LES FONCTIONS SOMMABLES. IO

Soient E,, E2, ... des ensembles mesurables, en nombre fini on dénombrable, n'ayant deux à deux aucun point commun, et soit E l'ensemble somme.

On peut enfermer E/ dans une infinité dénombrable d'intervalles a/ et G^b(E/) dans les intervalles [3/ de manière que la mesure des parties communes aux a/ et (3^ soit égale à £/; les £/ étant des nombres positifs choisis de manière que la série Ss/ soit convergente et de somme s.

Soient aj», [31 les parties des a2 et j32 qi^ii sont contenues dans les intervalles [3,, soient 7,3, p'.^ les parties des 73, ^3 qui sont contenues dans les [3', et ainsi de suite. E/ est enfermé dans a^'. E est donc enfermé dans y. , 4- ce'., H- . . . , sa mesure extérieure est donc au plus égale à la somme m (a,) -f- tn [:/!.,) -f- in{a!.^) +-. . .= 5; évaluons cette somme. On a évidemment

/?z ( ai ) ^- /?2 ( (â 1 ) -:= m ( A. B ) — si ,

et ceci suffit pour montrer que la série s est convergente ; d'ailleurs

on a

m ( E,- ) £ m ( a'/ )^m{ a,- )^ni{ E/ ) -h £/,

donc s est comprise^ entre S /?2(E/) et S 7?2(E/) ^ s. Gela donne

Le complémentaire de E, Qvb(E), peut être enfermé dans [3^-; or [3|- a, en commun avec a, -f- a'., 4- a'^ -f- . . ., les intervalles a^+, -^ 2c'^a-> "+" • • •? P'^^^^ ^^^^ partie des intervalles communs à a,, p,, une partie de ceux communs à a^, [3o, ..., une partie de ccun communs à a/, [j/. [3'^ a donc une mesure au plus égale à

et, par suite,

c'est-à-dire

m/(E)>Sm(E,).

L'ensemble E est donc mesurable et de mesure S /?z(E/), la condition 2^ est bien vérifiée.

L'ensemble des ensembles mesurables contient l'ensemble des

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Io8 CHAPITRE VII.

ensembles mesurables J, mais il est beaucoup plus vaste, comme on va le voir. On peut en effet, sans sortir de l'ensemble des ensembles mesurables, effectuer sur des ensembles mesurables les deux opérations suivantes :