CilAPlTKK IV
0^0 y/^o" + .X'o' + ^o' ? ^^ nous pouvons même assujettir o/q à être inférieure à une certaine quantité donnée à l'avance A.
La courbe étant définie dans (a, 6), du point a= ^^ comme origine, nons pouvons tracer une corde remplissant les conditions indiquées; elle correspond à (^,, ^o)- De to nous pouvons tracer une nouvelle corde qui correspond à (t^, ^^ ) et ainsi de suite. Si après un nombre fini d'opérations on arrive en h, la construction est ainsi achevée. Sinon les tfi ont un point limite ^^j^ duquel, comme origine, on peut tracer une corde (^^, ^w+i)? puis de ^(^j, on trace (^w+m ^w+2) et ainsi de suite. Si l'on n'atteint pas 6, on se rapproche d'un point limite ^o^), à partir duquel on opère de même qu'à partir de /^^.
On a ainsi des intervalles dont les origines /^ ont pour indices les dilTérents nombres finis et transfinis a. 11 faut démontrer qu'on arrivera en b avant d'avoir épuisé la suite des nombres transfinis, c'est-à-dire à l'aide d'une infinité dénombrable d'intervalles. Cela
est tout à fait évident, car il n'y a pas plus de ^ — - intervalles de
longueur supérieure à £, et tous les intervalles, étant supérieurs
en longueur à l'un des nombres £, -? ^7 • • •, forment un ensemble
fini ou dénombrable.
L'ensemble des valeurs /,, t2^ ... est réductible, puisqu'il est fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes diffère de la somme
au plus de
Si nous faisons tendre simultanément s et X vers zéro, £(6 — a) tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend vers la longueur s de la courbe, I tend donc vers s. Mais, d'après la forme de 1, on peut écrire, si \/ x'- -^ y'- -\- z'- est bornée.
'Kl ^ n
71 dt.
Supposons maintenant que y^'--f- jk^^-H -s^-, bor'née ou non.
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soit la dérivée d\uie fonction '^^{t). Si nous avons choisi chaque intervalle (^a, ^a+») ^^ manière qu'il satisfasse, non seulement aux conditions précédemment indiquées, mais encore, ce qui est possible, à l'inégalité
I tend vers l'accroissement ^{b) — ^{a) de a-(^) dans (V/, b) quand £ et \ tendent simultanément vers zéro. On a donc
La longueur de l'arc est l'accroissement de la fonction <j.
J'appelle l'attention sur la construction employée dans la démonstration précédente.
Je suppose qu'un procédé, permettant de construire an ou plusieurs intervalles ayant pour origine un point quelconque ^or ait été indiqué. Je dirai qu'un intervalle (a, b) a été couvert, à partir de a, par une chaîne d'intervalles choisis parmi les intervalles définis par le procédé donné, lorsqu'on aura construit par ce procédé un intervalle (^^, t-y) d'origine t^ = a, puis un intervalle (^2? ^3) d'origine t^^ etc., puis, si cela est nécessaire, un intervalle (^(07 ^w+i) dont l'origine est la limite de t^^ to, ...; et ainsi de suite. Il a été démontré qu'on arrive ainsi nécessairement à atteindre b aa bout d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'opérations, de sorte que la chaîne construite couvrira bien tout (a, b) ( ' ).
(^) Lorsque le procédé donné fait correspondre plusieurs intervalles à une même origine t^, il faut choisir entre tous ces intervalles celui qu'on appellera {t^, ^a+i)- ^6 choix peut être fait arbitrairement si la nécessité de choisir ne se présente qu'un nombre fini de fois. Si elle se présente un nombre infini de fois, pour éviter les difficultés qui surgissent de l'emploi des mots « choisir une infinité de fois », il vaut mieux supprimer le choix en indiquant suivant quelle loi on déterminera {t^, t^+i) P^i'm* tous les intervalles possibles. Dans la démonstration précédente, on pourra assujettir chaque intervalle (^^, t^^^) à être le plus grand qui satisfasse aux conditions imposées; il y a bien d'ailleurs, dans l'ensemble de ces intervalles, un intervalle plus grand que tous les autres.
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