I. — U intégrale indéfinie

Soit J\x) une fonction iDornée intégrable définie dans (cf^b); ]a fonction

F(;r) = f f{x)clr-^ K

est/ 'intégra le indéfi n ie de j\oc\.

En appliquant le théorème de la moyenne on voit cfue V intégrale indéfinie de f{x) est une fonetion continue , à variation bornée ( ' ), et qu'elle admet f [x) pour dérivée en tous les points oit f[x) est continue.

Que se passe-t-il si f (x) n'est pas continue en a? Alors il se peut qu'il j ait une dérivée égale à /(a), c'est le cas pour a == o si f(x) est nulle pour x quelconque, et égale à i quand x est l'inverse d'un entier; il se peut qu'il y ait une dérivée difterente de /(a), c'est le cas pour a = o c|uand/(^") est partout nulle sauf pour ^ = o, il se peut c|u'il n'y ait pas de dérivée, c'est le cas pour a = o quand f(x)^ cos4^|^| pour x ^ o et/(o) = o (-).

Ainsi l'intégration peut conduire à des fonctions n'ayant pas partout une dérivée. Cette conséquence a été signalée par Riemann

( ^ ) Je laisse au lecteur le soin de démontrer que la variation totale de F(^)

dans (a, ô) est exactement égaie à / \/{x)\da:^\

1 *' rt 1

(2) L'intégrale indéfinie est alors — ( sin^^j^l -+- cosJ^ 1^1 )•

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LA HECIIERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. 65

qui il appelé rattentioii sur rintégrale indéfinie de la fonction Cette inlégraie indéfinie F (x) admet/(.r) pour dérivée quand ^

, IIP '2p -h i

n est pas de la lorme —

Supposons a == -^ et faisons tendre ^ vers a par valeurs

croissantes, on a vu que /(p) tend vers /(a) H — --? donc,

d'après le théorème de la moyenne, il en est aussi de même de

Au contraire ce rapport tendra vers /(a) — -^-^ si l'on fait tendre p vers a par valeurs décroissantes ; donc F (x) n'a pas de dérivée pour les valeurs de la forme — ^—

C'est le premier exemple que l'on ait connu d'une fonction n'admettant pas, en général, une dérivée. On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, ^- \/x-^ qui, en certains points, n'avaient pas de dérivée; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense; dans l'exemple de Riemann, au contraire, il j a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d'exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les ctp sont tous les nombres

rationnels, / \ • ^^-^ —dx est une de ces fonctions.

L'intégration fournit des fonctions qui n'ont pas toujours une dérivée. Par une méthode toute différente, Weierstrass a construit une fonction n'ayant jamais de dérivée (-); il est évident que l'intégration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en lesquels une intégrale indéfinie n^ admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent

(^) Voir p. i5. L'intégrale indéiinie s'obtient en intégrant terme à terme. (-) Voir Journal de Crelle, vol. 79, ou Jordan, Cours d'analyse, 2" édition, t. I, p. 3i6.

La (onction de Weierstrass est à variation non bornée dans tout intervalle.

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à l'ensemble des points de discontinuité de la fonction inté- ^Yéef{x).

Lorsqu'une fonction /(^') est bornée, mais non intégrable, on peut lui attacher les deux intégrales indéfinies par exeès et par défaut

F,(^)== f f{x)dx^K, F{x) = f f(x)dx-^K.

Ces deux fonctions sont continues, à variation bornée, et admettent /pour dérivée en tous les points où /est continue (').

A la notion d'intégrale indéfinie se rattache une généralisation importante de l'intégrale définie.

Si une fonction/(^) définie dans (a, b) est non intégrable dans (a, ^) mais intégrable dans tout intervalle (a, ,3) intérieur à (a, 6), on peut espérer définir une intégrale dans (a, h) en posant en principe la continuité de l'intégrale indéfinie et en appliquant les méthodes de Cauchy.

On voit facilement que les conditions supposées ne sont jamais réalisées ûf[x) est bornée. Mais, û f[x) n'est pas bornée, on peut être conduit par la méthode de Cauchy à un nombre déterminé; il en sera ainsi en particulier si, autour de a et 6, \f{x) \ est inférieure à une fonction d'ordre d'infini tude déterminé, inférieur

On peut refaire au sujet de l'intégrale de Riemann tous les raisonnements faits au sujet de l'intégrale de Cauchy et des procédés de Cauchy-Dirichlet; je n'insiste pas sur ce point (^).

( ^ ) La propriété relative à l'ensemble des points sans dérivée est vraie aussi pour les intégrales par excès et par défaut; nous verrons d'ailleurs plus tard qu'elle appartient à toutes les fonctions à variation bornée.

(") D'une manière plus générale, on peut appliquer tous les théorèmes que l'on donne ordinairement relativement à l'existence d'une intégrale quand la quantité placée sous le signe d'intégration devient infinie en un point.

(3) A ces questions se rattache une généralisation de l'intégrale exposée par M. Jordan dans le Tome II de la deuxième édition de son Cours d'Analyse. Si les généralisations du texte permettent de définir l'intégrale de f{x) dans tout intervalle contigu à un ensemble fermé E, M. Jordan appelle intégrale de f{x) la somme des intégrales dans les intervalles contigus à E. Pour que l'intégrale d'une somme soit la somme des intégrales, il faut ajouter que l'étendue extérieure de E doit être nulle. A ces questions se rattachent des travaux de Harnack

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