Faire la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles
IL Prendre la partie commune à tous les ensembles d'une famille contenant un nombre fini ou une infinité dénombrable d'ensembles.
Pour le démontrer, remarquons d'abord que la seconde opération ne diffère pas essentiellement de la première, car si E est la partie commune à E|, E2, ..., G(E) est la somme de G(E|), C(E2 ), .... Il suffit donc de s'occuper de la première; soit
E== Ei-f- E2-f-E3-+-....
Si E^ est l'ensemble des points de E/ ne faisant pas partie de
E^ -I- Eo-h. . .-[- E/i, on a
E = Ei-i-E;-^....
les termes de la somme étant sans point commun deux à deux. Or, il est facile de voir que E', est mesurable; en effet, enfermons E, dans les intervalles a^, C(E,) dans les intervalles [B^, E2 dans as, C(E2) dans ^2 et soient s, et £2 les longueurs des parties communes aux a, et |3, d'une part, aux a2 et ^2 d'autre part. Si a'., et p., sont les parties des 7.2 et p2 communes aux p,, E., peut être enfermé dans a!, et G(E,,) dans a, -\- [6'., et les parties communes à ces deux systèmes d'intervalles ont une mesure au plus égale à £4 -h £27 donc E!, est mesurable. De là résulte que
Ei-f-E2= EiH-E'2
est mesurable, donc que E'^, partie de E3 n'appartenant pas à l'ensemble mesurable E{-l-E2, est mesurable et ainsi de suite. Tous les E^. sont mesurables, E l'est ( ' ).
Un intervalle étant un ensemble mesurable, en appliquant les
(^) Si Ej contient Eo, on peut parler de leur différence E, — Ej. Cette différence est mesurable si Ej et E2 le sont, car elle est la partie commune à E^ et C(E,).
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LES FONCTIONS SOMMABLES. î 09
opérations I et II an nombre fini de fois à partir d'intervalles nous obtenons des ensembles mesurables ; ce sont ceux-là que M. Borel avait nommés ensembles mesurables , appelons -les ensembles m.esu7^ables B. Ce sont les plus importants des ensembles mesurables; tandis que, pour un ensemble quelconque, nous pouvons seulement affirmer l'existence des deux nombres m^, nii^ sans pouvoir dire quelle suite d'opérations il faut effectuer pour les calculer, il est facile d'avoir la mesure d'un ensemble mesurable B en suivant pas à pas la construction de cet ensemble. On se servira de la propriété 2^ toutes les fois qu'on utilisera l'opération I ; quand on se servira de l'opération II, on emploiera un théorème dont la démonstration est immédiate :
La mesure de la partie commune à des ensembles E,, Eo, . • . est la limite de m(Ei) si chaque ensemble Y^icontient tous ceux d'^ indice plus grand (^ ).
Les ensembles fermés sont mesurables B parce qu'ils sont les complémentaires d'ensembles formés des points intérieurs à un nombre fini ou à une infinité dénombrable d'intervalles. Soit Eun tel ensemble, la mesure de son complémentaire est évidemment l'étendue intérieure de ce complémentaire, donc la mesure d'un ensemble fermé est son étendue extérieure. De là découle la propriété qui nous a servi : un ensemble fermé de mesure nulle est un groupe intégrable (p. 29).
Comme application de ces considérations théoriques, calculons la mesure de l'ensemble E^ des points de (o, i) tels que la suite de leurs chiffres décimaux de rang impair soit périodique (p. 92).
Soit
10 10^ lO-^
(^) L'ensemble des ensembles mesurables B a la puissance du continu, il existe donc d'autres ensembles mesurables que les ensembles mesurables B; mais cela ne veut pas dire qu'il soit possible de définir un ensemble non mesurable B, c'est-à-dire de prononcer un nombre fini de mots caractérisant un et un seul ensemble non mesurable B. Nous ne rencontrerons jamais que des ensembles mesurables B.
M. Borel avait indiqué (note i, page 48 des Leçons sur la théorie des fonctions) les principes qui nous ont guidés dans la théorie de la mesure.
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IIO CHAPITRE Vil.
un tel nombre, écrivons-le
Cl^ (11. CIq
102 lo^ 10^
y est rationnel, l'ensemble des nombres y est clénombrable. A chaque nombre rationnel y correspond un ensemble de nombres x ayant même mesure que l'ensemble des nombres z dont les chiffres de rang impair sont nuls. Pour démontrer que E est mesurable et de mesure nulle, il suffit donc de démontrer que l'ensemble des nombres z jouit de cette propriété. Or cet ensemble s'obtient
en enlevant de (o, i) l'intervalle f — ? i j, puis de (o, ~j les intervalles (-An ^^ ~ — r-- ) ' où P est un entier inférieur à lo,
\102 lO-^ I02 / '
puis de chaque intervalle restant (A? -^ H -tA les intervalles
et ainsi de suite. A chaque opération nous enlevons les — des intervalles qui restent. L'ensemble des s est donc mesurable B et de mesure nulle.
