Les nombres déri<^és

L'intégration s'applique à des fonctions qui ne sont pas des fonctions dérivées. Une fonction nulle partout, sauf pour ^ = o, n'est pas une fonction dérivée, puisque sa fonction primitive, si elle existait, devrait être continue, constante pour x positif, et pour ^négatif, donc toujours constante et cependant sa dérivée ne serait pas nulle pour ^ = o. Ceci montre que les notions d'intégrale indéfinie et de fonction primitive sont différentes.

11 semble que l'on ait admis pendant longtemps que la première de ces notions comprend la seconde et que, par suite, l'intégration permet toujours de résoudre le problème de la recherche des fonctions primitives. En tout cas, au lieu de s'occuper de ce problème, on a étudié quels services pouvait rendre l'intégration dans la résolution de problèmes, généralisations, en des sens divers, du problème des fonctions primitives.

Pour l'étude de ces problèmes il nous sera utile de connaître quelques propriétés des nombres dérivés.

Soit/(cr) une fonction continue ('), prenons le rapport

et faisons tendre h vers zéro. Si nous assujettissons h à ne prendre que des valeurs négatives, la plus petite et la plus grande des limites du rapport sont les deux nombres dérivés à gauche au point Xq. Ces deux nombres, qui ont été définis et étudiés par P. du Bois- Reymond et Dini, sont encore appelés les extrêmes oscillatoires antérieurs. La plus petite limite est le nombre dérivé inférieur à gauche, la plus grande limite est le nombre dérivé supérieur à gauche.

{Math. Ann., Bd. XXIrXXIV), Hôlder {Math. An?i., Bd. XXIV), de la Vallée- Poussin {J. de Lioiwille, série [\, vol. VIII), Stolz ( Wiener Berichte, Bd. CVII), Moore {Trans. Amer. Math. Soc., vol. II).

(^) On peut aussi considérer le cas des fonctions discontinues, mais les défilions du texte nous suffiront.

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En donnant à h des valeurs positives on définit les deux nombres dérwés à droite ou extrêmes oscillatoires postérieurs.

Ces quatre nombres, qui ne sont j)as nécessairement finis, se

notent

X^, A„, Xi. Kn

si l'on veut rappeler la fonction /et la valeur .r,) dont il s'agit on écrit }w/(.ro), A./(^o) (')•

La signification géométrique de ces nombres est simple. Soit la courbe r = /(.r), considérons l'arc AB de cette courbe correspondant à l'intervalle [xq^ Xq-\~ h)] supposons-le positif. Toutes les droites joignant A à un point quelconque de AB sont toutes les droites d'un certain angle XA Y. Faisons tendre li sers zéro, l'angle XAY varie de telle manière que, pour la valeur A, ii contient tous les angles correspondant aux valeurs inférieures à li.

Ceci suffit pour qu'on en conclut l'existence de droites limites SA, Yj A pour XA et Y A. Les coefficients angulaires de ces deux droites limites sont les nombres dérivés à droite.

On pourra faire la figure pour la courbe r = x sin -; pour .r = o

les deux nombres dérivés inférieurs sont égaux à — i et les deu:x nombres dérivés supérieurs sont égaux à -j- i . Pour cette courbe l'angle XAY est fixe. Au contraire, il varie pour la fonction

y " X sin h X- sin -

qui admet les mêmes nombres dérJAés que la précédente pour X ^ o.

Les nojnbres dérivés peuvent remplacer dans certaines études les dérivées ordinaires. Dans l'étude de la variation d'une fonction par exemple : si les nombres dérivés sont tous quatre positifs, la fonction est croissante; si les deux nombres dérivés postérieurs sont positifs, la fonction est croissante à droite; si les deux dérivés postérieurs sont positifs et les deux antérieurs négatifs, la fonction admet un minimum pour .r^^^r,,; si les deux nombres dérivés à droite sont de signes contraires la fonction n'est ni crois-

(1) On emploie aussi quelquefois les notations D, D-, D^, D+ ou <i, D ,

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LA RECHERCHE DES FOXCIIOXS PRIMITIVES. 69

santé ni décroissante à droite de x = x^^ mais si l'an des deux est nul on ne jDentpkis rien dire.

Lorsque A,/ = X^ on dit que la fonction admet une dérivée à droite ë2:ale à A,/; si Ao-=^Ao, la valeur de Ao- est dérivée à gauche.

Si A,/ = \d = A^ = À^, la fonction a une dérivée égale à A^/. Cette définition est identique à la définition classique sauf le cas où Aa --:^-^ii:oo (').

Faisons une apj3lication de ces définitions à l'intégrale. Le théorème de la moyenne donne

si F est l'une quelconque des trois intégrales indéfinies et si / et J^ sont les limites inférieure et supérieure de /dans (a, j3); on peut même supposer que a est exclu de l'intervalle (a, (i).

Si nous faisons tendre p vers a par valeurs plus petites que a, nous voyons que le nombre dérivé supérieur à gauche pour ^' = a d\ine des intégrales indéfinies d' une fonction bornée /(x), est au plus égal à la limite supérieure de f{x) à gauche de OL et le nombre dérivé inférieur de f{x) à gauche est au moins égal à la limite inférieure de f{x)^ à gauche de a.

Supposons que/*(a — o) existe, alors les deux limites de f {x) à gauche de a sonty*(a — o), donc : quajid f (^cl — o) existe , U une quelconciue des intégrales indéfinies de la fonction bornée f {x) admet, pour x = a, une dérivée à gauche égale à f((j. — o).

On raisonne de même pour les nombres dérivés et la dérivée à droite.

La fonction de Riemann / } ■ ' J ^ n'admettant que des points de

discontinuité de première espèce, conduit à une intégrale indéfinie qui a, en tout point, une dérivée à droite et une dérivée à gauche déterminée. C'est en somme l'existence de ces dérivées à droite et à gauche qui a été démontrée à la page 65.

Si /"(a — o) et /'(a -ho) existent et sont égales, l'intégrale de f{x) admet la valeur commune de /(a — o) ety*(a-l-o) pour dérivée, quand x = a, quel que soit le nombre / (a).

(') Avec cette définition \/ x admet une dérivée déterminée, + oc, pour x =■ o.

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11 existe pour les nombres dérivés nue proposition analogue au théorème des aceroissements finis ( ' j :

Sl L. et l sont les limites sapé rie u/'e et inférieure de l' an cfuelconque des quatre nombres dérii'és de la fonction f {oc) dans [a^b)^ on a

Je suppose que / et L soient relatifs à ka et je vais démontrei; seulement qu'il existe des valeurs de A^/ au moins égales à

r[fix), a,b].

J'adopte pour eela le langage géométrique parce c[u'il me parait plus expressif; on le traduira facilement si l'on vent en langage analjtic|ue.

La propriété est évidente si la courbe C cjui représente /(x) se réduit à la corde AB joignant ses extrémités {fig. '^A.

S'il n'en est pas ainsi et s'il existe des points de la courbe C au-

Fi£

h jc

dessus de AB (c'est-à-dire du côté dej- = -f-Go), je dépla

( ' ) On sait que ce ttiéorème s'énonce ainsi :

Si une fonction/ (^) est continue dans l'intervalle («,^), et admet une dérivée bien déterminée pour cliaque valeur de x intérieure à {a,b)^ il existe un nombre H de cet intervalle tel que

f{b)~f{a)=f'[\ib-a)

Cet énoncé ne suppose pas que /'(a?) soit bornée ou môme finie, mais si/'(.r) est infinie, ce doit être -l- oo, ou — x;, et non pas zh ce.

LA RECIIEKCIIK DES FONCTIONS PRIMITIVES. 71

droite AB parallèlement à elle-même en A'B^ de manière qu'elle eoupe G.

Au-dessus de A^B' il j a des arcs de G, soit PO Fan d'eux. yAu point P de A^B^ A^/ et Xd sont évidemment supérieurs ou au moins égaux au coefficient angidaire de PQ, c'est-à-dire à r[y(^'), a, 6] et la propriété est démontrée dans ce cas.

Enfin si G n'a pas de point au-dessus de AB {fig- 3), je déplace AB parallèlement à elle-même vers r = — ce, et soit A^B^ la der-

i^-^io-. 3.

nière position dans laquelle elle ait des points communs avec G. Si P est l'un quelconque de ces points, en ce point A^/ et Xj sont au moins égaux à /'[/*( •^). ci^ />]; la propriété est démontrée dans tous les cas.

Du théorème précédent il résulte que les qaatj-e nombres dérivés ont la même limite supérieure et la même limite inférieure dans tout inter^mlle.

Gomparons les limites supérieures L et \J de A^/ct A^. Puisque A,/ a pour limite L et que A,/ est la limite de rapports 7'[/(^), a, |B], où a et [^ appartiennent à l'intervalle considéré («,^), on yjeut trouver a et [i dans (a, b) tels que r\f{x)^ ^'? M ^^^^ supérieur à L — £. Le maximum de )w, dans (a, p), donc dans [a,b)^ est par suite au moins égal à L — s. Geci suffit pour démontrer que L etl^' sont égaux.

La valeur commune de L etL^ est en même temps la limite supérieure du rapport r\f{x)^ a, [B].

La propriété énoncée pour les limites supérieure et inférieure dans un intervalle entraine la même propriété pour les limites

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S 11 péri e Lire et inférieure en un point; en particulier, si ))our l'un des nombres dérivés ces deux limites sont égales, il en est de même pour les autres, ce qui s'énonce : Si en un point x^ Van des nombres dérii^és est continu, il en est de même des trois autres nombres dérivés et de plus la fonction admet une dérivée pour X = .To.

Voici une autre conséquence évidente : si les quatre nombres dérivés sont bornés, ils admettent la même intégrale supérieure et la même intégrale infér cure ; si V un cVeux est intégrable, tous le sont et ils ont même intégrale.

Dans le cas des dérivées le théorème de Rolle (*)est un cas particulier du théorème des accroissements finis; dans le cas des nombres dérivés le théorème analogue au théorème de Rolle peut s'énoncer ainsi : Si la fonction continue f [x) s'annule pour a et h.^ les limites des nombres dérivés dans {a^b) sont, ou toutes deux nulles, ou toutes deux difj'érentes de zéro et de signes contraires.

Cet énoncé se justifie en remarquant que si f {x) n'est pas constant, r\^f\x)^ a, ^3] prend des valeurs positives et des valeurs négatives.

On peut aussi dire : si la fonction continue f{x), non constante dans {a,b), s'annule pour a et b, il existe des points de {a.,b) pour lescjuels les deux nombres dérivés à droite {ou à gauche) sont positifs et non nuls et d'autres points oit ils sont négatifs et non nuls.

La réciproque peut s'énoncer sous la forme suivante : si l'on sait cjue les deux nombres dérivés à droite [ou à gauche) de f {oc) ne sont jamais tous deux de même signr, f {x) est une constante (-).

Parmi les fonctions continues il faut remarquer les fonctions à nombres dérivés bornés qui possèdent beaucoup des propriétés des fonctions dérivables. Cette classe de fonctions comprend les

( ' ) Ce théorème s'énonce ainsi :

Si une fonction continue/ (.r) s'annule pour a et ô, et admet pour les poinls intérieurs à {a,b) une dérivée déterminée de grandeur et de signe, finie ou non, cette dérivée s'annule dans {a,b).

(2) Cette propriété correspond à la suivante : Si la dérivée d'une fonction continue est nulle quel que soit œ dans {a,b), la fonction est constante.

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LA RKGIIERCHE DES FONCïIO>'S PHIMITJVES. 7>

intégrales indéfinies. Les fonctions à nombres dérivés bornés sont celles pour lesquelles on a toujours

où M est un nombre fixe. Cette inégalité, connue sous le nom de condition de Lipsciiitz^ intervient dans presque tous les raisonnements sur l'existence des solutions des équations différentielles. Ceci montre l'importance pratique des fonctions à nombres dérivés bornés.

Nous reviendrons au Chapitre Vil sur l'étude de ces fonctions; pour le moment il suffira d'en signaler une propriété immédiate :

Une fonction à nombres dérivés bornés et inférieurs en valeur absolue à M est à variation bornée, sa variation totale étant au plus Mo dans un intervalle d^ étendue o.

Soit maintenant une courbe rectifiable

définie dans (a, b)^ et soit s (t) son arc de a à t.

L'équation s (t) = s peut être résolue en t quand s est dans l'intervalle [o, s[b)\ et n'admet qu'une solution, sauf le cas où X (t)^ y{^)i ^(^) seraient constantes à la fois dans un intervalle. Sauf dans ce cas, t(s) est une fonction croissante bien déterminée.

xr=x[t{s)], y=.r[t{s)l z = z\t(s)]

représentent la courbe donnée et les fonctions de s sont des fonctions continues à nombres dérivés au plus égaux à i .

L'étude des courbes rectifiables, et par suite celle des fonctions à variation bornée, est donc intimement liée à l'étude des fonctions à nombres dérivés bornés. Nous aurons Foccasion de nous servir de cette remarque.

11 existe d'ailleurs des fonctions continues à variation bornée et

à nombres dérivés non bornés, la fonction .^-sin- en est un exemple.

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111. — Fonctions déterminées par un de leurs nombres dérivés.

Revenons à la recherche des fonctions primithes. Le problème :

A. Trouva- une fonction dont la dérivée soit une fonction donnée,

n'admet pas en général de solution. Aussi le remplace-t-on par deux autres :

B. Reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée.