IV. — Intégrales par défaut et par excès
La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appliquant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des intégrales de fonctions continues. Nous savons qu'il existe des fonctions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut cependant, à l'aide de ce procédé, attacher à chaque fonction bornée deux nombres parfaitement définis.
Nous avons vu (p. 20) que les sommes S = S S/L^ tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les S/ tendent vers zéro d'une manière quelconque, cette limite est l'un des deux nombres dont il s'agit; on l'appelle V intégrale par excès et on le
re
présente par le symbole / f{^) dx^ qui s'énonce : intégrale
par excès de a à 6 de f{oc).
De la même manière, on peut démontrer l'existence d'une limite pour les sommes S=:S§///. D'ailleurs, en étudiant l'oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que SS/co/tend vers une limite parfaitement déterminée [b — a)a) et comme l'on a
S — S = SS^cOi,
l'existence de la limite de S est démontrée (^). C'est \ intégrale
par défaut qu'on note / f{oo) dx.
Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d'une façon précise, par M. Darboux.
Pour compléter leurs définitions, données seulement pour 6 >> a, on pose
(^) On pourrait aussi déduire l'existence de cette limite de l'existence de Tintégrale par excès pour — /.
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11 faut remarquer que, dans un intervalle négatif, l'intégrale par excès est plus petite que l'intégrale par défaut. On a toujours
a J b Je J a J b Je
mais, si l'intervalle d'intégration étant positif, on a
comme on le voit par un raisonnement analogue à celui de la page 3 1 , et non pas les mêmes relations où les signes d'inégalité sont remplacés par des signes d'égalité; les signes d'inégalité sont indispensables; par exemple, prenons /(^) = '^(^) (p. i5), et
c£)(^) = — y(<^); nous aurons, dans (o, i).
L'intégrale a été définie comme la limite du nombre
quand le maximum À des S/ tend vers zéro. Posons S = ^ ()^), nous définissons ainsi une fonction à déterminations multiples (p. 21). Les limites d'indétermination de la limite de ^()0 pour )^ = o sont les deux intégrales par excès et par défaut. Ceci fait prévoir que ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites inférieure et supérieure d'un nombre quand on saura que ce nombre
est donné par une intégrale l fdx toutes les fois que / est inté-
grable.
Pour mieux étudier l'indétermination de la limite de S, il faudrait déterminer l'ensemble A de toutes les valeurs limites de S (^).
(^) Si l'on rernplcice y^{x) par une fonction non intégrable quelconque, les signes d'inégalité sont indispensables.
(2) Dans certains cas, on a déterminé non seulement l'ensemble des limites d'une fonction ^()^), mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes. ( Voi?^ BoREL, Leçons sur les séries divergentes^, p. 5^).
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LA DÉFINITION DE l'iNTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN. 35
Pour le cas de l'intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d'énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l'une des limites des sommes S, quand À tend vers zéro (^ ).
(^) A titre d'exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, f{x) étant une fonction bornée d'oscillation moyenne w dans (a, b) et dont les limites inférieure, supérieure et l'oscillation en x sont L(ic), l{x) et o)(^), on a
w (^) dx.
( b - - a)ij) ^ I f{^) (Ix — / /(x) dx = j L{x) dx — 1 l{x) dx = j ^
Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de L{x), l{x])^ bi{x), on exclut la valeur x de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l'oscillation à droite ou à gauche, x étant exclu ou non. ( Voir la note i, p. 19).
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