LA DEFINITION DE L INTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN. I

donc on a

ce qui suffit à démontrer la propriété.

Les no m b 7' es L, /, oo sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et V oscillation de la fonction en A. A est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que co est nul ou positif, c'est-à-dire suivant que L et Z sont égaux ou inégaux.

Si .2?o est l'abscisse de A et si l'on convient de ne considérer que les valeurs de x supérieures à Xç^ (^>>^o)5 on obtient le maximum M^r, le minimum ma et l'oscillation o)^/ à droite en A. Si t^a == o, c'est-à-dire si M^ = m^, f{Xi^ 4- o) existe et est égale à M,/. Si M^/ = m,d^= f{^o)) la fonction /(^) est dite continue à droite. On définit de même les nombres M^, mg^ w«^ ( ' ).

Si co,/ et co„. sont nuls, c'est-à-dire si /(.:ro + o) et /(^o — ■ ^) existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.

Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.

Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d'indétermination qui nous sera souvent utile; cette notion est due à P. du Bois-Reymond.

Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé cû ; dans d'autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont on l'applique, il fournit difi'érents nombres qui forment un ensemble A. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre cp l'un quelconque des nombres de A. Le nombre cp est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de A, soit à son intérieur, soit confondus avec ses

(1) r.a définiLion précédente est celle des maximum, minimum, oscillation de/(^) à droite de x^^^ x^ étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes nombres, x^^ n'étant pas exclu; il faut alors prendre les valeurs de x égales ou supérieures à ^^ [x'^x^^).

Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la définition du texte.

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extrémités, a pour origine et pour extrémités les limites inférieure et supérieure cV indétermination du nombre cp. Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de A.

Par exemple, on donne l'expression

cp = lim 57'%

OÙ /^ est entier, cû est nul pour | .^ | <^ i ; pour calculer cp dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d'entiers croissant n^^ /Z2, ... et prendre la limite de la suite x'^i correspondante. Si X n'est plus compris entre — i et + i , en opérant ainsi et en choisissant convenablement les /?/, on aura encore une limite, mais cette limite dépendra en général du choix des ni. Pour X ==; — T , l'ensemble A de ces limites contient les deux seuls nombres — i et + i qui sont les limites d'indétermination. Pour X <C — ij l'ensemble A ne contient que -[- oo et — ^oc qui sont les deux limites d'indétermination.

Pour ^ = I , cp est égal à i . Pour ^ >> i , cp est égal k -\- co.

La notion des limites d'indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite y notion que l'on doit à Gauchy.

Supposons que le nombre cp soit défini comme la limite pour \z=z\q d'un nombre ^()^); A prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d'un certain ensemble dont Xq est un point limite (l'exemple précédent se ramène à ce cas si l'on prend X = -?

où n est entier, et Xo = o ) . La fonction ^ Çk) n'est pas définie pour X = Xq, mais nous savons c[Vielle a pour \ = \q une limite inférieure l et une limite supérieure L ('); ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l'on peut obtenir quand, dans A(a), on fait tendre X vers Xo- / et L sont les deux limites d'indétermination précédemment définies; mais, dans le cas qui nous occupe, ces nombres sont compris dans l'ensemble A des valeurs limites, tandis que, dans le cas général, ils font seulement partie de A ou du dérivé A^ de A.

(^) Ces dénominations sont celles qu'adopte M. J. Hadamard.

LA DÉFINITION DE l'INTÉGRALE DONNEE PAR RIEMANN. 21

Mais il se peut aussi, et l'on en verra bientôt des exemples, que la fonction A Çk) ne soit plus une fonction bien déterminée, mais soit une fonction à plusieurs déterminations .

On dit que l'on a une telle fonction si, à chaque valeur de A, prise dans un certain ensemble où la fonction est définie, on fait correspondre un ensemble de nombres; chacun de ces nombres est représenté par la notation 'J^(Î^). Ce qui a été dit relativement aux limites supérieure et inférieure pour les fonctions à une seule détermination, s'applique sans aucun changement aux fonctions à déterminations multiples. ^^Çk) a donc une limite inférieure l et une limite supérieure \j pour X = Xo, qui sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que l'on peut atteindre en choisissant une suite de nombres \i tendant vers Aq et en choisissant convenablement les nombres J^(X/) correspondants. Ces deux nombres sont les limites dHndétermination de la limite de J^(î^) quand \ tend vers 1\^ (^).

Revenons maintenant à l'étude des fonctions.

Tl y a une relation très simple entre les oscillations relatives aux intervalles contenus dans (a, h) et les oscillations aux divers points de (a, 6). On peut l'exprimer ainsi :

Si, en tous les points de (a, 6), U oscillation est au plus égale à co, dans tout intervalle intérieur à (a, b^ et de longueur X, V oscillation est inférieure à to + s dès que X est assez petit^ £ étant un nombre positif quelconque.

S'il en était autrement, ou pourrait trouver des couples de points a^, bp^ tels que bp — ap tende vers zéro et que l'on ait

|/(^^)-/(a^)|>CO+£.

L'ensemble des Up a, au moins, un point limite a. Si l'on prend une suite de valeurs ap tendant vers a, les bp tendent aussi vers a, donc en a l'oscillation est au moins co -}- £. Il y a là une contradiction avec l'hypothèse.

(^) Du Bois-Rej^moncl dit simplement « les limites d'indétermination de '^{'k) pour "X = "Xq ». Gela tient à l'idée que se faisait du Bois-Reymond de la valeur d'une fonction en un point de discontinuité (note i, p. 9).

Je crois qu'il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idées modernes sur la détermination des fonctions.

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La propriété est démontrée. Dans le cas où co :=: o, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d'un intervalle est continue dans cet intervalle (').

La réciproque de cette propriété n'est pas vraie. Soit une fonction égale à — i pour x négatif, à -f- i pour x positif, nulle pour X nul. Son oscillation pour x ■==. o est 2 et, cependant, si l'on emploie le point de division .3? = o, la fonction a une oscillation seulement égale à i dans chacun des deux intervalles obtenus.

Nous allons maintenant définir l'oscillation moyenne d'une fonction bornée y(^) définie dans un intervalle fini (a, 6). Partageons (a, 6) en intervalles partiels §<, S27 • • •? ^n- Soit co/ l'oscillation de f{x) dans l'intervalle S/, les extrémités de S/ étant ou non considérées comme faisant partie de l'intervalle. Et formons la quantité

Si Q est l'oscillation dey(^) dans (<if, è), co^, (02, . • -, ^n étant au plus égaux à Q, A est au plus égale à £i. Si donc nous divisons S/ en intervalles partiels Sj , SJ, ..., Sj'', auxquels correspondent les oscillations co^- , to^, . . ., o)^', on a

En subdivisant les intervalles S/ on remplace donc A par un nombre plus petit.

Considérons deux séries de divisions de {a^b) en intervalles partiels; aux divisions de la première série correspondent les nombres A^ , Ao, . . . , à celles de la seconde les nombres a^ , as, .... Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la V^'^'^ division tend

vers zéro avec -• (^); dans ces conditions nous allons voir que

les Ki et a/ ont une même limite.

(1) C'est cette propriété que l'on énonce : la continuité est uniforme. On exprime par là que la quantité 't\{z) peut être choisie uniformément dans l'intervalle considéré, c'est-à-dire indépendamment de la variable^2?.

(2) Les points de division employés dans la V""^^ division ne sont pas nécessai-

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LA DÉFINITION DE l'iNTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN. 23

Comparons A/ et ay ; les intervalles qui seront dans la division Ay qui donne ay sont de deux espèces : les uns, les intervalles d^ contiennent à leur intérieur des points de la division D/ qui donne A^; les autres, les intervalles d\ sont compris dans des intervalles de D/. La contribution des intervalles d au numérateur de ay est au plus n7.jQ^ si n est le nombre des points de division de D^ et Ij le maximum de la longueur des intervalles de Ay. Les intervalles d' font partie de la division Ay obtenue en réunissant les points de division de D/ et Ay, donc ils fournissent au numérateur de ay une contribution au plus égale à (b — a)Aj^ où Aj est le nombre analogue à A et relatif à Ay . Mais, puisque l'on sait que A'j est au plus égal à A;, on en déduit

ay= A/-I- nljil.

Tous les ay, à partir d'un certain indice, sont inférieurs à A/+ £(£ >> o) ; donc leur plus grande limite est au plus A^-h e et, puisque î et e sont quelconques, la plus grande limite de ay est au plus égale à la plus petite des A/. Rien n'empêche d'échanger dans le raisonnement A/ et ay; donc, toutes les limites des A/ et des ay sont égales, A^- tend vers une limite déterminée. Cette limite oj est V oscillation moyenne de la fonction dans (a, b).

Il faut remarquer ce que nous avons démontré : A/ tend uniformément vers co; c'est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont inférieurs à un certain nombre X, le nombre A ne diffère de o) que d'une quantité inférieure à s choisi à l'avance.

IL — Conditions dHntégrahilité,

Ces définitions posées, j'arrive à la définition de l'intégrale telle que l'a donnée Riemann.

Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l'intégrale avec telle approximation que l'on veut, et il se demande dans quels

rement employés dans la i-i-i^®'^^; en d'autres termes, pour passer d'une division à la suivante, on ne subdivise pas les intervalles de cette division, on marque de nouveaux intervalles sans s'occuper de ceux précédemment employés.

cas ce procédé, appliqué à clés fonctions discontinues, donne un nombre déterminé.

Soit une fonction bornée f{oc) définie dans un intervalle fini (<2, b). Divisons (a, b) en intervalles partiels 5,, So? • • •? S/z et choisissons arbitrairement, cjuel que soit i^ un point xi dans S/ ou confondu avec l'une des extrémités de S/. Considérons la somme

Augmentons constamment le nombre des intervalles 8 et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro (^). Alors, si S tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points xi choisis, Riemann dit que la fonction /*(x) est intégrable et a pour intégrale, dans (a, Z?), la limite de S.

Lorsque ô^, §2, ..., S/^ sont choisis, le nombre S n'est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d'indétermination sont :

où li et L/ représentent les limites inférieure et supérieure de f{oc) dans o/. Posons L/ — //= co/, alors

S — S = So^-w^

Pour c[ue L tende vers une limite déterminée, il faut d'abord que S — S tende vers zéro; mais SS^w/ tend vers (6 — <2)co, où w est l'oscillation moyenne de f{x)] donc, pour que f{x) soit intégrable, il faut qu^ elle soit à oscillation moyenne nulle.

Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que S a une limite bien déterminée, puisque S — -S tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l'on raisonne non sur la fonction/", mais ^\\v f -\- /r, k étant une constante telle que/*-}- k ne soit jamais négative.

Soient les divisions D^ , D2, . . . ; A^ , A2, . . . , telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, ce maximum

(1) Il est bien entendu que, pour passer d'une division à la suivante, on n'est pas obligé de se servir des points de division déjà employés.

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