C. Trouver une fonction connaissant sa dérivée

A ces problèmes correspondent les suivants :

A^ Trouver une fonction dont le nombre dérivé supérieur à droite [ou V un des autres nombres dérivés^ est donné.

B^ Reconnaître si une fonction donnée est le nombre dérivé supérieur à droite d^ une fonction inconnue.

QJ . Trouver une fonction connaissant son nombre dérivé supérieur à droite.

iNous allons d'abord préciser l'indétermination de la solution du problème QI en démontrant qu'^//ie fonction est déter minée .^ à une constante additive près, c/uand on connaît la valeur finie de lUin des nombres dérivés pour chaque valeur finie de la variable.

Soient en effet deux fonctions /, (^) et/2('^) ayant en chaque point le même nombre dérivé supérieur à droite. Nous avons, par

hypothèse,

Kif\{oc) =-- Xcif^ix) et aussi

comme on le voit en se reportant à la définition géométrique ou analytique des nombres dérivés. Cette définition fournit aussi l'inégalité

dans laquelle le terme du milieu est nul.

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La fonction /^ (.r) — f-ii-^) n'a donc jamais ses deux nombres dérivés à droite différents de zéro et de même signe, elle est constante.

Notre proposition est démontrée. La démonstration ne suppose pas que la fonction soit à nombres dérivés bornés, mais elle suppose C[ue le nombre dérivé donné est fini, sans c[Lioi le terme du milieu, dans l'inégalité qui nous a servi, n'aurait aucun sens.

11 serait très intéressant de savoir si, dans tous les cas, une fonction est déterminée, à une constante additive près, par l'un de ses nombres dérivés; cette c[uestion n'a pas encore été résolue. Il faut remarcjuer c[ue la cjuestion n'est pas tranchée, même dans le cas de la dérivée ordinaire, si l'on admet c[u'une dérivée peut être infinie : on sait cj[ue deux fonctions, cj[ui ont toujours la même dérivée, ne diffèrent que par une constante lorsque cette dérivée est finie ; pour le cas général on ne sait rien.

On peut cependant étendre le résultat précédent à certains nombres dérivés non toujours finis, quand l'ensemble des points où le nombre dérivé est infini est assez simple. Par exemple, si le nombre fini Kdf{x) est donné pour toute valeur de la variable, sauf pour les points d'un ensemble E, la fonction continue f{x) est déterminée à une constante additive près dans tout intervalle contigu à E; donc il en est aussi de même dans tout intervalle si E est réductible, comme on le voit en reprenant les raisonnements employés au Chapitre I, à l'occasion des recherches de Cauchj et Dirichlet,

Nous aurons un résultat analogue toutes les fois cjue nous connaîtrons un ensemble solution de l'un des problèmes suivants :

D. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la clé ri^'ée finie d^ une fonction pour cjue cette fonction soit déterminée à une constante additive près?

ly. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite d\ine fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près?

Nous venons de citer une famille d'ensembles répondant à la c[uestion : les ensembles réductibles ; on doit à Ludwig Scheeffer une solution plus générale :

Une fonction est déterminée, à une constante additive près.

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yb CHAPITRE V.

quand on connaît pour chaque valeur de x^ sauf peut-être pour celles cV un ensemble dénombrable fi, la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.

Soient/, (^) elf2{x) les deux fonctions ayant en général le même nombre dérivé supérieur à droite fini; nous allons démontrer que l'on a toujours

et pour cela nous démontrerons que l'égalité

(i) f^(tj)-f.Xb)=fi{a)-J\{a)-\{

OÙ H est différent de zéro est impossible. Il suffit de considérer le cas où H est positif, puisque l'autre cas se réduit à celui-là par le changement de /', et/o *? cle même on peut supposer b >> a. Considérons la fonction

dans laquelle c est une constante telle que

i{b — a) Alors

cp^.(a) =z — > G, 'fr(^) = c(i) — a) — — < o ;

la fonction c^^. étant continue s'annule entre a et b; soit Xc la plus grande des valeurs comprises entre a et b qui annule 'j^. On a évidemment

On peut conclure de là que x^ est en un point de E. En effet, nous avons démontré, page 7.4 5 ^l'^^^^ pour tout point n'appartenant pas à E, on a

donc pour ces points on a :

A,/cpc(.r)^c > o.

A chaque valeur c de l'intervalle o, -— ^r- ; correspond ainsi

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Lin point Xc de E. Mais, si c et c, sont différents, Xc et x,,^ le sont, car l'égalité

entraîne

c{Xc-~ a) ~ Ci{xc,—a)

et Xc est différent de a.

Donc, pour c[ue l'égalité (i) soit possible, il faut c[iie E ail la puissance du continu (^).

Une consécjuence de cette propriété, signalée par Luclwig Sclieeffer, est c[u'une fonction est déterminée cjuand on connaît sa dérivée pour toutes les valeurs irrationnelles. Mais une fonction n'est pas déterminée quand on connaît, pourchac]ue valeur rationnelle de x^ la valeur finie de sa dérivée. Pour le prouver, soient^, , x.y,^ . . . les nomJ3res rationnels positifs. Traçons un intervalle S, de longueur incommensurable, ayant x^ comme milieu. Soit j&'a, le premier des xi ne faisant pas partie de Si ; traçons un intervalle So de longueur incommensurable, de milieu x^^ et n'empiétant pas sur S, . Si x^^ est le premier des xi cj[ui ne fait partie ni de 0,, ni de S^, .^a, ^^^ ^^ milieu d'un intervalle incommensurable n'empiétant ni sur 5,, ni sur Oo, et ainsi de suite.

La fonction /{x^^ égale à la somme des longueurs des intervalles S et des parties d'intervalles 3, compris entre o et x^ est une fonction continue croissante de x^ qui admet -h i comme dérivée pour toutes les valeurs rationnelles de x. Et cependant cette fonction n'est pas nécessairement de la forme :r-l-const.,puisque/(-{-oo) — J[o) est la somme des longueurs des S, somme qui a telle valeur positive c[ue l'on veut.

La fonction continue /(x) — i n'est pas constante et dans tout intervalle il existe des points où sa dérivée est nulle.

C'est à l'occasion d'une fonction dont la dérivée s'annule dans tout intervalle cpie Luclwig Scheeff'er a entrepris ses recherches sur la détermination d'une fonction par ses dérivées.

Gomme fonctions dont la dérivée s'annule dans tout intervalle

( La détnonstraLion précédente est, à très peu près, celle de L. Scheeffer. J'ai respecté aussi son énoncé, mais il est bon de remarquer que la démonstration suppose seulement que E n'a pas la puissance du continu, ce qui ne signifie peutêtre pas que E est dénombrable.

lions pouvons encore citer la fonction 'f (^), page lo, la fonction 5(^)) page 55.

La démonstration précédente est assez artificielle, en voici une autre :

J^es deux fonctions /^ et /o ayant nièuie A^^ en tout point, sauf peut-être aux points de E, la fonction /Y j;) =/» —f-i a, en tout point n'appartenant pas à E, un A^/ positif ou nul et un )v/ négatif ou nul. Si a est un tel point, faisons-lui correspondre le plus grand intervalle (a, a -f- A) tel que Ton ait

Supposons les points de E rangés en suite simplement infinie, .^1, Xo^ .... A x,i faisons correspondre le plus grand intervalle {Xnj oc'j^) tel que l'on ait

Chaque point de (a, b) est maintenant l'origine d'un intervalle S attaché à ce point; nous pouvons couvrir (a, 6), à partir de a^ à l'aide d'une chaîne d'intervalles 5, page 63. Servons-nous de ces intervalles pour calculer y(6) — y (a), nous trouvons que cette quantité est au plus égale à

or £ est quelconque, donc f {b) = /'(a); et, puisque ce raisonnement pourrait être employé pour une partie quelconque de (a, 6), la fonction f {x) est constante.

Ce mode de démonstration conduit à un autre résultat. Supposons que E soit, non plus nécessairement dénombrable, mais seulement de mesure nulle. Cela veut dire que les points de E peuvent être recouverts à l'aide d'une infinité dénombrable d'intervalles d dont la somme des longueurs est aussi petite que l'on veut.

L'intervalle S attaché à un point ne faisant pas partie de E a été défini. AunpointP de E nous faisons maintenant correspondre, comme intervalle S, l'intervalle o^ dont l'origine est P et dont l'extrémité est l'extrémité de l'intervalle d contenant P.

Nous recouvrons (a, b) à partir de a à l'aide d'une chaîne d'intervalles S et S^ ; cette chaîne donne, comme limite supérieure de

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raccroissement/(è) — f{ct) àe f{x) dans (a, b)^ le nombre eSA augmenté de la somme des accroissements de f{x) dans les intervalles 84. La somme \ des longueurs des o^ est plus petite que la somme relative aux d^ donc elle est aussi petite que l'on veut. Cela ne permet pas d'en conclure en général que la somme correspondante des accroissements àe f{x) est aussi petite que l'on veut; mais si f\ {x) et f^i{x) ont des nombres dérivés inférieurs en valeur absolue à M, cette somme est inférieure à aM)^. Ainsi :

Une fonction f {x)y à nombres dérivés bornés , est déterminée, et une constante additi^e près, quand on connaît son nombre dérivé supérieur à droite, pour toute valeur de x sauf pour celtes d^ un ensemble de mesure nulle.

Cet énoncé ne nous fournit aucun renseignement relativement à l'indétermination du problème C cjuand le nombre dérivé donné n'est pas borné, puisque f{x) est supposée à nombres dérivés bornés. Cette restriction est d'ailleurs nécessaire : la fonction ^[x)^ page 55, n'est pas une constante, elle a sa dérivée nulle partout, sauf peut-être aux points de Z qui est de mesure nulle.

Les théorèmes précédents peuvent être avantageusement transformés ; pour ces transformations j'utiliserai une généralisation heureuse de la notion de limite inférieure et supérieure qui est due à M. Baire ( ^ ).

Soit une fonction f{x) ; la limite supérieure de f{x)^ dans un intervalle (a, b). est un nombre L tel que l'ensemble L(/> m) des points X de (a, 6), tels que f{x) soit supérieure à /?z, existe dès que m est inférieur à L, tandis qu'il ne contient aucun point pour m>L; la limite inférieure de f{x) dans l'intervalle («, b) peut se définir de même.

11 existe de même un nombre L, tel que l'ensemble E(/> m) est dénombrable pour m>L, et ne l'est pas pour /n<L^. Ce nombre L^ est appelé par M. Baire la limite supérieure de f{x) dans (a, 6), quand on néglige les ensembles dénombrables.

Cet exemple suffira pour faire comprendre ce qu'il faudra entendre par la limite supérieure ou inférieure, dans un inter-

(') Thèse : Sur les fonctions de variables réelles {Annali cli Mateniadca,

FQOO).

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valle ou en un point, d'une fonction c[aand on néglige les ensembles clénombrables, ou les ensembles non denses, ou les ensembles de mesure nulle. Si, en négligeant certains ensembles, on obtient des limites inférieure et supérieure égales, on pourra dire, Cju'à ces ensembles près, la fonction est continue.

Ces définitions posées, voici les deux propositions C|ue j'avais en' vue : Les limites inférieure et supérieure cVun nombre dérivé sont les mêmes, que Von néglige ou non les ensembles dénombrables.

Les limites inférieure et supérieure d/ un nombre dérivé borné sont les mêmes, que Von néglige ou non les ensembles de mesure nulle.

Je démontre par exemple la première de ces deux propositions. Si les limites supérieures L et L, d'un nombre dérivé A^/cp(^), obtenues en tenant compte puis sans tenir compte des ensembles clénombrables, sont inégales, et si K est un nombre fini compris entre L et L , , le nombre dérivé A^ [ cp ( ^) — K] est négatif sauf poui' les points d'un ensemble dénombrable pour lesquels il est positif. Or il suffît de reprendre, en le modifiant légèrement, l'un ou l'autre des deux raisonnements qui nous ont conduits au théorème de SclieefFer, pour voir que cela est impossil)le.

IV. — Réciter che de la fonction dont un nombre dérivé est connu.

Nous allons essayer de résoudre les problèmes B' et G^ dans le cas où la fonction f {x), donnée comme A^/, est bornée.

Divisons l'intervalle positif (a, b) en intervalles partiels. Dans (a, [i) les limites inférieure et supérieure de f{x) sont / et 1^, donc on a, si F est la fonction cherchée telle cj[ue

( [i a) / ^ F ( 3) - F (a) ^ (fi - a) L.

Si nous faisons la somme des inégalités analogues, relatives aux intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles

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vers zéro

/ Kdf{x)dx<Y{b) — Y(^a)'i / ~hcif{x)dx.

De cette inégalité il résulte en particulier que : si Van des nombres défilés d^ une fonction f (^x) est intégrable, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale^ son intégrale indéfinie est de la forme f (x) -+- const.; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsquune dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions pi'imitives et ses intégrales indéfin ies .

Ces énoncés s'appliqueraient évidemment au cas où la fonction donnée deviendrait infinie au voisinage des points d'un ensemble réductible, à condition d'employer la généralisation de l'intégrale qui a été indiquée page 96.

Si nous tenons compte des théorèmes énoncés à la fin du Paragraphe précédent, nous voyons que si l'on connaît partout le nombre dérivé, sauf pour les valeurs d'un ensemble dénombrable, — ou si on le connaît partout^ sauf pour les valeurs d'un ensemble de mesure nulle, et si l'on sait de plus qu'il est borné, — on peut encore appliquer les théorèmes précédents, à condition d'étendre les intégrales qui y figurent à l'ensemble dans lequel on connaît le nombre dérivé.

A cette remarc[ue s'en rattache une autre plus importante. Le cas dans lequel nous savons résoudre le problème C^ est celui où le nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des points de continuité; en ces points il y a une dérivée égale au nombre dérivé donné, et l'on connaît partout la dérivée de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c'est-à-dire sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. Le cas résolu du problème G^ se ramène donc en réalité au problème C.

Les raisonnements qui précèdent nous permettent de répondre aux questions B et B^ dans un cas important, celui où la fonction donnée est intégrable. Pour reconnaître, par exemple, si une fonction intégrable donnée f {j^) est une dérivée exacte, on formera son intégrale indéfinie F(^), puis on recherchera si L. 6

Ton a

F (^-4-/1)- F (^) /(^) = hm ■ f

On a donc un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si y est ou non une dérivée exacte. Il est vrai qu'il faut rechercher si une certaine expression a ou non la limite connue f{oc)] mais une dérivée étant par définition une limite, il est peu problable qu'on puisse remplacer le procédé de calcul indiqué 'par un autre dans lequel on n'emploierait pas les limites.

Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction intégrable soit une dérivée; elle ne se présente pas sous la forme que l'on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d'une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui; mais, pour que l'on ait autre chose qu'une tautologie, il faut que l'on connaisse un procédé régulier de calcul permettant de savoir si l'on a ou non la propriété B. C'est ce procédé qui a été directement donné pour le cas qui nous occupe.

Si l'on tient à énoncer la condition nécessaire et suffisante trouvée sous la forme habituelle, on pourra, comme le fait M. Darboux, appeler valeur moyenne dans (a, b) d'une fonction intégrable/(x)

la quantité T / f[x)dx] puis on appellera valeur moyenne

au point x^ la limite, si elle existe, de la valeur moyenne dans [xq — h, Xq-\- k)^ quand les nombres positifs h et k tendent vers zéro ; et l'on a l'énoncé suivant :

Pour qu'une fonction intégrable soit une fonction dérivée, il faut et il suffît qu'elle ait en tout point une valeur moyenne déterminée et qu'elle soit partout égale à sa valeur moyenne.

V. — U intégration riemannienne considérée comme U opération inverse de la dérivation.

Nous avons vu que l'on a généralisé de différentes manières le problème des fonctions primitives; recherchons maintenant si l'une

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LA Rl'XlIERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. 83

cle ces généralisations permet de considérer l'intégration au sens de Riemann comme le problème inverse de la dérivation.

Si nous nous rappelons qu'une intégrale indéfinie admet comme dérivée la fonction intégrée en tous les points où celle-ci est continue, nous sommes conduits à nous poser, avec M. Volterra, le problème suivant : Rechercher une fonction continue qui admette une fonction bornée donnée f (x) pour dérivée en tous les points où / (œ) est continue (^).

Ce problème est toujours possible, car les deux intégrales par défaut et par excès de/(^) répondent à la question. Mais il est en général indéterminé, c'est-à-dire que toutes ses solutions ne sont pas comprises dans une formule de la forme F(^)4-const. Lorsque /(^) n'est pas intégrable, le problème est toujours indéterminé. Si f {x) est intégrable, il se peut que le problème soit déterminé; c'est le cas quand l'ensemble des points de discontinuité est réductible, mais il se peut aussi qu'il soit indéterminé. Il en est ainsi lorsque l'ensemble des points de discontinuité contient un ensemble parfait E; nous avons appris, page i3, à former une fonction continue non partout constante, mais constante dans tout intervalle contigu à E; cette fonction, ajoutée à une fonction solution du problème proposé, donne une nouvelle solution de ce problème.

Ainsi notre problème comprend comme cas particulier le problème de l'intégration indéfinie riemannienne, mais il est plus vaste que ce dernier problème.

Proposons-nous maintenant de trouver une fonction à nombres dérwés bornés qui admette une fonction bornée donnée f [x) comme dérivée en tous les points oii f(x) est continue.

Ce nouveau problème est toujours possible et admet encore pour solutions les deux intégrales de/(^); mais, sif(x) est intégrable.

(1) En réalité M. Volterra recherche les fonctions qui admettent /( :r) pour dérivée en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuité de/(.27),ni des points limites de discontinuités. De plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions dont il s'occupe ont des nombres dérivés bornés. Pour ces deux raisons les résultats qu'il obtient ne sont pas ceux du texte; d'ailleurs toute fonction est évidemment solution du problème de M. Volterra, si les points de discontinuité de/(^) forment un ensemble partout dense, tandis qu'il n'y a que des fonctions très pai^ticulières qui satisfont à l'énoncé du texte.

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il est déterminé, car la dérivée de la fonclion à nombres dérivés bornés cherchée est connue partout, sauf aux points d'un ensemble démesure nulle. Ce problème n'est donc déterminé que pour les fonctions intégrables ; lorsqu'il est déterminé, sa solution est l'intégrale indéfinie de /(.r).

Nous pouvons ainsi, en un certain sens, considérer l'intégration riemannienne comme l'opération inverse de la dérivation.

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