{x)dx^ j f{x)dx^=o.

Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles négatifs. J'ajoute qu'on vérifie immédiatement que

' f{x)dx-{- j f{x)dx-+- l f{x)dx = o.

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LA DÉFINITION DE l' INTEGRALE DONNÉE PAR RIEMANN. 33