I. — Propriétés relatives aux fonctions

Les fonctions auxquelles s'appliquent les définitions précédentes peuvent avoir une infinité de points de discontinuité ; mais ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu'ils forment un ensemble non dense. Dirichlet a rencontré incidemment la fonction

•^(37)= lim r lim (cosm î 7r^)2/M,

dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu'elle est nulle pour x irrationnel, égale à i pour x rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s'appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Caucliy. Riemann (^) a montré, sur un exemple, comment l'emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s'appliquer.

Soit {x) la différence entre x et l'entier le plus voisin; si x est

égal à un entier plus -> on prend (^) = o. La fonction ainsi définie se nomme excès de x\ c'est une fonction au sens de Cauchy, car elle admet un développement de Fourier, procédant suivant les lignes trigonomé triques des multiples de i^zx^ qui est partout convergent. Considérons la fonction, au sens de Cauchy,

(^) Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique. {Bulletin des Sciences mathématiques, 1878 et Œuvres de Riemann.)

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l6 CHAPITIIE 11.

on voit iiniïiédiatement que si x n'est pas de la forme ~^ (/i et

ip-\-\ étant premiers entre eux) f{oc) est continue ('). Au contraire, si x est de la forme indiquée, quand x tend en croissant

vers — ? JK-^) tend vers une limite que i on note

et qui est

•'Va" / *^ V 2» / i6n-'

quand a; tend vers ^^ en décroissant, f{x) tend vers

Dans tout intervalle, f{x) a des points de discontinuité; les considérations du Chapitre précédent ne sont pas applicables kf{x). ^ ^

En employant un procédé analogue à celui de Riemann, il était possible de former de nombreux exemples de fonctions très discontinues. En utilisant la notion maintenant classique de série uniformément convergente, il est facile de donner un énoncé général : une série uniformément convergente de fonctions discontinues f^ définit une fonction / qui admet pour points de discontinuité tous les points de discontinuité des fonctions //^, pourvu que chacun de ces points ne soit point de discontinuité que pour une seule fonction fn> Lorsqu'il n'en est pas ainsi, comme dans l'exemple de Riemann, il faut rechercher si les différentes discontinuités, que l'on rencontre pour la valeur considérée, ne se compensent pas de telle manière que /soit continue.

On a souvent l'occasion d'appliquer un procédé analogue, quand , connaissant des fonctions ffi qui présentent une certaine singularité en des points isolés A,^, on veut construire une fonction présentant cette singularité dans tout intervalle. On essaie si l'on n'obtiendrait pas le résultat désiré en prenant une série unifor-

(1) On s'appuiera sur la convergence uniforme de la série f{x). (^) Cette notation est due à Dirichiet.

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LA DÉFINITION DE l'iNTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMAiNN. 17

lïiément convergente de fonctions fn-, telles que les Kn correspondants forment un ensemble partout dense. C'est cette méthode de construction c[ui a reçu le nom àe principe de condensation des singularités (' ).

Les exemples de Riemann montrent que les fonctions ^ auxquelles les procédés de définition examinés dans le Chapitre précédent ne peuvent s'appliquer, ne forment pas une classe très particulière dans l'ensemble des fonctions au sens de Cauchy. Et comme la restriction (-) que nous avons imposée, avec Cauchy, aux fonctions /(^), savoir que la relation entre f{x) et x soit exprimable analytiquement, n'est jamais intervenue dans nos raisonnements, elle n'a simplifié ni les énoncés, ni les solutions des problèmes que nous nous sommes proposés. Il n'y a donc aucun inconvénient à dire, avec Riemann : y est fonction de x si, à chaque valeur de x^ correspond une valeur de y bien déterminée, quel que soit le procédé qui permet d' établir cette correspondance. C'est cette définition que nous adopterons maintenant; seulement, au lieu de supposer toujours que x peut être pris quelconque dans un intervalle (a, Z?), nous supposerons quelquefois que x doit être pris dans un certain ensemble E pour les points duquel la fonction y sera ainsi définie, sans l'être pour tous les points d'un

intervalle. Par exemple, la fonction — î est définie pour l'ensemble des inverses des entiers positifs.

Avant d'entreprendre l'étude de l'intégration des fonctions au sens de Riemann je vais donner celles de leurs propriétés qui nous seront utiles dans la suite.

Si l'on sait qu'une fonction reste toujours comprise entre deux nombres finis A. et B, on dit qu'elle est bornée (3). C'est à l'étude

(1) Cette dénomination est due à Hankel. HankeJ avait cru pouvoir faire des raisonnements généraux au sujet de celte méthode, mais ce qu'il y a d'exact dans ses raisonnements se réduit à des applications immédiates des propriétés connues des séries uniformément convergentes.

(2) J'ai déjà dit (note 2, p. 4) que cette restriction est peut-être illusoire.

(■') Il est bien entendu qu'une fonction non bornée peut être cependant toujours finie; c'est le cas de la fonction f{x) telle que

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des fonctions bornées que l'on s'est le plus souvent limité ('). Lorsqu'une fonction est bornée, elle admet une limite supérieure L et une limite inférieure /; ces nombres sont définis, on le sait, par la condition que (/, L) soit le plus petit intervalle contenant toutes les valeurs de f{oc). co ^ L — / est dit V oscillation de f{x).

Soit A un point limite de l'ensemble E dans lequel f{x) est définie (^). Soit ô^ un intervalle contenant A; dans cet intervalle il existe des points de E; ils forment un ensemble e^, La fonction f{x) définie sur e^ admet des limites supérieure et inférieure, L], /i , une oscillation (s>^. Soit §2 un intervalle contenant A et compris dans S^, il lui correspond les nombres L2, 4^ ^2 ; et l'on a évidemment

Si nous considérons des intervalles S^, Ô2, 83, ... contenant tous A et compris les uns dans les autres, nous avons une suite de limites supérieures et inférieures vérifiant les inégalités

Les li d'une part, les L/ d'autre part, tendent donc vers deux limites / et L (/^L) et les 00/ tendent vers

(JL) = L — /.

Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, L, /, o), sont aussi les limites des nombres L'^-, Z|-, iù\ correspondant à des intervalles S • contenant A et dont les deux extrémités tendent vers A quand i augmente indéfiniment; en d'autres termes, ils sont indépendants du choix des intervalles S/ et l'on peut supposer que ces intervalles ne sont pas contenus nécessairement les uns dans les autres. En effet, i étant choisi arbitrairement, si y est assez grand, S; est contenu dans 3/, si k est assez grand. S/; est contenu dans S'

(1) Où constate souvent que des questions très simples à traiter lorsqu'on se limite aux fonctions bornées sont, au contraire, très compliquées pour les fonctions les plus générales. Aussi j'ai indiqué soigneusement dans la suite si les théorèmes obtenus sont valables pour toutes les fonctions ou seulement pour des fonctions bornées; tandis que, le plus souvent, on omet d'indiquer explicitement que les fonctions dont on s'occupe sont bornées.

(2) A ne fait pas nécessairement partie de E.

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